Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 50/kontrolle

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Übungsaufgaben

Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Addition

und die Multiplikation

auf kritische Punkte und auf Extrema.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

(es ist also ).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ein kritischer Punkt. Es sei ein Eigenvektor zur Hesse-Matrix in mit einem positiven Eigenwert. Zeige, dass in kein lokales Maximum besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf kritische Punkte und Extrema.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion mit

für alle .

a) Zeige, dass in einen kritischen Punkt besitzt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ein isoliertes lokales Maximum besitzt.

c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in kein Extremum besitzt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definierten Funktion


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die Funktion

den maximalen Definitionsbereich und untersuche die Funktion auf Extrema.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

Für welches besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, , offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei . Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei

eine Funktion und betrachte

Zeige, dass allenfalls im Nullpunkt ein isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetige Funktion und es sei ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung derart, dass ist für alle , . Zeige, dass dann in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.



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