Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 76

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine Abbildung. Es sei eine offene Überdeckung von . Zeige, dass genau dann differenzierbar ist, wenn alle Einschränkungen differenzierbar sind.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

eine Karte (also und offen). Zeige, dass ein Diffeomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

differenzierbare Funktionen auf . Beweise die folgenden Aussagen.
  1. Die Abbildung
    ist differenzierbar.
  2. ist differenzierbar.
  3. ist differenzierbar.
  4. Wenn keine Nullstelle besitzt, so ist auch differenzierbar.


Aufgabe

Es sei die Sphäre. Zeige unter Verwendung der stereographischen Karten, dass die Einschränkungen der Koordinaten des Raumes auf die Sphäre differenzierbare Funktionen sind.


Aufgabe

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

induziert.


Aufgabe

Zeige, dass zu die Einbettung des Unterraumes in den , die durch gegeben ist, beliebig oft differenzierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche zu , zur punktierten Ebene und zu diffeomorph ist.


Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.

Eine Funktion

heißt homogen vom Grad , wenn für jeden Punkt und jedes die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare homogene Funktion, die in der Faser über regulär sei. Zeige, dass jede Faser zu eine zu diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe

Es sei ein offenes Intervall und

eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge eine zu einem offenen Zylinder diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre -diffeomorph sind.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit und einem Punkt derart, dass und zueinander diffeomorph sind.


Aufgabe

Zeige, dass die Antipodenabbildung

ein fixpunktfreier Diffeomorphismus ist, der zu sich selbst invers ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension unendlich viele Diffeomorphismen

besitzt.


Die folgenden Aufgaben sollen erläutern, warum man Mannigfaltigkeiten mit offenen Überdeckungen ansetzt.


Es sei eine Folge in einem topologischen Raum . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jeder offenen Umgebung von gibt es ein derart, dass für alle die Folgenglieder zu gehören.

In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.


Aufgabe

Es sei eine topologische Mannigfaltigkeit und eine Folge in . Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn es ein Kartengebiet von gibt, das fast alle Glieder der Folge enthält und so, dass die entsprechende Bildfolge im Kartenbild konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine topologische Mannigfaltigkeit und

eine Familie von Karten mit den Übergangsabbildungen

Zeige, dass man aus der Familie der , , den Teilmengen und den Übergangsabbildungen

die Mannigfaltigkeit rekonstruieren kann.

a) Betrachte auf

die Äquivalenzrelation, unter der zwei Punkte und gleich sind, wenn sie unter ineinander abgebildet werden.

b) Versehe die Quotientenmenge mit einer geeigneten Topologie.

c) Definiere auf Karten.

d) Zeige, dass und homöomorph sind.


Das in der vorstehenden Aufgabe beschriebene Konstruktionsverfahren für eine Mannigfaltigkeit funktioniert für eine Familie von offenen Teilmengen im mit Übergangsabbildungen, die die Kozykelbedingung aus Aufgabe 75.15 erfüllen. Allerdings ist der dabei entstehende topologische Raum nicht ohne weiteres ein Hausdorff-Raum. Man spricht vom offenen Verkleben von Räumen.

Aufgabe

Wir betrachten die reelle Gerade zweifach, also und zusammen mit der Verklebungsabbildung

Es sei der entstehende topologische Raum gemäß der in Aufgabe 76.13 beschriebenen Konstruktion. Zeige, dass homöomorph zur -Sphäre ist.


Aufgabe

Wir betrachten die reelle Gerade zweifach, also und zusammen mit der Verklebungsabbildung

Es sei der entstehende topologische Raum gemäß der in Aufgabe 76.13 beschriebenen Konstruktion. Zeige, dass keine Mannigfaltigkeit ist.




Aufgaben zum Abgeben

In der folgenden Aufgabe interpretiere man als .

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Für welche Punkte ist die Faser über eine Mannigfaltigkeit? Man gebe jeweils eine möglichst einfache Beschreibung des Diffeomorphietyps.


Aufgabe (6 Punkte)

Es seien zwei Punkte und auf der Einheitssphäre gegeben. Zeige, dass es einen Diffeomorphismus der Sphäre in sich gibt, der in überführt.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge betrachten wir die Menge der differenzierbaren Funktionen auf . Es sei eine offene Überdeckung.

  1. Zeige, dass zu offen und auch die Einschränkung zu gehört.
  2. Sei . Zeige, dass genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen sind.
  3. Es sei eine Familie von Funktionen gegeben, die die „Verträglichkeitsbedingung“ für alle erfüllen. Zeige, dass es ein gibt mit für alle .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es differenzierbare Funktionen

gibt mit , aber .



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