Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 5

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei ein homogenes Polynom mit Nullstellenmenge . Zeige, dass für jeden Punkt und jeden Skalar auch ist.


Aufgabe

Bestimme die Faktorzerlegegung für die Polynome

für .


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein homogenes Polynom. Zeige: zerfällt in Linearfaktoren.


Aufgabe

Sei ein Körper und ein homogenes Polynom. Es sei ein Faktorzerlegung. Zeige, dass und ebenfalls homogen sind.


Aufgabe

Zeige, dass ein homogenes Polynom unter einer linearen Variablentransformation homogen vom gleichen Grad bleibt, und dass dies bei einer affin-linearen Variablentransformation nicht sein muss.


Aufgabe

Zeige, dass für affin-algebraische Mengen die Beziehung der affin-linearen Äquivalenz eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Sei ein Punkt in der affinen Ebene und und verschiedene Geraden durch . Es sei , , eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe explizit eine Variablentransformation (einen Koordinatenwechsel) derart, dass in den neuen Koordinaten der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten?


Aufgabe

Es sei sowohl als auch eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von drei (verschiedenen) Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige, dass es einen affin-linearen Koordinatenwechsel gibt, der in überführt.


Aufgabe

Es sei sowohl als auch eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von vier (verschiedenen) Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige, dass es im Allgemeinen keinen affin-linearen Koordinatenwechsel gibt, der in überführt.


Die folgenden zwei Aufgaben dienen dem Verständnis von Satz 5.4 und Korollar 5.5.

Aufgabe

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf das Polynom an.


Aufgabe

Wende (den Beweis zu) Satz 5.4 auf die Hyperbel an.


Aufgabe

Wende (den Beweis zu) Satz 5.4 auf das Polynom an.


Aufgabe

Sei ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve überabzählbar viele Elemente besitzt.


Aufgabe

Berechne das Bild des Polynoms

unter dem durch

definierten Einsetzungshomomorphismus


Aufgabe

Es sei ein unendlicher Körper und es sei ein Polynom mit der zugehörigen Abbildung

Zeige mit und ohne Satz 5.10, dass das Bild von einpunktig oder unendlich ist.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und

Punkte in der affinen Ebene. Zeige, dass es genau dann eine polynomiale Abbildung

mit gibt, wenn ist.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.


Aufgabe *

Es sei ein Körper. Wir betrachten zu jedem die Abbildung

die einem Nullstellentupel das Koeffiziententupel (ohne die ) des normierten Polynoms

zuordnet.

  1. Beschreibe explizit für .
  2. Beschreibe explizit für .
  3. Begründe, dass die polynomiale Abbildungen sind.
  4. Zeige, dass die Fasern von endlich sind.
  5. Wann ist die Faser zu einem Tupel leer?
  6. Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für erreicht wird.
  7. Sei nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass surjektiv ist.


Aufgabe

Sei

eine polynomiale Abbildung und sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Zeige, dass die Aussage von Aufgabe 5.19 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass die Abbildung polynomial ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Wie viele Monome vom Grad gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?


Aufgabe (3 Punkte)

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf die algebraische Kurve an, die zur rationalen Funktion

gehört.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte das Ellipsoid

Finde eine affin-lineare Variablentransformation(über ) derart, dass das Bild von unter der Abbildung die Standardkugel wird.


Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und affin-algebraische Mengen in zu . Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.

Zeige ebenso, dass dies bei für und auch für für nicht gilt.


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