Kurs:Algebraische Kurven/1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 3 5 6 5 3 3 10 10 5 4 3 1 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der affine Raum.
  2. Der Produktring zu kommutativen Ringen .
  3. Ein -wertiger Punkt zu einem kommutativen Monoid .
  4. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches .
  5. Die Einbettungsdimension eines lokalen kommutativen noetherschen Ringes .
  6. Die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum .


Lösung

  1. Man nennt den affinen Raum über der Dimension .
  2. Das Produkt

    versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, heißt der Produktring der gegebenen Ringe.

  3. Man nennt einen Monoidhomomorphismus

    einen -wertigen Punkt von .

  4. Man nennt den ganzen Abschluss von im Quotientenkörper die Normalisierung von .
  5. Die minimale Idealerzeugendenzahl für das maximale Ideal heißt die Einbettungsdimension von .
  6. Die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum ergibt sich dadurch, dass die Mengen zu einem homogenen Ideal als abgeschlossen erklärt werden.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Noethersche Normalisierung für eine Kurve.
  2. Die geometrische Version des Hilbertschen Basissatzes.
  3. Der Satz über die Multiplizität für ein numerisches Monoid.


Lösung

  1. Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein nicht-konstantes Polynom vom Grad , das die algebraische Kurve definiert. Dann gibt es eine lineare Koordinatentransformation derart, dass in den neuen Koordinaten das transformierte Polynom die Form
    besitzt.
  2. Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal beschrieben werde. Es sei ein Polynom, das auf verschwindet. Dann gehört zum Radikal von , d.h. es gibt ein mit .
  3. Es sei ein von teilerfremden Zahlen erzeugtes numerisches Monoid mit numerischer Multiplizität . Es sei das maximale Ideal des Monoidringes , das dem Nullpunkt entspricht. Dann gilt


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in

das Produkt

( bezeichne die Restklasse von ).


Lösung

Es ist

und

Daher ist


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Lösung

Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind

und

Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt

Also ist

Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten

Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist

Somit ist

und

Die Schnittpunkte sind also

und


Aufgabe (6 (1+1+2+2) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

gegebene ebene algebraische Kurve.

  1. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper .
  2. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper .
  3. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper .
  4. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für einen endlichen Körper mit der Eigenschaft, dass und teilerfremd sind.


Lösung

Wir schreiben die Gleichung als

Dabei kann man sich für einen beliebigen Wert aus dem Körper vorgeben und muss sich fragen, ob und wie viele Lösungen es dann für gibt. Da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers zyklisch mit Elementen ist, ist das Potenzieren zum Exponenten bijektiv, wenn und teilerfremd sind, und hat einen Kern mit drei Elementen, falls und nicht teilerfremd sind. Im letzteren Fall gibt es Einheiten, die dritte Potenzen sind.

  1. Siehe (4).
  2. Es ist

    Somit gibt es bei drei Lösungen für , bei gibt es eine Lösung für und bei gibt es keine Lösung für . Insgesamt gibt es also sechs Lösungen für diese Gleichung über .

  3. Bei gibt es nur vier Einheiten, die dritte Potenzen sind, da das Potenzieren zum Exponenten drei einen Kern mit drei Elementen besitzt. Diese vier dritten Potenzen sind (neben der ) gleich

    Die einzige Möglichkeit, mit diesen Potenzen die Summe zu erhalten, ist . Da drei dritte Einheitswurzeln besitzt, gibt es sechs Lösungen für diese Gleichung über .

  4. Nach Voraussetzung sind und teilerfremd, das bedeutet, dass das dritte Potenzieren bijektiv ist. Es gibt also zu jedem ein eindeutig bestimmtes , das die Gleichung erfüllt. Somit gibt es in diesem Fall Lösungen.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge in irreduzible Komponenten.


Lösung

Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion. Angenommen, nicht jede affin-algebraische Menge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir , ohne eine solche Zerlegung. kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung . Da und echte Teilmengen von sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von , was ein Widerspruch ist.
Zur Eindeutigkeit. Seien

zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen (jeweils ohne Inklusionsbeziehung). Es ist

Da irreduzibel ist, muss für ein sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument für ein , woraus und folgt. Ebenso findet sich etc. in der Zerlegung rechts wieder, so dass die Zerlegung eindeutig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten den Restklassenring

über einem Körper der Charakteristik . Zeige in .


Lösung

Wir multiplizieren die Gleichung

mit und erhalten

Durch Multiplikation mit erhält man entsprechend

Also ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutatives Monoid, seine Differenzengruppe und ein Körper. Zeige, dass die Spektrumsabbildung

injektiv ist.


Lösung

Seien

Monoidhomomorphismen, also Elemente aus dem Spektrum zu . Die Einschränkungen auf , also die Verknüpfungen und mit , seien identisch. Es ist zu zeigen. Sei mit . Da eine Gruppe ist, wird jedes Element auf eine Einheit in abgebildet. Also ist


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.


Lösung

(1) (2). Wir betrachten die von den Potenzen von erzeugte -Unteralgebra von , die aus allen polynomialen Ausdrücken in mit Koeffizienten aus besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

ergibt sich

Man kann also durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit kann man jede Potenz von mit einem Exponenten durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad ersetzen. Damit ist

und die Potenzen bilden ein endliches Erzeugendensystem von .

(2) (3). Sei , eine -Unteralgebra, die als -Modul endlich erzeugt sei. Dann ist , und enthält den Nichtnullteiler .

(3) (1). Sei ein endlich erzeugter -Untermodul mit . Seien erzeugende Elemente von . Dann ist insbesondere für jedes eine -Linearkombination der . Dies bedeutet

mit , oder, als Matrix geschrieben,

Dies schreiben wir als

Nennen wir diese Matrix (die Einträge sind aus ), und sei die adjungierte Matrix. Dann gilt ( bezeichne den Vektor ) und nach der Cramerschen Regel ist , also gilt . Es ist also für alle und damit

für alle . Da nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in vom Grad , so dass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.


Aufgabe (10 (1+3+6) Punkte)

  1. Skizziere die Nullstellengebilde

    und

    im reellen Fall.

  2. Stifte einen bijektiven Morphismus
  3. Zeige, dass der Morphismus außerhalb des Nullpunktes ein Isomorphismus ist (die Charakteristik des Körpers sei ).


Lösung

  1. Draft0.svg

    ist die Vereinigung der drei Achsen im Raum.

  2. Die lineare Abbildung

    die durch die Matrix bezüglich der Standardbasen gegeben ist, bildet die -Ebene identisch auf sich ab und die -Achse auf die Hauptdiagonale in dieser Ebene. Damit liegt das Bild des Achsenkreuzes ganz im Nullstellengebilde und ergibt somit einen Morphismus . Dieser ist bijektiv, da jede beteiligte Gerade bijektiv auf eine Gerade abgebildet wird.

  3. Algebraisch liegt der -Algebrahomomorphismus

    mit und vor. Dies induziert einen -Algebrahomomorphismus der Nenneraufnahmen

    Dabei ist der Schnittpunkt von bzw. mit den drei Geraden jeweils der Nullpunkt (die Charakteristik ist nicht ), so dass diese Nenneraufnahmen jeweils das Komplement des Nullpunktes beschreiben. Der rechte Ring ist, geschrieben in den Variablen , gleich

    In diesem Ring ist Wegen

    und somit ist

    Man kann also eliminieren, die Idealerzeuger werden dann wegen

    zu

    und

    Da und Einheiten sind, bedeuten die beiden ersten Idealerzeuger

    so dass der dritte Erzeuger überflüssig ist. Wegen

    gehört auch zum Ideal, das andererseits das Ideal erzeugt. Also ist die durch und gegebene Abbildung ein Isomorphismus.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten -Algebra und eines multiplikativen Systems , , an derart, dass die Nenneraufnahme kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus zum Einheitsideal in wird.


Lösung

Sei und das multiplikative System, das aus allen Produkten von Elementen der Form , besteht. Die maximalen Ideale in haben die Form . Daher enthält jedes maximale Ideal ein Element aus und wird daher zum Einheitsideal in . Das ist aber kein Körper, da genau die Primelemente zu Einheiten gemacht werden, alle anderen Primelemente (beispielsweise ) aber nicht.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Nakayama.


Lösung

Sei ein Erzeugendensystem von . Nach Voraussetzung gibt es wegen zu jedem eine Darstellung

mit . Daraus ergibt sich für jedes eine Darstellung

Da ist, ist der Koeffizient eine Einheit. Dies bedeutet aber, dass man nach auflösen kann, so dass also überflüssig ist. So kann man sukzessive auf alle Erzeuger verzichten, was bedeutet, dass der Nullmodul vorliegen muss.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.


Lösung

Ein jeder Punkt liegt auf einer affinen Geraden . Dabei bezeichnet eine homogene Linearform. Weiter kann man durch Verschieben auf der affinen Geraden annehmen, dass es sich um den Nullpunkt handelt. Da man dies für jeden Punkt machen kann und da dies den lokalen Ring nicht ändert, sind alle lokalen Ringe isomorph untereinander. Der Nullpunkt auf der affinen Geraden besitzt als lokalen Ring die Lokalisierung .


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme den Durchschnitt

in .


Lösung

Für einen Punkt

muss die erste und die zweite Koordinate gleich sein, der einzige Punkt auf den beiden Geraden ist demnach in homogenen Geraden gleich .