Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 26

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Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Motivation für Cech-Kohomologie/Bemerkung



Čech-Kohomologie

Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes . Für eine Teilmenge setzen wir . Wir fixieren eine Wohlordnung auf (man braucht hauptsächlich den Fall für endliches ). Für eine Garbe von kommutativen Gruppen auf betrachtet man die Auswertungen zu den verschiedenen . Dies führt zur Čech-Kohomologie, die ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Garbenkohomologien ist. Für ein Element und schreiben wir abkürzend

und oft häufig einfach .


Definition  

Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes und eine Garbe von kommutativen Gruppen auf . Zu setzt man

und definiert Gruppenhomomorphismen

durch

wobei man gemäß der Ordnung auf schreibt. Der Komplex

heißt Čech-Komplex (zur Garbe und zur Überdeckung).



Lemma  

Der Čech-Komplex

ist in der Tat ein Komplex.

Beweis  

Es sei ein Tupel, das für die fixierte Indexmenge den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann ist

Man beachte, dass das Vorzeichen in der Klammer von der Position von in abhängt.



Definition  

Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes und eine Garbe von kommutativen Gruppen auf . Zu definiert man die -te Čech-Kohomologie als die -te Homologie des Čech-Komplexes .


Beispiel  

Wir betrachten auf dem Kreis die Überdeckung mit zwei offenen Intervallen

und der Kohomologieklasse, die auf

durch auf und auf gegeben ist. Dies ist ein nichttrivialer Čech-Kozyklus für die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in einem Körper . Bei ist diese Garbe eine Untergarbe der Garbe der stetigen -wertigen Funktionen. Bei bleibt der Kozyklus nichttrivial, dagegen wird er bei trivial, da man auf die konstante -Funktion und auf eine Funktion nehmen kann, die die stetig in die überführt, ohne eine Nullstelle zu haben (man wandert entlang des komplexen Einheitskreises).




Lemma  

Es sei eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum und es sei eine offene Überdeckung mit und für alle .

Dann ist

Beweis  

Es sei eine Einbettung in eine injektive Garbe und

die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz (siehe Korollar 25.2  (3)) und wegen Satz 24.8 ist

Wir definieren zuerst einen Homomorphismus

Ein Schnitt legt Restriktionen fest. Da auf den keine Kohomologie besitzt, gibt es

die auf die abbilden. Die Elemente

werden auf in abgebildet, daher ist

Für Indizes ist

Somit sind die ein Čech-Kozyklus und definieren ein Element in . Diese Zuordnung ist unabhängig von den gewählten und ein Gruppenhomomorphismus. Sei nun . Dann sind die alle gleich und daher sind die konstruierten alle . Ein solches Element wird also unter der angegebenen Abbildung auf abgebildet. Dies ergibt nach Satz 47.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) eine Faktorisierung

Sei nun umgekehrt eine Čech-Kohomologieklasse von gegeben, die durch

mit repräsentiert sei. Wir fassen die in auf. Es gibt dann Elemente

mit . Diese Elemente definieren Elemente

Da ihre Differenzen von herrühren, sind sie verträglich und definieren ein globales Element

Wenn die durch andere Elemente repräsentiert werden, so sind die Elemente , , wegen

verträglich und definieren ein globales Element in . Insgesamt liegt daher eine wohldefinierte Abbildung

vor. Dies ist ein Gruppenhomomorphismus und invers zu der zuvor konstruierten Abbildung.




Lemma  

Es sei eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum und es sei eine azyklische Auflösung von mit zugehörigen kurzen exakten Sequenzen

gegeben. Es sei eine offene Überdeckung mit für alle nichtleeren und alle und .

Dann ist

Beweis  

Wir führen Induktion über , der Fall wurde in Lemma 26.5 behandelt, die Argumentation orientiert sich an diesem Satz. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

und die Isomorphismen

wobei der linke Isomorphismus durch den verbindenden Homomorphismus und der rechte Isomorphismus auf der Induktionsvoraussetzung beruht. Wir müssen also noch zeigen, dass es einen Isomorphismus

gibt. Eine Klasse links wird durch ein Tupel

mit der Bedingung

repräsentiert. Wegen der Azyklizität der Überdeckung gibt es ein Tupel

das auf abbildet. Dieses definiert wiederum ein Differenzentupel , wobei die -elementigen Teilmengen von durchläuft, durch




Lemma  

Es sei ein projektives Schema über einem kommutativen Ring und sei ein quasikohärenter Modul auf .

Dann stimmt die Garbenkohomologie von mit der Čech-Kohomologie zur affinen Überdeckung durch die überein.

Beweis  

Es seien die Variablen des homogenen Koordinatenringes zum projektiven Schema . Sämtliche Durchschnitte

sind affin nach Lemma 12.9. Zu gibt es eine welke quasikohärente Garbe mit zugehöriger kurzer exakten Sequenz

Hierbei ist der Quotient wieder quasikohärent. Nach Satz 25.11 besitzen quasikohärente Garben auf affinen Schemata keine Kohomologie. Daher können wir Lemma 26.6 anwenden.


Die entsprechende Aussage gilt für quasiaffine Schemata. Entscheidend ist die Eigenschaft, dass der Durchschnitt von affinen Teilmengen wieder affin ist. Das gilt oft, aber nicht für jedes Schema.



Čech-Kohomologie auf dem Polynomring

Es sei ein kommutativer Ring und

der Polynomring über in Variablen. Man denke insbesondere an den Fall, wo ein Körper ist. Wir betrachten die offene Menge

wobei wir mit der angegebenen affinen Überdeckung mit den arbeiten werden. Der Čech-Komplex zu einem -Modul auf zu dieser Überdeckung hat somit die Gestalt

Dabei ist, bezogen auf die Čechnotation,

und die -te Čech-Kohomologie liegt in .



Beispiel  

Sei . Der Čechkomplex zur Strukturgarbe ist

Dieser Komplex ist mit der feinen Monomgraduierung verträglich. Die Komponente zu hängt im Wesentlichen davon ab, ob die Exponenten positiv oder negativ sind. Wenn und beide nichtnegativ sind, so steht hier insgesamt

und der Komplex ist hinten exakt und der Kern vorne ist isomorph zu . Wenn negativ und nichtnegativ ist (entsprechend umgekehrt), so steht hier insgesamt

und der Komplex ist exakt. Wenn und beide nichtnegativ sind, so steht hier insgesamt

und die hintere Homologie ist . Insgesamt ist daher

und .



Beispiel  

Sei . Der Čechkomplex zur Strukturgarbe ist

Dieser Komplex ist mit der feinen Monomgraduierung verträglich. Es ist gleich , ist und ist der freie -Modul mit der Basis , .




Satz  

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über in Variablen.

Dann ist die Čech-Kohomologie zur Strukturgarbe und zur Überdeckung der offenen Menge gleich

Beweis  

Wir betrachten den Čechkomplex mit der feinen durch die Monome gegebenen -Graduierung. Zu fixierten

sei die Menge der Indizes mit negativem Eintrag. Zu diesem ist

Der Komplex zum Index entspricht also einem aufsteigenden Binomialkomplex zu (statt ), aber ohne einem freien Summanden links für die leere Menge. Das entspricht dem und dieses dem Monom in der Nenneraufnahme zu .

Bei und zumindest einem negativen Exponenten steht links höchstens ein isoliertes . Dies wird aber () nicht auf abgebildet und somit hat dies keinen Beitrag zu . Wenn hingegen alle Exponenten nichtnegativ sind, so sind die Elemente gleich

und dieses wird genau dann auf abgebildet, wenn die Koeffizienten übereinstimmen. Daher ist die nullte Čechkohomologie gleich dem Polynomring

Sei . Bei ist die Situation isomorph zu einem aufsteigenden Binomialkomplex zu eienr nichtleeren Indexmenge und daher ist die Homologie trivial nach Lemma Anhang 8.11. Daher ist die Homologie überhaupt trivial für alle zwischen und . Sei also und . Dies sind die mit ausschließlich negativen Exponenten. Der Komplex (entspricht dem leeren aufsteigenden Binomialkomplex) ist

und daher ist


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