Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 26

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Aufgabe

Definiere eine Garbe auf mit nichttrivaler erster Kohomologie.


Aufgabe

Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes und sei eine Garbe von kommutativen Gruppen auf . Zeige


Aufgabe

Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes und sei eine Garbe von kommutativen Gruppen auf . Es sei ein Čech-Kozykel, der für ein bestimmtes den Wert und für alle anderen -elementigen Teilmengen den Wert besitzt. Bestimme .


Aufgabe

Es sei ein Körper und die projektive Gerade über . Bestimme die erste Čech-Kohomologie . Welche Beziehung besteht zu Beispiel 26.1?


Aufgabe

Zeige, dass die Zuordnung aus dem Beweis zu Lemma 26.8, die einem Schnitt eine Čech-Kohomologieklasse zu zuordnet, unabhängig von den gewählten lokalen Repräsentanten in und ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei ein irreduzibler topologischer Raum und sei die konstante Garbe zur kommutativen Gruppe . Bestimme den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologien zu zu einer endlichen offenen Überdeckung .


Aufgabe

Es sei ein beringter Raum, eine offene Überdeckung und ein -Modul. Zeige, dass der Čech-Komplex zu zur gegebenen Überdeckung ein Komplex von -Moduln ist und dass folglich die Čech-Kohomologien ebenfalls -Moduln sind.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, mit . Zeige



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