Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 77

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass man jeden Tangentialvektor in einem Punkt auf der Einheitssphäre durch einen „uniformen“ differenzierbaren Weg auf einem Großkreis realisieren kann.


Aufgabe

Man gebe möglichst einfache Realisierungen für die Tangentialvektoren in einem Punkt auf dem Zylindermantel an.


Aufgabe

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei

eine differenzierbare Abbildung. Es sei und und es seien

zwei differenzierbare Kurven mit einem offenen Intervall und . Es seien und im Punkt tangential äquivalent. Zeige, dass auch die Verknüpfungen und tangential äquivalent in sind.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven, nicht surjektiven, differenzierbaren Abbildung

derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

in jedem Punkt bijektiv ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven, nicht injektiven, differenzierbaren Abbildung

derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

in jedem Punkt bijektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die Addition von Wegen

mit , die man durch eine Karte

mit aus der Addition im erhalten kann, im Allgemeinen von der gewählten Karte abhängt.


Aufgabe

Zeige, dass die Tangentialabbildung zu

in jedem Punkt bijektiv ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

in einem Punkt nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

in einem Punkt nicht injektiv ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Wir betrachten die folgende Menge.

Wir betrachten die Relation

  1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ist.
  2. Zeige, dass es eine natürliche Ringstruktur auf der Menge der Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation gibt.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum, eine Menge und

eine Abbildung. Zeige, dass das Mengensystem

eine Topologie auf definiert, bezüglich der stetig ist.


Die in der vorstehenden Aufgabe eingeführte Topologie nennt man Bildtopologie.

Aufgabe

Zeige, dass auf dem durch

eine Äquivalenzrelation definiert wird. Die Quotientenmenge

sei mit der Bildtopologie zur Quotientenabbildung versehen. Zeige, dass ein Hausdorff-Raum ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und . Zeige, dass für eine differenzierbare Kurve

mit und im Tangentialraum die Beziehung

gilt, wobei durch definiert sei.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine -Mannigfaltigkeit und . Definiere für -Kurven

mit eine Äquivalenzrelation, die in einer

(jeder) Karte die Ableitungen bis zur Ordnung berücksichtigt. Wie sehen einfache Vertreter dieser Äquivalenzrelation aus? Definiere eine Vektorraumstruktur auf der Quotientenmenge und bestimme die Dimension.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und . Wir sagen, dass zwei Kurven

mit den gleichen Kurvenkeim definieren, wenn es ein mit

gibt.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kurven mit (und mit verschiedenen offenen Intervallen ) definiert.

b) Zeige, dass differenzierbare Kurven, die den gleichen Kurvenkeim repräsentieren, auch den gleichen Tangentialvektor repräsentieren.


Aufgabe (8 Punkte)

Der Quotientenraum sei mit der Bildtopologie versehen. Definiere auf eine Mannigfaltigkeitsstruktur durch geeignete Karten. Zeige, dass die Quotientenabbildung

eine differenzierbare Abbildung ist, und dass die Tangentialabbildung in jedem Punkt ein Isomorphismus ist.



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