Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 19

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Übungsaufgaben
Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Aufgabe *

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?


Aufgabe

Betrachte die Funktion

die durch

definiert ist. Untersuche in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.


Aufgabe

Betrachte die Funktion

Finde die Punkte derart, dass die Steigung der Funktion in gleich der Durchschnittssteigung zwischen und ist.


Aufgabe

Es seien

differenzierbare Funktionen. Es sei ein Punkt und es gelte

Zeige, dass


Aufgabe *

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei . Es gelte

Zeige, dass


Aufgabe *

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung einen Schnittpunkt mit der durch definierten Geraden besitzt.


Aufgabe *

Es sei

a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl derart an, dass ist.


Aufgabe

Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte stetig differenzierbare Funktion und sei ein Punkt mit . Zeige, dass es offene Intervalle mit und derart gibt, dass die eingeschränkte Funktion bijektiv ist.


Aufgabe *

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe *

Es sei ein reelles Intervall,

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Wenn ist, so besitzt in ein isoliertes lokales Minimum.
  2. Wenn ist, so besitzt in ein isoliertes lokales Maximum.


Aufgabe *

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Aufgabe

Die Stadt soll mit den beiden Städten und mit durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der -Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.


Aufgabe

An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?


Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.


Aufgabe *

Es sei eine -fach stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die -te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass maximal Nullstellen besitzt.


Aufgabe

Führe die Details im Beweis zu Satz 19.8 aus.


Aufgabe


Aufgabe

Es sei ein Intervall und es sei

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung

eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel 19.10).


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .


Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert von

im Punkt , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert


Aufgabe *

Beweise die Regel von l'Hospital unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Nennerfunktion überall differenzierbar und die Ableitung keine Nullstelle besitzt, mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.




Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Polynomfunktion vom Grad . Es sei die Anzahl der lokalen Maxima von und die Anzahl der lokalen Minima von . Zeige, dass bei ungerade und bei gerade ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form

(mit ), keine lokalen Extrema besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 19.24 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).

  1. Ist wachsend?
  2. Ist surjektiv?
  3. Ist injektiv?
  4. Besitzt einen Fixpunkt?




Die Weihnachtsaufgabe

Aufgabe (10 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 19.24 entspricht. Unter einem Zykel von der Länge verstehen wir ein derart, dass ( bezeichnet die -te Hintereinanderschaltung von mit sich selbst) und ist für . Besitzt Zykel der Länge ?

(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)


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