Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 22

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Weil-Divisoren

Wir nennen eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge der Kodimension in einem integren Schema einen Primdivisor. Wenn normal und noethersch ist, so ist der lokale Ring am generischen Punkt zu ein diskreter Bewertungsring. Somit besitzt jedes Element aus dem Funktionenkörper eine wohlbestimmte Ordnung längs , die wir mit bezeichnen. Wenn die Ortsuniformisierende im diskreten Bewertungsring bezeichnet, so kann man mit einer Einheit aus dem Ring und schreiben, und dieser Exponent ist die Ordnung von längs heißt. Bei positiver Ordnung spricht man von einer Nullstelle, bei negativer Ordnung von einem Pol. Wenn eine offene affine Teilmenge mit ist, so entspricht einem Primideal der Höhe in und für den lokalen Ring gilt .


Definition  

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper und sei , . Dann heißt die formale Summe

wobei die Ordnung von im lokalen Ring zu bezeichnet, der durch definierte Hauptdivisor.

Der Hauptdivisor beschreibt also das Nullstellen- und das Polverhalten der Funktion . Wir zeigen zunächst, dass es sich bei einem Hauptdivisor um eine endliche Summe handelt.



Lemma  

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper und sei , .

Dann gibt es nur endlich viele Primdivisoren mit

Beweis  

Es sei eine nichtleere offene affine Teilmenge mit

Da der generische Punkt von zu gehört, sind die Primdivisoren, die nicht treffen, irreduzible Komponenten von . Da eine abgeschlossene Teilmenge von und damit noethersch ist, gibt es dort nur endlich viele Komponenten. D.h. wir müssen nur noch diejenigen Primdivisoren betrachten, die treffen. Deren generische Punkte entsprechen dann Primidealen der Höhe von . Es ist

und dies ist nur dann positiv, wenn ist. Die Primideale der Höhe oberhalb von sind die minimalen Primideale von , und wegen noethersch gibt es davon nur endlich viele.



Definition  

Es sei ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt man eine formale Summe , wobei die Primdivisoren von durchläuft und nur endlich viele der von verschieden sind, einen Weildivisor auf .

Ein Weildivisor ist eine freie Vorgabe für das „theoretisch mögliche“ Nullstellen- bzw Polverhalten einer rationalen Funktion, allerdings muss ein solche Vorgabe nicht durch eine Funktion realisiert werden können. Einen Divisor, bei dem sämtliche Zahlen sind, nennt man effektiv. Auf einer irreduziblen normalen (also glatten) Kurve ist ein Primdivisor einfach ein abgeschlossener Punkt. Ein Weildivisor ist also in diesem Fall einfach eine endliche Summe .


Definition  

Es sei ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt die Gruppe aller Weildivisoren mit komponentenweiser Addition die Weildivisorengruppe von . Sie wird mit bezeichnet.



Lemma  

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper .

Dann ist die Zuordnung

ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis  

Nach Lemma 22.2 ist der Hauptdivisor zu in der Tat ein Weildivisor. Die Homomorphieeigenschaft folgt, bezogen auf einen fixierten Primdivisor mit dem zugehörigen diskreten Bewertungsring , aus Lemma 21.7  (1).



Die Divisorenklassengruppe

Definition  

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper . Dann nennt man die Restklassengruppe

die Divisorenklassengruppe von .

Für einen noetherschen normalen Integritätsbereich nennt man entsprechend die Divisorenklassengruppe des Rings . Im zahlentheoretischen Kontext, wenn der Ring der ganzen Zahlen in einer endlichen Erweiterung von ist, spricht man auch von der Idealklassengruppe. Divisoren, die die gleiche Divisorenklasse definieren, heißen linear äquivalent.



Satz  

Es sei ein normaler noetherscher Integritätsbereich und es bezeichne die Divisorenklassengruppe von . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist faktoriell.
  2. Jedes Primideal der Höhe ist ein Hauptideal.
  3. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
  4. Es ist .

Beweis  

Sei (1) erfüllt und ein Primideal der Höhe . Es gibt ein Element , . Dieses hat eine Primfaktorzerlegung und aufgrund der Primeigenschaft muss für ein sein. Dann ist aber wegen der Höhenbedingung . Sei nun jedes Primideal der Höhe Hauptideal. Dann gilt mit

die Divisorbeziehung

da in keinem anderen Primideal der Höhe enthalten ist und da auch in ein Erzeuger von ist. Somit sind die Gruppenerzeuger der Divisorenklasengruppe Hauptdivisoren und damit sind überhaupt alle Divisoren Hauptdivisoren. Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar. Sei nun vorausgesetzt, dass jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. Dann gibt es zu einem Primideal der Höhe ein , , mit

Wegen der Nichtnegativität des Hauptdivisors ist nach Satz 21.12 . Somit ist nur in als einzigem Primideal der Höhe enthalten. Sei . Dann ist

und somit ist , also und damit .

Sei schließlich (2) erfüllt, und , . Es seien die minimalen Primoberideale von . Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzen diese alle die Höhe . Sei mit Primelementen . Es ist

Das Element besitzt den gleichen Hauptdivisor. Deshalb ist der Quotient eine Einheit und

mit einer Einheit . Daher ist faktoriell.



Beispiel  

Wir wollen die Weildivisoren und die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes über einem Körper verstehen (). Wir betrachten die disjunkte Zerlegung

d.h. wir fixieren die Hyperebene

im „Unendlichen“. Ein Primdivisor des projektiven Raumes stimmt also entweder mit der Hyperebene rechts überein oder sie schneidet den affinen Raum links nichtleer und kann als ein Primideal der Höhe im Polynomring aufgefasst werden. Jede Funktion des Funktionenkörpers lässt sich (bis auf Skalierung und kürzen) eindeutig als mit Polynomen schreiben. Mit den Primfaktorzerlegungen zu und kann man direkt

(mit einer Konstanten und ) schreiben und daraus den Hauptdivisor zu ablesen, sofern er such auf die Komponenten im affinen Raum bezieht. Die („unendlich ferne“) Ordnung von an ergibt sich folgendermaßen. Der lokale Ring zu diesem Primdivisor ist

Man schreibt (bzw. oder ), indem man überall durch ersetzt. Dies betrachtet man als rationale Funktion über dem Körper in der einen Variablen . Der (typischerweise negative) Grad bezüglich ist die Ordnung.

Beispielsweise ist bei

und die Ordnung ist . Da jeder Weildivisor mit einem Hauptdivisor auf dem affinen Raum wegen der Faktorialität des Polynomringes übereinstimmt, ist jeder Weildivisor linear äquivalent zu einem Divisor der Form mit (die Klasse zu nennt man auch die Hyperebenenklasse.). Ein solcher Divisor ist aber bei kein Hauptdivisor, da ein solcher Hauptdivisor auf dem affinen Raum trivial ist und daher von einer Konstanten herrühren muss. Eine solche besitzt aber auch im Unendlichen die Ordnung . Die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes ist also , als Erzeuger kann man jede Hyperebene nehmen.




Divisorenklassengruppe und Picardgruppe

Wir besprechen nun den Zusammenhang zwischen Divisoren und invertierbaren Untergarben der Funktionenkörpergarben und zwischen der Divisorenklassengruppe und der Picardgruppe. Eine invertierbare Untergarbe definiert für jeden Punkt einen freien -Untermodul vom Rang . Wenn ein diskreter Bewertungsring mit Ortsuniformisierender ist, was bei einem normalen Schema für jeden generischen Punkt zu einem Primdivisor der Fall ist, gilt

mit einem eindeutigen . Dieses bezeichnen wir mit , wenn den Primdivisor bezeichnet.



Satz  

Es sei ein lokal faktorielles noethersches integres Schema.

Dann entsprechen sich die invertierbaren -Untermoduln der konstanten Funktionenkörpergarbe und die Weildivisoren über die Korrespondenz

und

mit

für eine offene Teilmenge .

Diese Zuordnungen sind mit den Gruppenstrukturen verträglich und dabei entsprechen sich trivale Untergarben und Hauptdivisoren. Invertierbare Ideale entsprechen den effektiven Divisoren.

Beweis  

Es gibt eine endliche offene affine Überdeckung mit

mit , . Nach Lemma 22.2 gibt es jeweils nur endlich viele irreduzible Weildivisoren in mit

Daher ist in der Tat ein Weildivisor.

Sei umgekehrt ein Weildivisor und die zugehörige Untergarbe der konstanten Garbe zum Funktionenkörper. Es ist zu zeigen, dass diese invertierbar ist. Sei ein Punkt und eine affine offene Umgebung. Im lokalen Ring , der nach Voraussetzung faktoriell ist, ist nach Satz 22.7 der Divisor , der aus allen irreduziblen Komponenten von besteht, die durch verlaufen, ein Hauptdivisor. Indem man die Komponenten von , die nicht durch verlaufen, entfernt, kann man durch eine kleinere affine Umgebung von ersetzen, auf der der Divisor ein Hauptdivisor ist. Dort gilt also

mit einem . Es ist dann

Wir müssen nun zeigen, dass diese Zuordnungen invers zueinander sind. Wir beginnen mit einer invertierbaren Untergarbe und übernehmen die Bezeichnungen von oben. Auf ist . Daher gilt für die Zugehörigkeit

genau dann, wenn auf für die Hauptdivisoren die Beziehung

gilt, was wegen Satz 21.12 wiederum zu äquivalent ist.

Wenn man mit einem Weildivisor startet, so stimmt dieser lokal mit einem Hauptdivisor überein. Dann erzeugt ein Element des Funktionenkörpers, das diesen Hauptdivisor besitzt, lokal die zugehörige invertierbare Garbe, und dieses Element wird auch verwendet, um den zugehörigen Divisor auszurechnen.


Bei der vorstehenden Korrespondenz entsprechen die Ideale den effektiven Divisoren, das Hauptideal entspricht dem Hauptdivisor . Es gibt aber auch gute Gründe, die Korrespondenz abzuändern, indem man Negationen miteinarbeitet. Dann entspricht ein effektiver Divisor einem globalen Schnitt in der zugehörigen invertierbaren Garbe.



Satz  

Es sei ein lokal faktorielles noethersches integres Schema.

Dann stimmt die Divisorenklassengruppe von mit der Picardgruppe von überein.

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 20.6 und Satz 22.9.




Korollar  

Es sei ein glattes Schema über einem algebraisch abgeschlossenen Körper .

Dann stimmt die Divisorenklassengruppe von mit der Picardgruppe von überein.

Beweis  

In einem glatten Schema sind die lokalen Ringe nach Satz 18.16 regulär und diese sind nach Satz 25.12 (Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)) faktoriell. Daher folgt die Aussage aus Satz 22.10.



Satz  

Die Picardgruppe des projektiven Raumes mit über einem Körper

ist . Die invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum werden repräsentiert durch die getwisteten Strukturgarben , .

Beweis  

Dies folgt aus Satz 22.10 und Beispiel 22.8. Aufgrund der expliziten Übersetzung in Satz 22.9 entspricht die negierte Hyperebenenklasse dem tautologischen Bündel .



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