Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 77

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass man jeden Tangentialvektor  $v\in T_P{S}^2$  in einem Punkt $P$ auf der Einheitssphäre durch einen „uniformen“ differenzierbaren Weg auf einem Großkreis realisieren kann.

Aufgabe

Man gebe möglichst einfache Realisierungen für die Tangentialvektoren in einem Punkt $P=(s,t)$ auf dem Zylindermantel $S^1\times ℝ$ an.

Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei

$\phi :M⟶N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in M$ und $Q=\phi (P)$ und es seien

${\gamma }_1,{\gamma }_2:I⟶M$

zwei differenzierbare Kurven mit einem offenen Intervall $0\in I$ und ${\gamma }_1(0)={\gamma }_2(0)=P$. Es seien ${\gamma }_1$ und ${\gamma }_2$ im Punkt $P$ tangential äquivalent. Zeige, dass auch die Verknüpfungen $\phi \circ {\gamma }_1$ und $\phi \circ {\gamma }_2$ tangential äquivalent in $Q$ sind.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven, nicht surjektiven, differenzierbaren Abbildung

$\phi :ℝ⟶ℝ$

derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T_P(\phi ):T_Pℝ⟶T_{\phi (P)}ℝ$

in jedem Punkt  $P\in ℝ$  bijektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven, nicht injektiven, differenzierbaren Abbildung

$\phi :S^1⟶S^1$

derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T_P(\phi ):T_P{S}^1⟶T_{\phi (P)}{S}^1$

in jedem Punkt $P\in S^1$ bijektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die Addition von Wegen

${\gamma }_1,{\gamma }_2:I⟶M$

mit ${\gamma }_1(0)={\gamma }_2(0)=P\in M$, die man durch eine Karte

$\alpha :U⟶V$

mit $\alpha (P)=0$ aus der Addition im ${ℝ}^n$ erhalten kann, im Allgemeinen von der gewählten Karte abhängt.

Aufgabe

Zeige, dass die Tangentialabbildung $T_P(\phi )$ zu

$\phi :{ℝ}^1⟶S^1,t⟼(\cos t,\sin t),$

in jedem Punkt $P\in ℝ$ bijektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung

$\phi :M⟶N$

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T_P(\phi ):T_{P}M⟶T_{\phi (P)}N$

in einem Punkt $P\in M$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung

$\phi :M⟶N$

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T_P(\phi ):T_{P}M⟶T_{\phi (P)}N$

in einem Punkt $P\in M$ nicht injektiv ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und  $P\in M$  ein Punkt. Wir betrachten die folgende Menge.

$T=\{(U,f)\mid U\subseteq M\text{ offen},P\in U,f\in C^1(U,ℝ)\}.$

Wir betrachten die Relation

$(U,f)\sim (V,g):\text{ es gibt eine offene Menge }W\text{ mit }P\in W\subseteq U\cap V\text{ mit }f{|}_W=g{|}_W.$

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf $T$ ist.
2. Zeige, dass es eine natürliche Ringstruktur auf der Menge der Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation gibt.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $Y$ eine Menge und

$\phi :X⟶Y$

eine Abbildung. Zeige, dass das Mengensystem

$𝒯=\{V\subseteq Y\mid {\phi }^{-1}(V)\text{ ist offen in }X\}$

eine Topologie auf $Y$ definiert, bezüglich der $\phi$ stetig ist.

Die in der vorstehenden Aufgabe eingeführte Topologie nennt man Bildtopologie.

Aufgabe

Zeige, dass auf dem ${ℝ}^n$ durch

$P\sim Q,\text{ falls }P-Q\in {\mathbb{Z}}^n$

eine Äquivalenzrelation definiert wird. Die Quotientenmenge

$Y={ℝ}^n/\sim ={ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^n$

sei mit der Bildtopologie zur Quotientenabbildung $\phi :{ℝ}^n\to Y$ versehen. Zeige, dass $Y$ ein Hausdorffraum ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$. Zeige, dass für eine differenzierbare Kurve

$\gamma :I⟶M$

mit $\gamma (0)=P$ und $a\in ℝ$ im Tangentialraum $T_{P}M$ die Beziehung

$a[\gamma ]=[\lambda ]$

gilt, wobei $\lambda$ durch $\lambda (t):=\gamma (at)$ definiert sei.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $M$ eine $C^k$-Mannigfaltigkeit und  $P\in M$.  Definiere für $C^k$-Kurven

${\gamma }_1,{\gamma }_2:I⟶M$

mit  ${\gamma }_1(0)={\gamma }_2(0)=P$  eine Äquivalenzrelation, die in einer (jeder) Karte die Ableitungen bis zur Ordnung $k$ berücksichtigt. Wie sehen einfache Vertreter dieser Äquivalenzrelation aus? Definiere eine Vektorraumstruktur auf der Quotientenmenge und bestimme die Dimension.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$. Wir sagen, dass zwei Kurven

${\gamma }_1,{\gamma }_2:I⟶M$

mit ${\gamma }_1(0)={\gamma }_2(0)=P$ den gleichen Kurvenkeim definieren, wenn es ein $ϵ>0$ mit

${\gamma }_1{\mid }_{[-ϵ,ϵ]}={\gamma }_2{\mid }_{[-ϵ,ϵ]}$

gibt.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kurven $\gamma :I\to M$ mit $\gamma (0)=P$ (und mit verschiedenen offenen Intervallen $0\in I$) definiert.

b) Zeige, dass differenzierbare Kurven, die den gleichen Kurvenkeim repräsentieren, auch den gleichen Tangentialvektor repräsentieren.

Aufgabe (8 Punkte)

Der Quotientenraum  $Y={ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^n$  sei mit der Bildtopologie versehen. Definiere auf $Y$ eine Mannigfaltigkeitsstruktur durch geeignete Karten. Zeige, dass die Quotientenabbildung

$\phi :{ℝ}^n⟶Y$

eine differenzierbare Abbildung ist, und dass die Tangentialabbildung in jedem Punkt ein Isomorphismus ist.