Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 45/kontrolle
- Übungsaufgaben
Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden.
Aufgabe Aufgabe 45.1 ändern
Aufgabe Aufgabe 45.2 ändern
Es sei konstant mit für alle . Zeige, dass differenzierbar ist mit totalem Differential .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und eine offene Teilmenge. Es sei im Punkt differenzierbar mit dem Differential . Zeige, dass für alle die Beziehung
gilt.
Aufgabe Aufgabe 45.4 ändern
Es sei
eine Polynomfunktion. Zeige, dass im Nullpunkt differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
Aufgabe Aufgabe 45.5 ändern
Es sei
eine Polynomfunktion. Zeige, dass in jedem Punkt differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
Aufgabe Aufgabe 45.6 ändern
Es seien , und endlichdimensionale - Vektorräume.
- Es seien
und
-
lineare Abbildungen.
Zeige, dass die Abbildung
-linear ist.
- Es seien
und
im Punkt
differenzierbare Abbildungen.
Zeige, dass die Abbildung
im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
Aufgabe Aufgabe 45.7 ändern
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Zeige, dass die Skalarmultiplikation
in jedem Punkt differenzierbar ist mit
Aufgabe Referenznummer erstellen
Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven (für eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Umparametrisierung ) ab.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein reelles Intervall und seien
zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 45.1.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine offene Teilmenge. Weiter seien zwei in differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 45.1 auf das Diagramm
an, um zu zeigen, dass die Gleichung
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Intervall, ein reeller Vektorraum und
eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung
besteht.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge, eine Abbildung und eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
- ist differenzierbar in mit dem totalen Differential .
-
Der
Limes
existiert und ist gleich .
- Der Limes
existiert und ist gleich .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 45.15 ändern
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Mengen, ein Punkt, und in differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann die Produktabbildung
in differenzierbar ist mit
Tipp: Verwende Aufgabe 45.7 und die Kettenregel.
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