Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 26

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Eine projektive Varietät über einem Körper ist nach Definition (realisierbar als) eine abgeschlossene Untervarietät . Hierbei konkurrieren zwei Sichtweisen:

Einerseits (und dies nennt man den extrinsischen Standpunkt) erlaubt die Realisierung von als Teilmenge eines projektiven Raumes, Konzepte, Strukturen, Eigenschaften des umgebenden Raumes durch Einschränkung auf zu verwenden, man kann das Schnittverhalten von mit anderen Untervarietäten untersuchen, man kann nach Beziehungen zum offenen Komplement Ausschau halten. Ferner nimmt jede Visualisierung von Bezug auf einen umgebenden Raum.

Andererseits (und dies nennt man den intrinsischen Standpunkt) kann man sich fragen, welche Eigenschaften von der Varietät selbst inhärent und unabhängig von einer gewissen Realsisierung zukommen. Die Varietät ist typischerweise isomorph zu einer „anderen“ Varietät , die als eine abgeschlossene Teilmenge gegeben ist. Welche Eigenschaften von bzw. sind unabhängig von den jeweiligen Einbettungen?

Die beiden Standpunkte überschneiden sich, wenn man folgende Fragen betrachtet: Wie viele Einbettungen für ein gegebenes gibt es? Kann man sich eine Übersicht über alle möglichen Einbettungen von in einen projektiven Raum verschaffen? Gibt es eine beste Einbettung, wo etwa die Dimension des umgebenden Raumes klein ist oder wo die Beziehung zu ihm besonders übersichtlich ist. Gibt es eine besonders natürliche Einbettung, die mit charakteristischen Objekten auf zusammenhängt?

Betrachten wir beispielsweise die abgeschlossene projektive Kurve . Dies ist eine Kurve vom Grad , ihr Durchschnitt mit einer Geraden besteht aus zwei Punkten (gezählt mit Vielfachheiten). Die Abbildung

induziert einen Isomorphismus , d.h. die Kurve ist isomorph zur projektiven Geraden und somit eine „unnötig gekrümmte“ Version der projektiven Geraden. Allerdings sind Kurven vom Grad zwei (Quadriken, Kegelschnitte) natürliche Objekte in der Ebene, und, von der projektiven Geraden aus gesehen, bilden die Elemente eine Basis der zweiten homogenen Stufe des affinen Koordinatenringes der projektiven Geraden. Diese treten wiederum als globale Schnitte der invertierbaren Garbe auf. In der Tat werden wir sehen, dass die verschiedenen Einbettungen von in einen projektiven Raum mit globalen Schnitten auf invertierbaren Garben auf zusammenhängt.




Lemma  

Es sei eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei der Funktionenkörper von .

Dann definiert jede rationale Funktion in natürlicher Weise einen Morphismus

in die projektive Gerade .

Beweis  

Es sei

der Definitionsbereich (als Funktion in die affine Gerade) von und (bei )

der Definitionsbereich von . Es gilt , da die diskrete Bewertungsringe sind und dort mit einer Einheit , einem lokalen Parameter und gilt. Nach Fakt ***** gibt es einen Morphismus

und einen Morphismus

die den Einsetzungshomomorphismen bzw. entsprechen. Auf dem Durchschnitt stimmen beide Morphismen überein, daher definieren sie insgesamt einem Morphismus in die projektive Gerade.




Lemma  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring , es sei eine invertierbare Garbe auf und es seien

Es sei die Vereinigung der offenen Mengen .

Dann ist durch

ein Morphismus gegeben.

Beweis  

Wir betrachten zunächst die Situation auf . Es ist

ein Isomorphismus von -Moduln. Dabei entsprechen die den Funktionen

Dabei gilt

und dieser Quotient ist wohldefiniert. Diese Funktionen definieren wiederum nach Fakt ***** einen Morphismus

Diese Morphismen verkleben zu einem Morphismus auf der Vereinigung der .



Definition  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring , es sei eine invertierbare Garbe auf und es seien globale Schnitte auf . Dann nennt man den nach Fakt ***** auf definierten Morphismus

den durch die Schnitte gegebenen oder den durch das lineare System gegebenen Morphismus. Er wird mit oder mit bezeichnet.







Definition  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring und es sei eine invertierbare Garbe auf . Man nennt einen -Untermodul ein lineares System auf .


Definition  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring und es sei eine invertierbare Garbe auf . Ein lineares System heißt basispunktfrei, wenn es zu jedem Punkt ein mit gibt.

Dies wird hauptsächlich für Schemata über einem Körper verwendet. Man sagt dann auch, dass die Schnitte basispunktfrei sind, wenn das von ihnen erzeugte lineare System basispunktfrei ist.



Satz  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring .

Dann entsprechen sich die folgenden Konzepte.

  1. Eine invertierbare Garbe auf zusammen mit [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|basispunktfreien]] Schnitten
  2. Ein Morphismus

    über .

Dabei wird den Schnitten der zugehörige Morphismus und dem Morphismus die invertierbare Garbe zusammen mit den Schnitten zugeordnet.

Beweis  








Definition  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring und sei eine invertierbare Garbe auf . Man nennt sehr ampel, wenn es eine Einbettung (für ein gewisses ) derart gibt, dass

ist.



Lemma  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring und sei eine invertierbare Garbe auf .

Dann ist genau dann sehr ampel, wenn es basispunktfreie globale Schnitte

derart gibt, dass der zugehörige Morphismus eine Einbettung ist.

Beweis  



Beispiel  

Auf dem projektiven Raum über einem kommutativen Ring sind die invertierbaren Garben für sehr ampel. Es ist

und wir betrachten das durch sämtliche Monome aus vom Grad erzeugte lineare System und die zugehörigen Morphismus

wobei die Anzahl dieser Monome weniger bezeichne. Auf ist die Abbildung durch

gegeben (und entsprechend auf den anderen ). Auf der Ebene der Polynomringe ist dies der Einsetzungshomomorphismus

wobei die Indexmenge aller Monome in Variablen vom Grad (!) bezeichnet. Diese Abbildung ist surjektiv und somit liegt eine abgeschlossene Einbettung vor.

Bei und sind die nicht sehr ampel.





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