Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 20

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Weil-Divisoren

Definition  

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper und sei , . Dann heißt die formale Summe

wobei die Ordnung von im lokalen Ring zu bezeichnet, der durch definierte Hauptdivisor.



Lemma  

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper und sei , .

Dann gibt es nur endlich viele irreduzible Unterschemata der Kodimension mit

Beweis  

Es sei eine nichtleere offene affine Teilmenge mit

Da der generische Punkt von zu gehört, sind die irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen der Kodimension , die nicht treffen, irreduzible Komponenten von . Da eine abgeschlossene Teilmenge von und damit noethersch ist, gibt es dort nur endlich viele Komponenten. D.h. wir müssen nur noch diejenigen irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen der Kodimension betrachten, die treffen. Deren generische Punkte entsprechen dann Primidealen der Höhe von . Es ist

und dies ist nur dann positiv, wenn ist. Die Primideale der Höhe oberhalb von sind die minimalen Primideale von , und wegen noethersch gibt es davon nur endlich viele.



Definition  

Es sei ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt man eine formale Summe , wobei irreduzible abgeschlossene Unterschemata der Kodimension sind, mit endlich und , einen Weildivisor auf .



Lemma  

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper .

Dann ist die Zuordnung

ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis  

Nach Fakt ***** ist der Hauptdivisor zu in der Tat ein Weildivisor. Die Homomorphieeigenschaft folgt, bezogen auf eine fixierte irreduzible abgeschlossene Teilmenge der Kodimension mit dem zugehörigen diskreten Bewertungsring , aus Fakt *****  (1).



Die Divisorenklassengruppe

Definition  

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper . Dann nennt man die Restklassengruppe

die Divisorenklassengruppe von .

Für einen noetherschen normalen Integritätsbereich nennt man entsprechend die Divisorenklassengruppe des Rings . Im zahlentheoretischen Kontext, wenn der Ring der ganzen Zahlen in einer endlichen Erweiterung von ist, spricht man auch von der Idealklassengruppe.



Satz  

Es sei ein normaler noetherscher Integritätsbereich und es bezeichne die Divisorenklassengruppe von . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist faktoriell.
  2. Jedes Primideal der Höhe ist ein Hauptideal.
  3. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
  4. Es ist .

Beweis  

Sei (1) erfüllt und ein Primideal der Höhe . Es gibt ein Element , . Dieses hat eine Primfaktorzerlegung und aufgrund der Primeigenschaft muss für ein sein. Dann ist aber wegen der Höhenbedingung . Sei nun jedes Primideal der Höhe Hauptideal. Dann gilt mit

die Divisorbeziehung

da in keinem anderen Primideal der Höhe enthalten ist und da auch in ein Erzeuger von ist. Somit sind die Gruppenerzeuger der Divisorenklasengruppe Hauptdivisoren und damit sind überhaupt alle Divisoren Hauptdivisoren. Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar. Sei nun vorausgesetzt, dass jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. Dann gibt es zu einem Primideal der Höhe ein , , mit

Wegen der Nichtnegativität des Hauptdivisors ist nach Fakt ***** . Somit ist nur in als einzigem Primideal der Höhe enthalten. Sei . Dann ist

und somit ist , also und damit .

Sei schließlich (2) erfüllt, und , . Es seien die minimalen Primoberideale von . Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzen diese alle die Höhe . Sei . Es ist

Das Element besitzt den gleichen Hauptdivisor. Deshalb ist der Quotient eine Einheit und

mit einer Einheit .



Divisorenklassengruppe und Picardgruppe



Satz  

Es sei ein lokal faktorielles Schema.

Dann stimmt die Divisorenklassengruppe von mit der Picardgruppe von überein.

Beweis  




Korollar  

Es sei ein glattes Schema über einem algebraisch abgeschlossenen Körper .

Dann stimmt die Divisorenklassengruppe von mit der Picardgruppe von überein.

Beweis  

In einem glatten Schema sind die lokalen Ringe nach Satz 17.16 regulär und diese sind nach Satz 25.12 (Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)) faktoriell. Daher folgt die Aussage aus Satz 19.7.


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