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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 11

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe

Es seien und abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ist.


Aufgabe

Beschreibe die Karten auf dem Torus , die von den stereographischen Projektionen herrühren.


Aufgabe

Zeige, dass diffeomorph zu einem Produkt aus eindimensionalen Mannigfaltigkeiten ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei wegzusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und wieder wegzusammenhängend ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

die Diagonalabbildung in das Produkt . Zeige, dass die Diagonale eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

ein Diffeomorphismus ist.


Aufgabe

Beschreibe den Torus als Rotationsmenge im .


Aufgabe

Es sei und betrachte die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung und die Gestalt der Faser über . Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von zu .


Aufgabe *

Erstelle eine Animation, die Aufgabe 11.9 illustriert.


Aufgabe

Definiere die Abbildung

die zu einem Winkelpaar die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung differenzierbar? Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?


Aufgabe

Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre und der Torus nicht homöomorph sind.


Aufgabe

Zu welcher differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist , also der Torus ohne die Diagonale, diffeomorph?


Aufgabe *

Es sei ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

in jedem Punkt surjektiv ist.


In den folgenden Aufgaben wird das relative Produkt von Mengen und topologischen Räumen eingeführt.

Aufgabe

Es seien Mengen und

und

Abbildungen. Wir definieren

  1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

    gibt.

  2. Es sei eine weitere Menge und und Abbildungen mit

    Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

    derart gibt, dass die Projektionen auf bzw. mit übereinstimmen.


Aufgabe

Es seien topologische Räume und

und

stetige Abbildungen. Wir definieren

mit der induzierten Topologie.

  1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

    mit stetigen Abbildungen gibt.

  2. Es sei ein weiterer topologischer Raum und und stetige Abbildungen mit

    Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung

    derart gibt, dass die Projektionen auf bzw. mit übereinstimmen.


In der Situation der beiden vorstehenen Aufgaben bezeichnet man (mit der Projektion auf ) auch als bzw. als , die Vorstellung ist dabei, dass man das Objekt längs auf die neue Basis zurückzieht.

Aufgabe

Es sei eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen und . Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung

gilt (wobei die Identität sei).


Aufgabe

Es sei eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen und . Es sei ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung

Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung

gilt, also das relative Produkt mit der Faser übereinstimmt.


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und seien und die kanonischen Projektionen nach . Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es seien stetige Funktionen.

  1. Zeige, dass für das relative Produkt (die Funktionen treten in der Notation nicht explizit auf)

    gilt.

  2. Skizziere für eine Auswahl an Funktionen .
  3. Bestimme in (2), ob singuläre Punkte besitzt.


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und seien und stetige Abbildungen. Es sei

Zeige, dass ein stetiger Schnitt das gleiche ist wie eine stetige Abbildung mit .


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und es liege ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen

vor. Es sei und . Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

vorliegt.


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und seien und

stetige Abbildungen. Zeige, dass das relative Produkt (beziehungsweise der Rückzug) die Beziehung

erfüllt.


Aufgabe

Betrachte die Kreislinie . Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf , also ein neutrales Element , eine differenzierbare Abbildung

und eine differenzierbare Abbildung

derart, dass mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe wird.


Aufgabe

Betrachte die allgemeine lineare Gruppe als offene Untermannigfaltigkeit des . Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf , also ein neutrales Element , eine differenzierbare Abbildung

und eine differenzierbare Abbildung

derart, dass mit diesen Daten zu einer Gruppe wird.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

ein fixpunktfreier Diffeomorphismus ist, der zu sich selbst invers ist.


Aufgabe

Es sei . Berechne


Aufgabe

Es sei ein Differentialoperator auf einer offenen Menge . Die Auswertung von an welchen differenzierbaren Funktionen gibt die Koeffizientenfunktionen aus?


Aufgabe

Es sei ein Differentialoperator auf einer offenen Menge . Zeige, dass ein Differentialoperator im Sinne der Definition 11.4 ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorfeld auf . Zeige .


Aufgabe

Es sei eine - differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass für - Vektorfelder auf die sogenannte Jacobi-Identität

gilt.


Es sei ein Vektorraum über einem Körper und sei

eine Verknüpfung auf . Man nennt eine Lie-Algebra, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind.

  1. ist bilinear.
  2. erfüllt die sogenannte Jacobi-Identität, d.h. für gilt
  3. Es ist für alle .


Aufgabe

Es sei eine - Mannigfaltigkeit und sei der Raum aller - Vektorfelder auf . Zeige, dass mit der Lie-Klammer von Vektorfeldern eine Lie-Algebra ist.


Aufgabe

Es sei ein - Vektorraum über einem Körper und sei

die Menge aller linearen - Endomorphismen von nach . Zeige, dass , versehen mit

eine Lie-Algebra ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei und sei

Zeige, dass die Abbildung

eine Bijektion ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Torus und seien zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung derart gibt, dass die Kartenabbildung

eine Homöomorphie mit ergibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das relative Produkt für stetig differenzierbare Funktionen

keine topologische Mannigfaltigkeit sein muss.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

Berechne


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei und somit eine diffferenzierbare Mannigfaltigkeit definiere. Es sei ein Differentialoperator erster Ordnung zu einem stetigen Vektorfeld auf . Zeige

für jede differenzierbare Funktion auf .


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten auf dem die Vektorfelder

und

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne .
  4. Berechne .



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