Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 34/kontrolle

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Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen

Ein metrischer Raum ist dadurch ausgezeichnet, dass es in ihm eine Abstandsfunktion gibt, und dass dadurch zwei Punkte „näher“ zueinander liegen können als zwei andere Punkte. Bei einer Abbildung

zwischen zwei metrischen Räumen kann man sich fragen, inwiefern der Abstand im Werteraum durch den Abstand im Definitionsraum kontrollierbar ist. Sei und der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte , die „nahe“ an sind, auch die Bildpunkte nahe an sind. Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein vorgegeben. Dieses repräsentiert eine „gewünschte Zielgenauigkeit“. Die Frage ist dann, ob man ein finden kann (eine „Startgenauigkeit“) mit der Eigenschaft, dass für alle mit die Beziehung gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung.


Definition  Referenznummer erstellen

Seien und metrische Räume,

eine Abbildung und . Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass

gilt. Die Abbildung heißt stetig, wenn sie stetig in für jedes ist.

Statt mit den abgeschlossenen Ballumgebungen könnte man hier genauso gut mit den offenen Ballumgebungen arbeiten. Die einfachsten Beispiele für stetige Abbildungen sind konstante Abbildungen, die Identität eines metrischen Raumes und die Inklusion einer mit der induzierten Metrik versehenen Teilmenge eines metrischen Raumes. Siehe dazu die Aufgaben.

Continuity topology.svg




Lemma  Lemma 34.2 ändern

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und und sei ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist stetig im Punkt .
  2. Für jedes gibt es ein mit der Eigenschaft, dass aus folgt, dass

    ist.

  3. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .

Beweis  

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar.
Sei nun (2) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ist. Dazu sei gegeben. Wegen (2) gibt es ein mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Nach der Wahl von ist dann

so dass die Bildfolge gegen konvergiert.

Sei (3) erfüllt und vorgegeben.  Wir nehmen an, dass es für alle Elemente gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand größer als besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche , . D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein mit

Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenwerte zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).




Satz  Satz 34.3 ändern

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist stetig in jedem Punkt .
  2. Für jeden Punkt und jedes gibt es ein mit der Eigenschaft, dass aus folgt, dass ist.
  3. Für jeden Punkt und jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .
  4. Für jede offene Menge ist auch das Urbild offen.

Beweis  

Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus Lemma 34.2.
Sei (1) erfüllt und eine offene Menge gegeben mit dem Urbild . Sei ein Punkt mit dem Bildpunkt . Da offen ist, gibt es nach Definition ein mit . Nach (2) gibt es ein mit . Daher ist

und wir haben eine offene Ballumgebung von innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist offen.
Sei (4) erfüllt und mit und vorgegeben. Da der offene Ball offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild offen. Da zu dieser Menge gehört, gibt es ein mit

so dass (1) erfüllt ist.




Lemma  Lemma 34.4 ändern

Seien metrische Räume und seien

stetige Abbildungen.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

stetig.

Beweis  

Dies folgt am einfachsten aus der Charakterisierung von stetig mit offenen Mengen, siehe Satz 34.3.


Bei einer bijektiven stetigen Abbildung zwischen metrischen Räumen ist die Umkehrfunktion nicht automatisch stetig, siehe Aufgabe 34.14 und Aufgabe 34.15.


Definition  Referenznummer erstellen

Zwei metrische Räume und heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

Eine solche Abbildung heißt Homöomorphismus.



Verknüpfungen und stetige Abbildungen



Lemma  Lemma 34.6 ändern

Die Negation

und die Inversenbildung

sind stetig.

Beweis  

Die erste Aussage folgt direkt aus


Zur zweiten Aussage sei und vorgegeben. Sei . Wir setzen . Dann gilt für jedes mit die Abschätzung (wegen )




Lemma Lemma 34.7 ändern

Die Addition

und die Multiplikation

sind stetig.

Beweis

Siehe Aufgabe 34.6.




Lemma  Lemma 34.8 ändern

Sei ein metrischer Raum und seien Funktionen

(für ) gegeben mit der zusammengesetzten Abbildung

Dann ist genau dann stetig, wenn alle Komponentenfunktionen stetig sind.

Beweis  

Es genügt, diese Aussage für zu zeigen. Dafür folgt sie direkt aus Lemma 33.13 unter Verwendung von Lemma 34.2.


Die folgende Aussage ist eine Verallgemeinerung von Lemma 12.6.



Lemma  Referenznummer erstellen

Es sei ein metrischer Raum und seien

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

stetig. Für eine Teilmenge , auf der keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

stetig.

Beweis  

Wir betrachten Abbildungsdiagramme der Form

Die Abbildung links ist stetig aufgrund von Lemma 34.8. Die rechte Abbildung ist stetig aufgrund von Lemma 34.7. Daher ist wegen Lemma 34.4 auch die Gesamtabbildung stetig. Die Gesamtabbildung ist aber die Addition der beiden Funktionen. Für die Multiplikation verläuft der Beweis gleich, für die Negation und die Division muss man zusätzlich Lemma 34.6 heranziehen und (für die Division) das Diagramm

betrachten.




Satz  Satz 34.10 ändern

Es sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist stetig.

Beweis  

Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also annehmen. Aufgrund von Lemma 34.8 können wir annehmen. Die Abbildung sei durch

mit gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei . Es sei und ein vorgegeben. Für alle mit ist insbesondere für alle und daher ist




Polynomiale Funktionen

Wir haben schon Polynome in ein und in zwei Variablen (beispielsweise bei einfachen Differentialgleichungen) verwendet. Die folgende Definition verwendet Multiindex-Schreibweise, um Polynomfunktionen in beliebig (endlich) vielen Variablen einzuführen. Dabei steht ein Index für ein Tupel

und für Variablen verwendet man die Schreibweise


Definition  Referenznummer erstellen

Eine Funktion

die man als eine Summe der Form

mit schreiben kann, wobei nur endlich viele sind, heißt polynomiale Funktion.

Offenbar sind die Summe und die Produkte von polynomialen Funktionen wieder polynomial. Dies gilt auch, wenn man Polynome in andere Polynome einsetzt.



Satz  Satz 34.12 ändern

Eine polynomiale Funktion

ist stetig.

Beweis  

Die einzelnen Variablen repräsentieren die -te lineare Projektion

Nach Satz 34.10 sind diese stetig. Aufgrund von Lemma 12.6 sind dann auch die monomialen Funktionen

stetig und damit aus dem gleichen Grund überhaupt alle polynomialen Funktionen.