Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 7

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass zu zwei Punkten ${}A,B\neq N,S$ auf der Einheitssphäre ${}S^{2}$ die Differenz der in den beiden stereographischen Standardkarten genommenen Abständen, also ${}d(\alpha _{1}(A),\alpha _{1}(B))$ und ${}d(\alpha _{2}(A),\alpha _{2}(B))$, beliebig klein und beliebig groß sein kann.

Die vorstehende Aufgabe zeigt, dass man über Karten im Allgemeinen keinen sinnvollen Abstandsbegriff auf einer Mannigfaltigkeit erhalten kann. Eine natürliche Metrik auf der Einheitssphäre ergibt sich durch die induzierte Metrik des ${}\mathbb {R} ^{3}$ oder durch den geodätischen Abstand, siehe Aufgabe 7.16.

Aufgabe

Zeige, dass ein halboffenes Intervall ${}[a,b[$ keine topologische Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Es sei ${}I=[0,1[$ das (nach oben) halboffene Einheitsintervall und ${}S^{1}$ der Einheitskreis. Zeige, dass es eine bijektive stetige Abbildung

$f\colon I\longrightarrow S^{1}$

gibt, dass aber ${}I$ und ${}S^{1}$ nicht homöomorph sind.

Aufgabe *

Zeige, dass die drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten

$S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {(x,y)}\vert =1\right\}},\,\,\mathbb {R} \,{\text{ und }}\,\mathbb {R} \setminus \{0\}$

paarweise nicht homöomorph sind.

Aufgabe

Es sei ${}M$ der Graph der durch

${}f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

gegebenen Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}M$ keine topologische Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein offener Ball ${}U{\left(P,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ ${}C^{\infty }$- diffeomorph zum ${}\mathbb {R} ^{m}$ ist.

Aufgabe *

Sei

$S={\left\{P\in \mathbb {R} ^{3}\mid \Vert {P}\Vert =1\right\}}$

die Einheitssphäre. Zu ${}v=(a,b,c)\neq 0$ ist

$E_{v}={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid ax+by+cz=0\right\}}$

eine Ebene durch den Nullpunkt, die einen Großkreis (einen „Äquator“) und zwei offene Halbsphären auf ${}S$ definiert.

a) Beschreibe zu ${}v=(a,b,c)\neq 0$ den zugehörigen Großkreis und die beiden Halbsphären mit Gleichungen bzw. mit Ungleichungen.

b) Zeige, dass man ${}S$ nicht mit drei offenen Halbsphären überdecken kann.

Aufgabe

Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche ${}S^{1}\times {]0,1[}$ zu ${}S^{1}\times \mathbb {R}$, zur punktierten Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ und zu ${}S^{2}\setminus \{N,S\}$ homöomorph ist.

Aufgabe

Es sei ${}]a,b[$ ein offenes Intervall und

$f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}M$ die äußere Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge bei ${}f>0$ eine zu einem offenen Zylindermantel homöomorphe Mannigfaltigkeit ist. Zeige ferner, dass keine Mannigfaltigkeit vorliegt, wenn ${}f$ sowohl Nullstellen als auch positive Werte besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass eine topologische Mannigfaltigkeit genau dann zusammenhängend ist, wenn sie wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit und es sei ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

mit ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Zu ${}i,j\in I$ seien

$\varphi _{ij}=\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

die Übergangsabbildungen. Zeige, dass zu ${}i,j,k\in I$ die sogenannte Kozykelbedingung (auf welchen Teilmengen?)

${}\varphi _{ij}=\varphi _{kj}\circ \varphi _{ik}\,$

gilt.

Aufgabe

Überprüfe die Kozykelbedingung (siehe Aufgabe 7.11) für die Einheitssphäre ${}M=S^{2}$ und die drei stereographischen Projektionen vom Nordpol, vom Südpol und von ${}P=(1,0,0)$.

Aufgabe *

Erstelle eine Animation, die die geometrischen Objekte aus Aufgabe 7.17 darstellt.

Aufgabe

Betrachte Geschenkpapier. Auf welche Arten kann man das Papier zerschneiden und/oder verkleben, so, dass eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit entsteht. Sollte der Rand des Papiers dazu gehören oder nicht? Welche entstehenden Mannigfaltigkeiten sind zusammenhängend, welche kompakt? Wie entsteht ein Möbius-Band? Welche Möglichkeiten gibt es, wenn man endlich viele Ausnahmepunkte erlaubt, in denen keine Mannigfaltigkeitsstruktur vorliegt?

Wende die Theorie an, um möglichst originelle Verpackungen zu konstruieren. Verschnüre diese mit geeigneten eindimensionalen Mannigfaltigkeiten.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Bild der Großkreise durch die beiden Pole auf der Einheitssphäre unter der stereographischen Projektion vom Nordpol aus.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass auf der Einheitssphäre ${}K\subset \mathbb {R} ^{3}$ durch folgende Zuordnung eine Metrik festgelegt wird. Für ${}P,Q\in K$ ist ${}d(P,Q)$ die Länge des (kürzeren) Verbindungsweges von ${}P$ nach ${}Q$ auf dem durch diese Punkte festgelegten Großkreis (berücksichtige auch die Fälle ${}P=Q$ und ${}P,Q$ antipodal).

Aufgabe (8 Punkte)

Wir fixieren die beiden Punkte ${}N=(0,0,1)$ und ${}P=(1,0,0)$ auf der Einheitssphäre ${}K$. Es sei ${}G$ die Verbindungsgerade und es sei ${}H$ die zu ${}G$ senkrechte Ebene durch ${}N$. Führe auf ${}H$ einen parametrisierten Einheitskreis ${}E$ mit ${}N$ als Mittelpunkt ein. Bestimme zu ${}S\in E$ die Länge des (kürzeren) Weges von ${}N$ nach ${}P$ auf demjenigen Kreis, der durch den Schnitt von ${}K$ mit der durch ${}N,P$ und ${}S$ gegebenen Ebene festgelegt ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe eine injektive stetige Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{2},$

die (als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{3}$) rektifizierbar ist und unendliche Länge besitzt, und für die ${}\operatorname {lim} _{t\rightarrow \infty }\,\varphi (t)=N$ und ${}\operatorname {lim} _{t\rightarrow -\infty }\,\varphi (t)=S$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das Achsenkreuz keine topologische Mannigfaltigkeit ist.