Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom mit Nullstellenmenge ${}V(F)$. Zeige, dass für jeden Punkt ${}P\in V(F)$ und jeden Skalar ${}\lambda \in K$ auch ${}\lambda P\in V(F)$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Faktorzerlegegung für die Polynome

$X^{n}-Y^{n}\in {\mathbb {C} }[X,Y]$

für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein homogenes Polynom. Zeige: ${}F$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom. Es sei ${}F=GH$ ein Faktorzerlegung. Zeige, dass ${}G$ und ${}H$ ebenfalls homogen sind.

Aufgabe

Zeige, dass ein homogenes Polynom unter einer linearen Variablentransformation homogen vom gleichen Grad bleibt, und dass dies bei einer affin-linearen Variablentransformation nicht sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass für affin-algebraische Mengen ${}V,V'\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ die Beziehung der affin-linearen Äquivalenz eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es sei ${}P=(a,b)$ ein Punkt in der affinen Ebene und ${}L$ und ${}L'$ verschiedene Geraden durch ${}P$. Es sei ${}C=V(F)$, ${}F\in K[X,Y]$, eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe explizit eine Variablentransformation (einen Koordinatenwechsel) derart, dass in den neuen Koordinaten ${}P$ der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten?

Aufgabe

Es sei sowohl ${}C$ als auch ${}D$ eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von drei (verschiedenen) Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige, dass es einen affin-linearen Koordinatenwechsel gibt, der ${}C$ in ${}D$ überführt.

Aufgabe

Es sei sowohl ${}C$ als auch ${}D$ eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von vier (verschiedenen) Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige, dass es im Allgemeinen keinen affin-linearen Koordinatenwechsel gibt, der ${}C$ in ${}D$ überführt.

Die folgenden zwei Aufgaben dienen dem Verständnis von Satz 5.4 und Korollar 5.5.

Aufgabe

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf das Polynom ${}Y$ an.

Aufgabe

Wende (den Beweis zu) Satz 5.4 auf die Hyperbel ${}XY-1$ an.

Aufgabe

Wende (den Beweis zu) Satz 5.4 auf das Polynom ${}X^{2}Y^{3}+5X^{3}Y^{2}-X^{2}Y^{2}+3Y+7\in {\mathbb {C} }[X]$ an.

Aufgabe

Sei ${}F\in \mathbb {C} [X,Y]$ ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve ${}C=V(F)$ überabzählbar viele Elemente besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}M=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\subseteq K^{2}$ eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen Körper.

1. Zeige, dass man ${}M$ als Durchschnitt von zwei algebraischen Kurven erhalten kann.
2. Zeige, dass man ${}M$ als Durchschnitt von zwei irreduziblen algebraischen Kurven erhalten kann.

Aufgabe

Berechne das Bild ${}{\tilde {F}}$ des Polynoms

${}F=X^{2}Y+3XY-Y^{3}\,$

unter dem durch

$X\longmapsto T^{2}+S-3,\,Y\longmapsto 3TS+S^{2}-T$

definierten Einsetzungshomomorphismus

$K[X,Y]\longrightarrow K[S,T].$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom mit der zugehörigen Abbildung

$F\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{1}}.$

Zeige mit und ohne Satz 5.10, dass das Bild von ${}F$ einpunktig oder unendlich ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und

$P_{1},\ldots ,P_{n}\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$

${}n$ Punkte in der affinen Ebene. Zeige, dass es genau dann eine polynomiale Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}$

mit ${}\operatorname {bild} \varphi =\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$ gibt, wenn ${}1\leq n\leq q$ ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)\longmapsto \left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right),$

die einem Nullstellentupel ${}\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)$ das Koeffiziententupel ${}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ (ohne die ${}1$) des normierten Polynoms

${}(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})=P=c_{0}+c_{1}X+\cdots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,$

zuordnet.

1. Beschreibe ${}\varphi$ explizit für ${}n=2$.
2. Beschreibe ${}\varphi$ explizit für ${}n=3$.
3. Begründe, dass die ${}\varphi$ polynomiale Abbildungen sind.
4. Zeige, dass die Fasern von ${}\varphi$ endlich sind.
5. Wann ist die Faser zu einem Tupel ${}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ leer?
6. Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für ${}K=\mathbb {R}$ erreicht wird.
7. Es sei ${}K$ nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

Aufgabe

Sei

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{r}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

eine polynomiale Abbildung und sei ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{r}}$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Gleichheit

${}{\overline {\varphi (T)}}={\overline {\varphi ({\overline {T}})}}\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Aussage von Aufgabe 5.20 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass die Abbildung polynomial ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Wie viele Monome vom Grad ${}d$ gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?

Aufgabe (3 Punkte)

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf die algebraische Kurve an, die zur rationalen Funktion

${}Y={\frac {X^{2}-2X}{X^{2}-1}}\,$

gehört.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,xy).$

Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte das Ellipsoid

${}E=V(2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}-5)={\left\{(x,y,z)\mid 2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}=5\right\}}\,.$

Finde eine affin-lineare Variablentransformation(über ${}\mathbb {R}$) derart, dass das Bild von ${}E$ unter der Abbildung die Standardkugel ${}V(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)$ wird.

Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.

Aufgabe (4 Punkte)

Seien ${}V$ und ${}{\tilde {V}}$ affin-algebraische Mengen in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ zu ${}K=\mathbb {Z} /(2)$. Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.

Zeige ebenso, dass dies bei ${}K=\mathbb {Z} /(p)$ für ${}p\geq 3$ und auch für ${}{{\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} /(2)}^{n}}$ für ${}n\geq 3$ nicht gilt.