Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 17

In dieser Vorlesung setzen wir die Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten fort und berechnen insbesondere einige Flächeninhalte.

Berechnungen auf riemannschen Mannigfaltigkeiten

Korollar

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$\psi \colon W\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Es sei

$M={\left\{\left(x_{1},\,,\ldots ,,\,x_{n},\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\right)\mid (x_{1},\ldots ,x_{n})\in W\right\}}\subseteq W\times \mathbb {R} \,$

der Graph von ${}\psi$.

Dann ist ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit, und für die kanonische Volumenform ${}\omega$ auf ${}M$ gilt

${}(\operatorname {Id} \times \psi )^{*}(\omega )={\left(1+\sum _{i=1}^{n}{\left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\right)}^{2}\right)}^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

Beweis

Die Abbildung

$\varphi =\operatorname {id} \times \psi \colon W\longrightarrow W\times \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (x,\psi (x)),$

ist ein Diffeomorphismus zwischen ${}W$ und dem Graphen ${}M$. Der Graph ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}W\times \mathbb {R}$ und trägt daher die induzierte riemannsche Struktur und (da sich die Orientierung von ${}W$ auf ${}M$ überträgt) eine kanonische Volumenform ${}\omega$. Auf diese Situation kann man Satz 16.8 anwenden. Die partiellen Ableitungen von ${}\varphi$ nach der ${}i$-ten Variablen sind

${}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\\{\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,.$

Es sei ${}Q\in W$ ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, sodass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge ${}b_{ij}$ der Matrix ${}B$ bilden (von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen), sind gleich

${}b_{ij}=\left\langle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(Q),{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}(Q)\right\rangle \,$

Wir schreiben ${}B=E_{n}+A$ mit ${}A={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Mit ${}c_{i}={\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}(Q)$ können wir ${}a_{ij}=c_{i}c_{j}$ und insgesamt die Matrix ${}A$ als

${}A={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)\,$

schreiben. Daher beschreibt ${}A$ eine lineare Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{n}$ nach ${}\mathbb {R} ^{n}$, die durch ${}\mathbb {R}$ faktorisiert, und besitzt damit einen Kern, der zumindest ${}(n-1)$-dimensional ist. Nennen wir ihn ${}K$. Wenn er die Dimension ${}n$ besitzt, so ist ${}A=0$ und ${}B$ ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Es sei also ${}A\neq 0$. Dann ist ${}v={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor von ${}A$ zum Eigenwert ${}c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}\neq 0$. Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von ${}B$ zum Eigenwert ${}1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$ und ${}K$ bildet den ${}(n-1)$-dimensionalen Eigenraum für ${}B$ zum Eigenwert ${}1$. Insgesamt ist ${}B$ diagonalisierbar und ihre Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, also gleich ${}1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$.

$\Box$

Mit diesem Ansatz kann man beispielsweise den Flächeninhalt der Einheitssphäre berechnen, siehe Aufgabe 17.2.

Korollar

Es sei ${}M\subseteq G$ eine abgeschlossene Fläche in einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, die mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Flächenform ${}\omega$ versehen sei. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen und es sei

$\varphi \colon W\longrightarrow U$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge ${}U\subseteq M$. Die Koordinaten von ${}\mathbb {R} ^{2}$ seien ${}u$ und ${}v$ und wir setzen

$E=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}}\right\rangle ,\,F=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\text{ und }}G=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle .$

Dann gilt auf ${}W$

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(\omega {|}_{U})&={\sqrt {EG-F^{2}}}du\wedge dv\\\end{aligned}}$

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 16.8.

$\Box$

Bemerkung  

Es sei

${}M={\left\{(u,v,\psi (u,v))\mid (u,v)\in W\right\}}\subseteq W\times \mathbb {R} \,$

der Graph von

$\psi \colon W\longrightarrow \mathbb {R} ,$

wobei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine offene Teilmenge sei. In diesem Fall stehen Korollar 17.1 und Korollar 17.2 wie folgt miteinander in Beziehung. Die partiellen Ableitungen sind ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\{\frac {\partial \psi }{\partial u}}\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\end{pmatrix}}$. Daher ist ${}E=1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)}^{2}$, ${}F={\frac {\partial \psi }{\partial u}}{\frac {\partial \psi }{\partial v}}$, und ${}G=1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)}^{2}$. Somit ist

$EG-F^{2}={\left(1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)}^{2}\right)}{\left(1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)}^{2}\right)}-{\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)}^{2}{\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)}^{2}=1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)}^{2}\,.$

Bemerkung  

Wir knüpfen an die Bezeichnungen von Korollar 17.2 an. Wenn die durch ${}W$ und ${}\varphi$ erfasste offene Teilmenge ${}U\subseteq M$ die Eigenschaft besitzt, dass ihr Komplement ${}M\setminus U$ eine Nullmenge bezüglich des kanonischen Maßes auf ${}M$ ist, so lässt sich der Flächeninhalt von ${}M$ allein mittels der Formel für ${}\varphi ^{*}(\omega {|}U)$ berechnen. Dies ist z.B. der Fall, wenn ${}M\setminus U$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}M$ der Dimension ${}\leq 1$ ist, siehe Aufgabe 15.14. Nullmengen werden bei Berechnungen häufig stillschweigend ignoriert.

Rotationsflächen

Es sei eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$

mit ${}y(t)\geq 0$ gegeben. Wir interessieren uns für die zugehörige Rotationsfläche, also die Teilmenge

${\left\{(x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha )\mid t\in ]a,b[,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$, die entsteht, wenn man die Trajektorie der Kurve um die ${}x$-Achse dreht. Wir setzen zusätzlich voraus, dass ${}\gamma$ einen Diffeomorphismus auf sein Bild ${}M=\gamma {\left(]a,b[\right)}$ bewirkt und dass ${}M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge

${}G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\,$

ist (es wird also auch gefordert, dass ${}\gamma$ überall positiv ist). Die Rotationsfläche ist dann eine zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{3}$ ohne die ${}x$-Achse, sodass eine riemannsche Mannigfaltigkeit vorliegt. Ihr Flächeninhalt lässt sich wie folgt berechnen.

Satz

Es sei

$\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$

eine differenzierbare Kurve mit ${}y(t)>0$, die einen Diffeomorphismus zu ${}M=\gamma (I)$ induziere, wobei ${}M\subseteq G$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}$ sei.

Dann ist die zugehörige Rotationsfläche eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R} ^{3}$ ohne die ${}x$-Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich

$2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,dt.$

Beweis

Es sei ${}S$ die Rotationsfläche, die eine abgeschlossene zweidimensionale Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge des ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist. Wir wenden Korollar 17.2 auf die Parametrisierung

$]a,b[\times ]0,2\pi [\longrightarrow S,\,(t,\alpha )\longmapsto (x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha ),$

an. Die partiellen Ableitungen sind

${\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\cos \alpha \\y'(t)\sin \alpha \end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}0\\-y(t)\sin \alpha \\y(t)\cos \alpha \end{pmatrix}}$

und daher ist

$E(t,\alpha )=(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2},\,F(t,\alpha )=0,\,G(t,\alpha )=(y(t))^{2}.$

Somit ist der Flächeninhalt gleich

$\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,d\alpha \,dt=2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,dt\,.$

$\Box$

Kartographie

Die (abstrakte) Kartographie beschäftigt sich mit Karten für die Oberfläche einer Kugel.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon [0,2\pi ]\times [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto \left({\sqrt {1-v^{2}}}\cos u,\,{\sqrt {1-v^{2}}}\sin u,\,v\right),$

deren Bild auf der Einheitssphäre liegt. Diese Abbildung kann man sich so vorstellen, dass zuerst das Rechteck zu einer Zylinderoberfläche gemacht wird und anschließend die Kreise des Zylinders auf die horizontalen Kreise einer Kugel mit derselben Höhe projiziert werden. Diese Abbildung ist differenzierbar mit den partiellen Ableitungen

${\frac {\partial \varphi }{\partial u}}={\begin{pmatrix}-{\sqrt {1-v^{2}}}\sin u\\{\sqrt {1-v^{2}}}\cos u\\0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}={\begin{pmatrix}{\frac {-v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\cos u\\{\frac {-v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\sin u\\1\end{pmatrix}}.$

Die Einschränkung dieser Abbildung auf das offene Rechteck ist injektiv, ihr Bild ist die Einheitssphäre bis auf einen einzigen halben Längenkreis. Man kann mit diesen Koordinaten also die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in Korollar 17.2 verwendeten Notation ist

${}E={\left(1-v^{2}\right)}\sin ^{2}u+{\left(1-v^{2}\right)}\cos ^{2}u=1-v^{2}\,,$

${}F=v\sin u\cos u-v\sin u\cos u=0\,$

und

${}G={\frac {v^{2}}{1-v^{2}}}\cos ^{2}u+{\frac {v^{2}}{1-v^{2}}}\sin ^{2}u+1={\frac {v^{2}}{1-v^{2}}}+1={\frac {1}{1-v^{2}}}\,.$

Daher ist

${}{\sqrt {EG-F^{2}}}=1\,,$

d.h. diese Kartenabbildung ist flächentreu, und somit ist die Kugeloberfläche gleich

${}{\begin{aligned}A&=\int _{]-1,1[\times ]0,2\pi [}1du\wedge dv\\&=\int _{[-1,1]\times [0,2\pi ]}1\,d\lambda ^{2}\\&=2\cdot 2\pi \\&=4\pi .\end{aligned}}$

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon [0,2\pi ]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {1+v^{2}}}}(\cos u,\sin u,v),$

deren Bild auf der Einheitssphäre liegt. Diese Abbildung kann man sich so vorstellen, dass zuerst das (in eine Richtung unbeschränkte) Rechteck ${}[0,2\pi ]\times \mathbb {R}$ zu einem unendlichen Zylindermantel über dem Einheitskreis gemacht wird und anschließend jeder Punkt dieses Zylindermantels über die Verbindungsgerade mit dem Kugelmittelpunkt auf die Kugel projiziert wird. Unter dieser Abbildung werden mit der Ausnahme des Nord- und des Südpols alle Punkte der Kugeloberfläche erreicht. Ferner ist sie injektiv, wenn man die Randpunkte des Intervalls herausnimmt (dann fehlt ein halber Längenkreis im Bild). Die Abbildung ist differenzierbar mit den partiellen Ableitungen

${\frac {\partial \varphi }{\partial u}}={\begin{pmatrix}{\frac {-\sin u}{\sqrt {1+v^{2}}}}\\{\frac {\cos u}{\sqrt {1+v^{2}}}}\\0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1+v^{2}}}}{\begin{pmatrix}-\sin u\\\cos u\\0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}={\begin{pmatrix}{\frac {-v\cos u}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}\\{\frac {-v\sin u}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}\\{\frac {{\sqrt {1+v^{2}}}-v^{2}{\left(1+v^{2}\right)}^{-1/2}}{1+v^{2}}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}{\begin{pmatrix}-v\cos u\\-v\sin u\\1\end{pmatrix}}.$

Man kann mit diesen Koordinaten die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in Korollar 17.2 verwendeten Notation ist

${}E={\frac {1}{1+v^{2}}}\,,$

${}F=0\,$

und

${}G={\frac {1}{{\left(1+v^{2}\right)}^{3}}}{\left(v^{2}\cos ^{2}u+v^{2}\sin ^{2}u+1\right)}={\frac {1}{{\left(1+v^{2}\right)}^{2}}}\,.$

Daher ist

${}{\sqrt {EG-F^{2}}}={\sqrt {\frac {1}{{\left(1+v^{2}\right)}^{3}}}}={\frac {1}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}\,.$

Die Kugeloberfläche ist somit unter Verwendung von Satz 12.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) gleich

${}{\begin{aligned}A&=\int _{]0,2\pi [\times \mathbb {R} }{\frac {1}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}du\wedge dv\\&=\int _{]0,2\pi [\times \mathbb {R} }{\frac {1}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}\,d\lambda ^{2}\\&=2\pi \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}\,dv.\end{aligned}}$

Das Integral ist nach Beispiel 31.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gleich ${}2$, sodass sich der Flächeninhalt ${}4\pi$ ergibt.

Die Mercator-Projektion geht von der zuletzt genannten Projektion aus, ersetzt aber das unbeschränkte Intervall ${}\mathbb {R}$ über eine Diffeomorphie durch ein beschränktes Intervall, sodass eine winkeltreue Karte entsteht.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (\cos u\cos v,\cos u\sin v,\sin u),$

deren Bild auf der Einheitssphäre landet. Geographisch gesprochen gibt ${}u$ den Breitenkreis und ${}v$ den Längenkreis des entsprechenden Punktes auf der Einheitserde an (in geozentrischen Koordinaten; die in der Geographie verwendeten Koordinaten weichen davon leicht ab, da die Erde nicht wirklich eine Kugel ist). Diese Abbildung ist differenzierbar mit den partiellen Ableitungen

${\frac {\partial \varphi }{\partial u}}={\begin{pmatrix}-\sin u\cos v\\-\sin u\sin v\\\cos u\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}={\begin{pmatrix}-\cos u\sin v\\\cos u\cos v\\0\end{pmatrix}}.$

Die Einschränkung dieser Abbildung auf das offene Rechteck

${]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}\times {]{-\pi },\pi [}$

ist injektiv, ihr Bild ist die Einheitskugel bis auf einen einzigen Längenkreis. Man kann mit diesen Koordinaten also die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in Korollar 17.2 verwendeten Notation ist

${}E=\sin ^{2}u\cos ^{2}v+\sin ^{2}u\sin ^{2}v+\cos ^{2}u=\sin ^{2}u+\cos ^{2}u=1\,,$

${}F=\sin u\cos u\sin v\cos v-\sin u\cos u\sin v\cos v=0\,$

und

${}G=\cos ^{2}u\sin ^{2}v+\cos ^{2}u\cos ^{2}v=\cos ^{2}u\,.$

Daher ist

${}{\sqrt {EG-F^{2}}}={\sqrt {1\cdot \cos ^{2}u}}=\cos u\,.$

Somit ist die Kugeloberfläche nach dem Satz von Fubini gleich

${}{\begin{aligned}A&=\int _{]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[\times ]-\pi ,\pi [}\cos u\,du\wedge dv\\&=\int _{[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]\times [-\pi ,\pi ]}\cos u\,d\lambda ^{2}\\&=\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos u\,du\,dv\\&=\int _{-\pi }^{\pi }2\,dv\\&=4\pi .\end{aligned}}$

Fußnoten

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