Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 12

Vektorbündel

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Tangentialbündel ${}p\colon TM\rightarrow M$. Zu einem Kartengebiet ${}U\subseteq M$ und einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

gibt es nach Lemma 10.8 eine Homöomorphie

$T(\alpha )\colon TM{|}_{U}\cong TU\longrightarrow TV\cong V\times \mathbb {R} ^{n},$

die für jeden Basispunkt ${}P\in U$ in der zweiten Komponente linear ist. Für eine weitere Karte

$\alpha '\colon U'\longrightarrow V'$

ist die Übergangsabbildung

$TV{|}_{\alpha (U\cap U')}\cong \alpha (U\cap U')\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow TV'{|}_{\alpha '(U\cap U')}\cong \alpha '(U\cap U')\times \mathbb {R} ^{n}$

linear in den Fasern. Über die Homöomorphismen ${}U\cong V$ erhält man auch direkt Homöomorphismen

${}TM{|}_{U}\cong TU\cong U\times \mathbb {R} ^{n}\,$

über ${}U$ und zugehörige Übergangsabbildungen

$(U\cap U')\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow (U\cap U')\times \mathbb {R} ^{n},$

die bezüglich ${}\mathbb {R} ^{n}$ linear sind.

Das Tangentialbündel ist ein wichtiges Beispiel für ein Vektorbündel.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}r\in \mathbb {N}$. Ein reelles Vektorbündel ${}V$ vom Rang ${}r$ ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung ${}p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser ${}p^{-1}(x)$ ein ${}r$- dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen

$\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$

über ${}U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus

${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$

induzieren.

Dabei nennt man ${}V$ auch den Totalraum und ${}X$ den Basisraum des Vektorbündels. Für die Faser schreibt man oft auch ${}V_{x}=p^{-1}(x)$.

In der Homöomorphie ${}p^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}$ ist die rechte Seite mit der Produkttopologie und der ${}\mathbb {R} ^{r}$ mit der natürlichen euklidischen Topologie und ${}p^{-1}(U)$ ist mit der induzierten Topologie von ${}V$ versehen. Somit tragen alle Fasern ${}V_{x}$ die natürliche Topologie eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes. Mit Homöomorphismus über ${}U$ ist gemeint, dass das Diagramm

${\begin{matrix}p^{-1}(U)&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&U\times \mathbb {R} ^{n}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&U&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Das Produkt ${}X\times \mathbb {R} ^{r}$ ist ein Vektorbündel, das das triviale Vektorbündel heißt. Eine lineare Homöomorphie ${}p^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}$ heißt eine (lokale) Trivialisierung. Die Einschränkung eines Vektorbündels auf die ${}U_{i}$ ist trivial, lokal ist also jedes Vektorbündel trivial. Ein Vektorbündel vom Rang ${}1$ heißt auch Geradenbündel.

Bemerkung  

Ein reelles Vektorbündel ${}p\colon V\rightarrow X$ über einem topologischen Raum ${}X$ kann man auch nur unter Bezug auf eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

und Trivialisierungen

$\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$

definieren, wenn man fordert, dass die Übergangsabbildungen (die sich über ${}p^{-1}(U_{i}\cap U_{j})$ ergeben)

$\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\colon U_{i}\cap U_{j}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U_{i}\cap U_{j}\times \mathbb {R} ^{r}$

linear in der Vektorraumkomponente ist. Dies ergibt eine Vektorraumstruktur in jeder Faser, wofür man eine beliebige Trivialisierung heranzieht.

Lemma

Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum ${}X$.

Dann ist zu jeder offenen Menge ${}W\subseteq X$ die Einschränkung

$p^{-1}(W)\longrightarrow W$

ebenfalls ein Vektorbündel.

Beweis

Dies ist klar, man muss einfach nur die faserweise linearen Homöomorphismen

$\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$

zu

$\varphi _{i}{|}_{W\cap U_{i}}\colon p^{-1}{\left(W\cap U_{i}\right)}\longrightarrow {\left(W\cap U_{i}\right)}\times \mathbb {R} ^{r}$

einschränken.

$\Box$

Definition

Es seien ${}E$ und ${}F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum ${}X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon E\rightarrow F$ ist eine stetige Abbildung über ${}X$ derart, dass für jeden Punkt ${}x\in X$ die induzierte Abbildung

$\varphi _{x}\colon E_{x}\longrightarrow F_{x}$

${}\mathbb {R}$- linear ist.

Die folgende Beobachtung erlaubt die Konstruktion einer Vielzahl von Vektorbündeln.

Bemerkung  

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in C^{0}(X,\mathbb {R} )$ reellwertige stetige Funktionen auf ${}X$. Diese definieren eine Abbildung

$X\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow X\times \mathbb {R} ,\,(P,t_{1},\ldots ,t_{n})\longmapsto (P,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)t_{i}),$

zwischen dem trivialen Vektorbündel vom Rang ${}n$ über ${}X$ und dem trivialen Vektorbündel vom Rang ${}1$ über ${}X$. Diese Abbildung ist stetig und über jedem Punkt ${}P\in X$ liegt die Linearform ${}\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ zur Zeilenmatrix ${}\left(f_{1}(P),\,\ldots ,\,f_{n}(P)\right)$ vor, daher handelt es sich um einen Homomorphismus von Vektorbündeln. Über den Kern ergibt sich in jeder Faser ${}\mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum, der die Dimension ${}n-1$ besitzt, es sei denn, alle Funktionen ${}f_{i}$ verschwinden simultan im Punkt ${}P$. Es sei ${}D(f_{i})={\left\{P\in X\mid f_{i}(P)\neq 0\right\}}$, dann ist ${}U=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})\subseteq X$ die offene Teilmenge, auf der zumindest ein ${}f_{i}$ nicht verschwindet und wo somit die Kerne stets die Dimension ${}n-1$ besitzen. Das Kernbündel ${}E$ zu den ${}f_{i}$ ist nun das Vektorbündel auf ${}U$, das faserweise durch die Kerne bestimmt ist, also

${}E={\left\{(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\mid P\in U,\,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)t_{i}=0\right\}}\subseteq U\times \mathbb {R} ^{n}\,.$

Gemäß Aufgabe 12.26 gibt es Trivialisierungen über ${}D(f_{i})$ und es handelt sich in der Tat um ein Vektorbündel.

Beispiel

Wir betrachten über dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ,\,(x,y;s,t)\longmapsto (x,y;xs+yt),$

als ein Homomorphismus von Vektorbündeln im Sinne von Bemerkung 12.5. Die einzige gemeinsame Nullstelle der beiden Koordinatenfunktionen ${}x,y$ ist der Ursprungspunkt ${}(0,0)$, somit ist ${}U=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ und das zugehörige Kernbündel ist

${}E={\left\{(P;s,t)\mid P\in U,\,xs+yt=0\right\}}\subseteq U\times \mathbb {R} ^{2}\,.$

Es besteht aus einer Familie von Geraden in einer Ebene, wobei die Geraden sich mit dem Basispunkt ${}P=(x,y)$ bewegen.

Beispiel

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Der Tangentialraum ${}T_{P}Y$ zu ${}P\in Y$ ist der Kern des totalen Differentials ${}\left(Dh\right)_{P}$, das durch die partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)$ gegeben ist und daher als ${}(n-1)$-linearer Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{n}$ vorliegt, siehe auch Satz 10.3. Wir betrachten die Abbildung

$Y\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow Y\times \mathbb {R} ,\,(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\longmapsto (P;\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)t_{i})$

und das zugehörige Kernbündel

${}E={\left\{(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\mid P\in Y,\,\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)t_{i}=0\right\}}\subseteq Y\times \mathbb {R} ^{n}\,.$

im Sinne von Bemerkung 12.5. Dieses Bündel stimmt unmittelbar faserweise mit den Tangentialräumen an ${}Y$ überein. Es handelt sich aber in der Tat um das Tangentialbündel, wie der Vergleich mit Aufgabe 10.22 ergibt.

Definition

Es seien ${}E$ und ${}F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum ${}X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon E\rightarrow F$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomophismus ${}\psi \colon F\rightarrow E$ gibt, der verknüpft mit ${}\varphi$ (in beiden Reihenfolgen) die Identität ergibt.

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$p\colon Y\longrightarrow X$

eine stetige Abbildung. Unter einem stetigen Schnitt zu ${}p$ versteht man eine stetige Abbildung ${}s\colon X\rightarrow Y$ mit

${}p\circ s=\operatorname {Id} _{X}\,.$

Man denke bei ${}Y$ beispielsweise an ein Vektorbündel über ${}X$. Einen Schnitt kann es nur geben, wenn ${}p$ surjektiv ist, was bei einem Vektorbündel stets der Fall ist. Gelegentlich identifiziert man einen Schnitt mit seinem Bild, was problemlos ist, da ein Schnitt stets injektiv ist. Eine besondere Rolle spielt der Nullschnitt, der jedem Basispunkt ${}P$ den Nullpunkt im Vektorraum ${}V_{P}$ zuordnet. Für das Tangentialbündel sind die stetigen Schnitte einfach die stetigen Vektorfelder. Für das triviale Vektorbündel

$X\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow X$

gibt es die konstanten Schnitte ${}e_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, die jedem Punkt den Vektor ${}e_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ zuordnen. Die Familie dieser Schnitte bilden für jeden Punkt eine Basis in der darüber liegenden Faser.

Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}r$ über einem topologischen Raum ${}X$ und sei ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Eine Familie von stetigen Schnitten

$s_{1},\ldots ,s_{n}\colon U\longrightarrow V{|}_{U}$

heißt eine Familie von Basisschnitten, wenn für jeden Punkt ${}P\in U$ die Vektoren ${}s_{1}(P),\ldots ,s_{n}(P)\in V_{P}$ eine Basis von ${}V_{P}$ bilden.

Die Existenz von (stetigen) Basisschnitten auf einer offenen Menge ${}U$ ist äquivalent zur Existenz einer (stetigen) Trivialisierung des Vektorbündels über ${}U$, siehe Aufgabe 12.14.

Verklebungsdaten

Die Idee, lokale Daten zu verkleben, um globale Objekte zu beschreiben, ist uns schon in Aufgabe 8.15 begegnet.

Definition

Unter einem Verklebungsdatum für ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}r$ über einem topologischen Raum ${}X$ versteht man den folgenden Datensatz.

1. Eine offene Überdeckung

   ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

2. Eine Familie ${}E_{i}\rightarrow U_{i}$, ${}i\in I$, von reellen Vektorbündeln vom Rang ${}r$.
3. Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Isomorphismus von Vektorbündeln

   $\varphi _{ji}\colon E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow E_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

   über ${}U_{i}\cap U_{j}$.

4. Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung

   ${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

   als Abbildung von ${}E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$ nach ${}E_{k}{|}_{U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$ erfüllt.

Bemerkung  

Typischerweise sind in der Definition 12.10 die Vektorbündel aus (2) triviale Vektorbündel auf ${}U_{i}$, also ${}E_{i}=\mathbb {R} ^{r}\times U_{i}$. Die Isomorphismen aus (3) sind dann einfach durch bijektive lineare Abbildungen ${}\varphi _{ji}\colon \mathbb {R} ^{r}\rightarrow \mathbb {R} ^{r}$ gegeben, die stetig vom Basispunkt aus ${}U_{i}\cap U_{j}$ abhängen. Diese kann man kompakt durch stetige Abbildungen

$\varphi _{ji}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

in die allgemeine lineare Gruppe beschreiben. Den Basispunkten wird also in stetiger Weise eine invertierbare ${}r\times r$- Matrix zugeordnet, wobei die Stetigkeit bedeutet, dass sämtliche Matrixeinträge stetige Funktionen sind. Man spricht von einer Matrixbeschreibung des Bündels. Die Kozykelbedingung bleibt bestehen.

Lemma

Es sei ein Verklebungsdatum ${}E_{i}$, ${}i\in I$, über einem topologischen Raum

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

gegeben.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes reelles Vektorbündel ${}E\rightarrow X$ und Isomorphismen ${}\psi _{i}\colon E_{i}\rightarrow E{|}_{U_{i}}$ derart, dass

${}\psi _{i}{|}_{E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}=\psi _{j}{|}_{E_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}\circ \varphi _{ji}\,$

gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe 12.12.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten auf der eindimensionalen Sphäre

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

die offene Überdeckung ${}S^{1}=U\cup V$ mit ${}U=S^{1}\setminus \{(0,1)\}$ und ${}V=S^{1}\setminus \{(0,-1)\}$. Darauf beschreiben wir ein Verklebungdatum für ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}1$. Die beiden offenen Mengen sind homöomorph zur reellen Geraden. Es ist

${}U\cap V=S^{1}\setminus \{(0,1),(0,-1)\}={\left\{(x,y)\in S^{1}\mid x\neq 0\right\}}\,,$

und dies ist nicht zusammenhängend, sondern homöomorph zu zwei disjunkten reellen offenen Halbgeraden (bzw. Geraden). Wir setzen ${}L=U\times \mathbb {R}$ und ${}M=V\times \mathbb {R}$. Wir legen einen Isomorphismus

$\varphi \colon L{|}_{U\cap V}\longrightarrow M{|}_{U\cap V}$

durch

${}\varphi (x,y,t):={\begin{cases}(x,y,t){\text{ für }}x>0\,,\\(x,y,-t){\text{ für }}x<0\,\end{cases}}\,$

fest. Man beachte, dass ${}\varphi$ stetig ist, da die beiden funktionalen Ausdrücke für zueinander disjunkte offene Teilmengen gelten. Auf der einen Hälfte wird identisch abgebildet, auf der anderen Hälfte wird umgeklappt. Im Sinne von Bemerkung 12.11 liegt die stetige (konstante) Matrixbeschreibung

${}\psi (x,y):={\begin{cases}(1){\text{ für }}x>0\,,\\(-1){\text{ für }}x<0\,,\end{cases}}\,$

auf ${}U\cap V$ vor. Da nur zwei offene Mengen vorliegen, ist die Kozykelbedingung automatisch erfüllt. Dieses Verklebungsdatum definiert nach Lemma 12.12 ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}1$ auf der Sphäre, das Möbiusband heißt.

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