Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 52

Übungsaufgaben

Mit diffeomorph ist im Folgenden stets ${}C^{1}$-diffeomorph gemeint.

Aufgabe

Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen ${}\mathbb {R} ^{n}$ und einer offenen Kugel ${}U{\left(0,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe

Zeige, dass eine offene Kreisscheibe ${}U{\left(P,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ($r>0$) und ein offenes Rechteck ${}]a,b[\times ]c,d[$ ($b>a,d>c$) diffeomorph sind.

Aufgabe

Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Identität ist ein Diffeomorphismus.
2. Eine lineare bijektive Abbildung ist ein Diffeomorphismus.
3. Die Umkehrabbildung eines Diffeomorphismus ist wieder ein Diffeomorphismus.
4. Die Hintereinanderschaltung von Diffeomorphismen ist ein Diffeomorphismus.

Aufgabe

Es seien ${}U_{1}\subseteq V_{1}$, ${}U_{2}\subseteq V_{2}$, ${}U_{3}\subseteq V_{3}$, und ${}U_{4}\subseteq V_{4}$ offene Teilmengen in reellen endlichdimensionalen Vektorräumen. Es seien

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{3}$

und

$\psi \colon U_{2}\longrightarrow U_{4}$

${}C^{1}$- Diffeomorphismen. Zeige, dass auch die Produktabbildung

$\varphi \times \psi \colon U_{1}\times U_{3}\longrightarrow U_{2}\times U_{4}$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei

${}U_{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x>y\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$

und

${}U_{2}={\left\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u^{2}>4v\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$

a) Skizziere ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$.

b) Zeige, dass ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ offen sind.

c) Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy),$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}y,x-\sin y).$

Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}P=(1,0)$ regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von ${}\varphi |_{U}$ in ${}\varphi (P)$, wobei ${}U$ eine offene Umgebung von ${}P$ sei (die nicht explizit angegeben werden muss).

Kommentar:

Die Abbildung ist auf ganz ${}\mathbb {R} ^{2}$ definiert und überall partiell differenzierbar. Nach Satz . ist ${}\varphi$ folglich total differenzierbar. Die regulären Punkte ${}Q$ sind genau diejenigen, in denen das totale Differential vollen Rang besitzt, also ${}\operatorname {rang} (D\varphi )_{Q}=2$. Als lineare Abbildung wird das totale Differential durch die Jacobi-Matrix beschrieben. In unserem Fall ist die zugehörige Jacobi-Matrix quadratisch, sodass wir mittels der Determinante überprüfen können, ob das totale Differential maximalen Rang besitzt. Entsprechend ist ${}Q$ genau dann ein regulärer Punkt, wenn

$\det(\operatorname {Jak} (\varphi )_{Q})\neq 0$

gilt. Für welche Punkte gilt dies, wenn man das berechnet?

Für die regulären Punkte gilt nun nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit, dass ${}\varphi$ in einer (möglicherweise sehr kleinen) Umgebung von ${}\varphi (Q)$ eine Umkehrabbildung existiert, die sogar stetig differenzierbar ist. Ist dies ein Diffeomorphismus? Im Allgemeinen existiert eine solche Umkehrabbildung nicht global, sondern nur lokal in einer Umgebung von ${}\varphi (Q)$. Für ${}\varphi$ kann man das auch direkt nachvollziehen, weil ${}\varphi$ nicht injektiv ist (der Punkt ${}(0,0)$ hat beispielsweise viele Urbilder).

In der Regel ist es schwierig, diese Umkehrabbildung explizit zu berechnen, aber wir können zumindest das totale Differential der lokalen Umkehrabbildung (die wir mit ${}\psi$ bezeichnen) angeben. Für die Hintereinanderschaltung ${}\psi \circ \varphi$ wissen wir, dass dies die Identitätsabbildung in einer Umgebung von ${}Q$ ist. Durch Verwenden der der Kettenregel können wir daher folgern, dass

$\operatorname {Jak} (\psi )_{\varphi (Q)}\circ \operatorname {Jak} (\varphi )_{Q}$

die Identitätsmatrix sein muss. Die Jacobi-Matrizen sind also invers zueinander. Für ${}P=(1,0)$ lässt sich das totale Differential der Umkehrabbildung somit über die Inverse der Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ berechnen.

Falls ${}Q$ kein regulärer Punkt ist, so wird dies als kritischer Punkt bezeichnet. In diesem Fall macht der Satz über die lokale Umkehrbarkeit keine Aussage darüber, ob die Abbildung in diesem kritischen Punkt lokal invertierbar ist. Tatsächlich können beide Fälle auftreten, was man dann durch spezifische Überlegungen entscheiden muss.

 

Aufgabe *

Man gebe für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

$\varphi _{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.

Aufgabe

Es seien ${}U,V,W$ euklidische Vektorräume und seien ${}\varphi :U\longrightarrow V$ und ${}\psi :V\longrightarrow W$ differenzierbare Abbildungen. Es sei ${}\varphi$ regulär in ${}P\in U$ und ${}\psi$ regulär in ${}Q=\varphi (P)\in V$. Ist dann ${}\psi \circ \varphi$ regulär in ${}P$? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?

Aufgabe

Das komplexe Quadrieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

kann man reell als

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x+{\mathrm {i} }y=(x,y)\longmapsto (x+{\mathrm {i} }y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2{\mathrm {i} }xy=(x^{2}-y^{2},2xy),$

schreiben. Untersuche ${}\varphi$ auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist ${}\varphi$ umkehrbar?

Aufgabe

Finde möglichst große offene Teilmengen ${}G\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ und ${}H\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$

einen Diffeomorphismus von ${}G$ nach ${}H$ induziert.

Kommentar:

Wir fassen die Abbildung als reelle Abbildung ${}\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auf. Hier bietet es sich an, mit der Polardarstellung der komplexen Zahlen zu arbeiten, also ${}z=re^{i\alpha }$ mit ${}r\geq 0$ und ${}0\leq \alpha <2\pi$. Über den komplexen Zahl ist das Potenzieren zum Exponenten ${}3$ nicht injektiv (wohl aber surjektiv). Für

$z'=re^{i\left(\alpha +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)}$

gilt zum Beispiel

$(z')^{3}=r^{3}e^{3i\left(\alpha +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)}=r^{3}e^{3i\alpha }e^{i2\pi }=z^{3}.$

Wenn wir die Abbildung auf eine offene Teilmenge einschränken wollen, auf der sie bijektiv ist, können folglich keine Punkte enthalten sein, die sich genau um eine ${}120$-Grad-Drehung unterscheiden. Beispielsweise können wir als offene Menge ${}G$ die Punkte mit ${}0<\alpha <{\tfrac {2\pi }{3}}$ und ${}r>0$ wählen, aber es sind viele andere Definitionsgebiete denkbar. Auf diesem Gebiet ${}G$ ist die Abbildung nach den vorherigen Überlegungen injektiv und folglich bijektiv. Mit ${}H=\{z=re^{i\alpha }\mid r>0,0<\alpha <2\pi \}$ können wir die Umkehrabbildung durch

$H\longrightarrow G,\quad z=re^{i\alpha }\longmapsto {\sqrt[{3}]{r}}e^{i{\tfrac {\alpha }{3}}}$

angeben, sodass die Umkehrabbildung stetig ist. Die auf ${}G$ eingeschränkte Abbildung könnten wir daher auch als ${}C^{0}$-Diffeomorphismus bezeichnen.

Der Begriff Diffeomorphismus selbst steht für ${}C^{1}$-Diffeomorphismus. Wir müssen also noch begründen, dass die eingeschränkte Abbildung auf ${}G$ und deren Umkehrung differenzierbar sind – zum Beispiel durch Betrachtung der Jacobi-Matrix.

 

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {y^{2}}{x}},\,{\frac {y^{3}}{x^{2}}}\right).$

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung ${}\varphi$.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}P=(1,2)$ lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung ${}\psi =\varphi ^{-1}$ besitzt, und bestimme das totale Differential von ${}\psi$ im Punkt ${}\varphi (P)$.

c) Man gebe alle Punkte ${}Q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R}$ an, in denen ${}\varphi$ nicht lokal invertierbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Transformation

$[0,2\pi ]\times [0,1]\longrightarrow B\left(0,1\right),\,(\alpha ,w)\longmapsto ({\sqrt {w}}\cos \alpha ,{\sqrt {w}}\sin \alpha ),$

auf geeigneten offenen Teilmengen ein Diffeomorphismus ist und berechne die Jacobi-Determinante in jedem Punkt.

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ und ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ Punkte in der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass die beiden offenen Mengen ${}U=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$ und ${}V=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{Q_{1},\ldots ,Q_{n}\}$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe

Es sei

${}T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\,,$

${}U=\mathbb {R} \setminus T\,$

und

${}V=\mathbb {R} \setminus \mathbb {N} \,.$

Zeige, dass ${}U$ und ${}V$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe

Es sei

${}T={\left\{\left({\frac {1}{n}},0\right)\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{(0,0)\}\,,$

${}U=\mathbb {R} ^{2}\setminus T\,$

und

${}V=\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {N} \,.$

Zeige, dass ${}U$ und ${}V$ zueinander nicht homöomorph sind.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(a,b,c,d,u,v)\longmapsto (au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^{2},bd-c^{2}).$

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}(1,1,0,0,1,1)$ regulär ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$F\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).$

Zeige, dass ein Punkt ${}P=(x,y,z)$ genau dann ein regulärer Punkt von ${}F$ ist, wenn die Koordinaten von ${}P$ paarweise verschieden (also ${}x\neq y$, ${}x\neq z$ und ${}y\neq z$) sind.

Aufgabe *

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die Menge der regulären Punkte von ${}\varphi$ offen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(u,v)\longmapsto \left({\frac {-u}{u^{2}+v^{2}}},\,{\frac {-v}{u^{2}+v^{2}}}\right),$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe *

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${}U\subseteq V$ und ${}U'\subseteq W$ offene Teilmengen und

$\varphi \colon U\longrightarrow U'$

ein Diffeomorphismus. Es sei

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto F(t,x),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}G$ das durch

${}G(t,y):={\left(D\varphi \right)}_{\varphi ^{-1}(y)}{\left(F(t,\varphi ^{-1}(y))\right)}\,$

definierte Vektorfeld auf ${}U'$. Zeige, dass

$\alpha \colon J\longrightarrow U$

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems

$x'=F(t,x){\text{ mit }}x(t_{0})=x_{0},$

wenn ${}\varphi \circ \alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=G(t,y){\text{ mit }}y(t_{0})=\varphi (x_{0})$

ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).$

Zeige, dass ein Punkt ${}(x,y,z)$ genau dann ein kritischer Punkt von ${}\varphi$ ist, wenn in ${}(x,y,z)$ zwei Zahlen doppelt vorkommen.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}-y^{2}z,y+\sin xz).$

Zeige, dass die Menge der kritischen Punkte von ${}\varphi$ eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere (mindestens einen) Punkte enthält.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,xy).$

Bestimme die regulären Punkte, die Fasern  (also die Urbilder zu einem Punkt ${}(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}$), das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen ${}U_{1},U_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ derart an, dass

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ und ${}V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen mit ${}0\in V_{1},V_{2}$ und es sei

$\varphi \colon U_{1}\times V_{1}\longrightarrow U_{2}\times V_{2}$

ein Diffeomorphismus, der eine Bijektion zwischen ${}U_{1}\times \{0\}$ und ${}U_{2}\times \{0\}$ induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U_{1}\cong U_{1}\times \{0\}$ nach ${}U_{2}\cong U_{2}\times \{0\}$ ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe das komplexe Potenzieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{n},$

in Polarkoordinaten.