Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 6

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Polynom in einer Variablen. Parametrisiere den Graph zu durch Polynome.


Aufgabe

Bestimme für die parametrisierte Kurve

eine Kurvengleichung.


Aufgabe *

Sei ein Körper. Betrachte die durch

definierte Parametrisierung. Bestimme eine (nichttriviale) algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist. Man gebe auch einen Punkt in der affinen Ebene an, der nicht auf der Bildkurve liegt.


Aufgabe *

Sei ein Körper. Betrachte die durch

definierte polynomiale Abbildung. Bestimme eine (nichttriviale) algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist.


Das in der folgenden Aufgabe beschriebene Phänomen kann über einem algebraisch abgeschlossenen Körper nicht auftreten.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Parametrisierung

an, wobei der Zariski-Abschluss des Bildes sein soll und wobei unendlich viele Punkte von nicht im Bild liegen.


Aufgabe

Beweise Lemma 6.8.


Aufgabe *

Bestimme für die Abbildung

eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.


In den folgenden Aufgaben wird auf den Begriff der differenzierbaren Kurve Bezug genommen, wie er in der Analysis 2 behandelt wird.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine nicht-algebraische (nicht polynomiale) differenzierbare Kurve im , deren Bild aber mit einer algebraischen Kurve übereinstimmt.


Aufgabe

Zeige, dass die (Bahn der) archimedische Spirale

nicht algebraisch ist.


Aufgabe

Es sei eine rational-parametrisierbare Kurve. Zeige, dass es auch nicht-algebraische differenzierbare Parametrisierungen der Kurve gibt.


Aufgabe

Man gebe eine differenzierbare Kurve

an, deren Bild genau das Achsenkreuz ist.


Aufgabe

Sei eine polynomiale Abbildung und sei eine ebene rationale Kurve. Es sei ferner vorausgesetzt, dass durch nicht auf einen einzigen Punkt abgebildet wird. Zeige, dass dann ebenfalls eine rationale Kurve ist.


Aufgabe *

Es sei die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis bei der Durchführung eines Experiments eintritt, und entsprechend sei die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt. Das Experiment werde zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse haben dann eine von abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die polynomiale Abbildung

auf.

  1. Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
  2. Beschreibe das Bild der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.


Aufgabe *

Es sei die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis bei der Durchführung eines ersten Experiments eintritt und sei die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis bei der Durchführung eines zweiten Experiments eintritt. Die beiden Experimente werden unabhängig voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse haben dann eine von und abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die polynomiale Abbildung

auf.

  1. Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
  2. Beschreibe das Bild der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme eine algebraische Gleichung für das Bild. Untersuche die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach ). Vergleiche diese Abbildung mit den in Aufgabe 6.25 diskutierten Abbildungen.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Polynomring über in Variablen und der Polynomring in Variablen. Zu sei die Homogenisierung (bezüglich ) und zu sei die (durch gegebene) Dehomogenisierung von . Zeige, dass , aber nicht gelten muss.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Polynomring über in Variablen. Es seien homogene Polynome vom gleichen Grad. Für die Dehomogenisierungen (bezüglich ) gelte . Zeige, dass dann ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und der Polynomring über in Variablen und der Polynomring in Variablen. Zeige, dass die Homogenisierung (bezüglich ) mit der Multiplikation verträglich ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Polynomring über in Variablen und der Polynomring in Variablen. Beschreibe die Dehomogenisierung (bezüglich ) als einen Einsetzungshomomorphismus.


Aufgabe

Formuliere und beweise eine Division mit Rest-Aussage für homogene Polynome in zwei Variablen über einem Körper.


Aufgabe *

Es seien

und

Finde homogene Polynome , , mit




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt der durch die reelle Kurve

eingeschlossenen Schlaufe.


Die folgenden Aufgaben erfordert eventuell den Einsatz eines Computers.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme für die Abbildung

eine algebraische Gleichung der Bildkurve.


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme für die Abbildung

eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die beiden Abbildungen

Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach ). Welche Abbildung liefert eine „bessere“ Beschreibung von ?


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und ein irreduzibles Polynom. Die Nullstellenmenge sei unendlich. Zeige, dass dann eine irreduzible affin-algebraische Menge ist.

Man gebe auch ein Beispiel, dass diese Aussage in drei Variablen falsch ist.


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