Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 11

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt $M\times N$ von zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Es seien $M_1\subseteq N_1$ und $M_2\subseteq N_2$ abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt $M_1\times M_2$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $N_1\times N_2$ ist.

Aufgabe

Beschreibe die Karten auf dem Torus $S^1\times S^1$, die von den stereographischen Projektionen herrühren.

Aufgabe

Zeige, dass ${ℝ}^2\setminus \{0\}$ diffeomorph zu einem Produkt aus eindimensionalen Mannigfaltigkeiten ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt $M\times N$ von zwei wegzusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ wieder wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\phi :M⟶M\times M,x⟼(x,x),$

die Diagonalabbildung in das Produkt $M\times M$. Zeige, dass die Diagonale $\phi (M)$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

$M\times M⟶M\times M,(P,Q)⟼(Q,P),$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe

Beschreibe den Torus $S^1\times S^1$ als Rotationsmenge im ${ℝ}^3$.

Aufgabe

Es sei  $R>0$  und betrachte die Abbildung

${ℝ}^3⟶ℝ,(x,y,z)⟼{(\sqrt{x^2+y^2}-R)}^2+z^2.$

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung und die Gestalt der Faser über  $s\in ℝ$.  Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von  $\sqrt{s}<R$  zu  $\sqrt{s}>R$? 

Aufgabe *

Erstelle eine Animation, die Aufgabe 11.9 illustriert.

Aufgabe

Definiere die Abbildung

$S^1\times S^1⟶S^2,$

die zu einem Winkelpaar $(\alpha ,\beta )$ die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung differenzierbar? Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?

Aufgabe

Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre $S^2$ und der Torus $S^1\times S^1$ nicht homöomorph sind.

Aufgabe

Zu welcher differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist $S^1\times S^1\setminus \mathrm{△}$, also der Torus ohne die Diagonale, diffeomorph?

Aufgabe *

Es sei $X$ ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶X$

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

$T_P(\phi ):T_P{ℝ}^2⟶T_{\phi (P)}X$

in jedem Punkt  $P\in {ℝ}^2$  surjektiv ist.

In den folgenden Aufgaben wird das relative Produkt von Mengen und topologischen Räumen eingeführt.

Aufgabe

Es seien $L_1,L_2,M$ Mengen und

$p_1:L_1⟶M$

und

$p_2:L_2⟶M$

Abbildungen. Wir definieren

$L_1{\times }_M{L}_2:=\{(x_1,x_2)\mid p_1(x_1)=p_2(x_2)\}\subseteq L_1\times L_2.$

1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

   $\begin{array}{cccc}{L}_1{\times }_M{L}_2& \stackrel{}{⟶}& L_1& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ L_2& \stackrel{}{⟶}& M& \end{array}$

   gibt.

2. Es sei $T$ eine weitere Menge und ${\psi }_1:T\to L_1$ und ${\psi }_2:T\to L_2$ Abbildungen mit

   $p_1\circ {\psi }_1=p_2\circ {\psi }_2.$

   Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

   $\psi :T⟶L_1{\times }_M{L}_2$

   derart gibt, dass die Projektionen auf $L_1$ bzw. $L_2$ mit ${\psi }_1,{\psi }_2$ übereinstimmen.

Aufgabe

Es seien $L_1,L_2,M$ topologische Räume und

$p_1:L_1⟶M$

und

$p_2:L_2⟶M$

stetige Abbildungen. Wir definieren

$L_1{\times }_M{L}_2:=\{(x_1,x_2)\mid p_1(x_1)=p_2(x_2)\}\subseteq L_1\times L_2$

mit der induzierten Topologie.

1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

   $\begin{array}{cccc}{L}_1{\times }_M{L}_2& \stackrel{}{⟶}& L_1& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ L_2& \stackrel{}{⟶}& M& \end{array}$

   mit stetigen Abbildungen gibt.

2. Es sei $T$ ein weiterer topologischer Raum und ${\psi }_1:T\to L_1$ und ${\psi }_2:T\to L_2$ stetige Abbildungen mit

   $p_1\circ {\psi }_1=p_2\circ {\psi }_2.$

   Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung

   $\psi :T⟶L_1{\times }_M{L}_2$

   derart gibt, dass die Projektionen auf $L_1$ bzw. $L_2$ mit ${\psi }_1,{\psi }_2$ übereinstimmen.

In der Situation der beiden vorstehenen Aufgaben bezeichnet man $L_1{\times }_M{L}_2$ (mit der Projektion auf $L_2$) auch als $p_2^{\ast }{L}_1$ bzw. als $p_1^{\ast }{L}_2$, die Vorstellung ist dabei, dass man das Objekt $p_1:L_1\to M$ längs $p_2$ auf die neue Basis $L_2$ zurückzieht.

Aufgabe

Es sei $p:Y\to X$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen $X$ und $Y$. Zeige, dass für das relative Produkt die Beziehung

$X{\times }_{X}Y\cong Y$

gilt (wobei $X\to X$ die Identität sei).

Aufgabe

Es sei $p:Y\to X$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen $X$ und $Y$. Es sei  $x\in X$  ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung

$\iota :\{x\}⟶X.$

Zeige, dass für das relative Produkt die Beziehung

$\{x\}{\times }_{X}Y\cong Y_x$

gilt, also das relative Produkt mit der Faser übereinstimmt.

Aufgabe

Es seien $X,U$ und $V$ topologische Räume und seien $p_1:X\times U\to X$ und $p_2:X\times V\to X$ die kanonischen Projektionen nach $X$. Zeige, dass für das relative Produkt die Beziehung

$(X\times U){\times }_X(X\times V)\cong X\times U\times V$

gilt.

Aufgabe

Es seien $f,g:ℝ\to ℝ$ stetige Funktionen.

1. Zeige, dass für das relative Produkt (die Funktionen treten in der Notation nicht explizit auf)

   $ℝ{\times }_{ℝ}ℝ=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid f(x)=g(y)\}$

   gilt.

2. Skizziere $ℝ{\times }_{ℝ}ℝ$ für eine Auswahl an Funktionen $(f,g)$.
3. Bestimme in (2), ob $ℝ{\times }_{ℝ}ℝ$ singuläre Punkte besitzt.

Aufgabe

Es seien $X,Y$ und $Z$ topologische Räume und seien $\phi :Y\to X$ und $p:Z\to X$ stetige Abbildungen. Es sei

$p_Y:Y{\times }_{X}Z⟶Y.$

Zeige, dass ein stetiger Schnitt $s:Y\to Y{\times }_{X}Z$ das gleiche ist wie eine stetige Abbildung $t:Y\to Z$ mit  $p\circ t=\phi$. 

Aufgabe

Es seien $X,Y,Z$ und $X^{\prime }$ topologische Räume und es liege ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen

$\begin{array}{cccc}& Y& \stackrel{}{⟶}& Z\\ & & \searrow & \downarrow \\ & X^{\prime }& \stackrel{\phi }{⟶}& X\end{array}$

vor. Es sei  $Y^{\prime }={\phi }^{\ast }Y=Y{\times }_X{X}^{\prime }$  und  $Z^{\prime }={\phi }^{\ast }Z=Z{\times }_X{X}^{\prime }$.  Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{cccc}& Y^{\prime }& \stackrel{}{⟶}& Z^{\prime }\\ & & \searrow & \downarrow \\ & & & X^{\prime }\end{array}$

vorliegt.

Aufgabe

Es seien $X,Y,Z$ und $W$ topologische Räume und seien $W\to X$ und

$Z\stackrel{\phi }{⟶}Y\stackrel{\psi }{⟶}X$

stetige Abbildungen. Zeige, dass das relative Produkt (beziehungsweise der Rückzug) die Beziehung

${\phi }^{\ast }\left({\psi }^{\ast }W\right)=Z{\times }_Y\left(Y{\times }_{X}W\right)=Z{\times }_{X}W=(\psi \circ \phi {)}^{\ast }W$

erfüllt.

Aufgabe

Betrachte die Kreislinie $S^1$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf $S^1$, also ein neutrales Element $P\in S^1$, eine differenzierbare Abbildung

$\alpha :S^1⟶S^1,x⟼\alpha (x),$

und eine differenzierbare Abbildung

$T=S^1\times S^1⟶S^1,(x,y)⟼\phi (x,y),$

derart, dass $S^1$ mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe wird.

Aufgabe

Betrachte die allgemeine lineare Gruppe  $G={\mathrm{GL}}_n\left(ℝ\right)\subseteq {ℝ}^{n^2}$  als offene Untermannigfaltigkeit des ${ℝ}^{n^2}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf $G$, also ein neutrales Element $P\in G$, eine differenzierbare Abbildung

$\alpha :G⟶G,x⟼\alpha (x),$

und eine differenzierbare Abbildung

$\phi :G\times G⟶G,(x,y)⟼\phi (x,y),$

derart, dass $G$ mit diesen Daten zu einer Gruppe wird.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\phi :S^1\times ℝ⟶S^1\times ℝ,(x_1,x_2;t)⟼(-x_1,-x_2;-t),$

ein fixpunktfreier Diffeomorphismus ist, der zu sich selbst invers ist.

Aufgabe

Es sei  $D=x^2{\partial }_x+(x-y^2){\partial }_y$.  Berechne

$D(4x^2-xy+5y^3).$

Aufgabe

Es sei  $D=\sum _{j=1}^n{g}_j{\partial }_j$  ein Differentialoperator auf einer offenen Menge  $U\subseteq {ℝ}^n$.  Die Auswertung von $D$ an welchen differenzierbaren Funktionen gibt die Koeffizientenfunktionen $g_j$ aus?

Aufgabe

Es sei  $D=\sum _{j=1}^n{g}_j{\partial }_j$  ein Differentialoperator auf einer offenen Menge  $U\subseteq {ℝ}^n$.  Zeige, dass $D$ ein Differentialoperator im Sinne der Definition 11.4 ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $D$ ein differenzierbares Vektorfeld auf $M$. Zeige  $[D,D]=0$. 

Aufgabe

Es sei $M$ eine $C^3$-differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass für $C^2$-Vektorfelder $D,E,F$ auf $M$ die sogenannte Jacobi-Identität

$[[D,E],F]+[[E,F],D]+[[F,D],E]=0$

gilt.

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und sei

$V\times V⟶V,(f,g)⟼[f,g],$

eine Verknüpfung auf $V$. Man nennt $(V,[-,-])$ eine Lie-Algebra, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind.

1. $[-,-]$ ist bilinear.
2. $[-,-]$ erfüllt die sogenannte Jacobi-Identität, d.h. für  $u,v,w\in V$  gilt

   $[[u,v],w]+[[v,w],u]+[[w,u],v]=0.$

3. Es ist  $[v,v]=0$  für alle  $v\in V$. 

Aufgabe

Es sei $M$ eine $C^{\mathrm{\infty }}$-Mannigfaltigkeit und sei $V$ der Raum aller $C^{\mathrm{\infty }}$-Vektorfelder auf $M$. Zeige, dass $V$ mit der Lie-Klammer von Vektorfeldern eine Lie-Algebra ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum über einem Körper $K$ und sei

$L={\mathrm{End}}_{}(V)$

die Menge aller linearen $K$-Endomorphismen von $V$ nach $V$. Zeige, dass $L$, versehen mit

$[f,g]:=f\circ g-g\circ f,$

eine Lie-Algebra ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei  $0<r<R$  und sei

$T=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid {(\sqrt{x^2+y^2}-R)}^2+z^2=r^2\}.$

Zeige, dass die Abbildung

$S^1\times S^1⟶T,(\phi ,\psi )⟼((R+r\cos \psi )\cos \phi ,(R+r\cos \psi )\sin \phi ,r\sin \psi )$

eine Bijektion ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $T$ ein Torus und seien $P,Q\in T$ zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung $P,Q\in U\subseteq T$ derart gibt, dass die Kartenabbildung

$\alpha :U⟶V$

eine Homöomorphie mit $V=]0,1[\times ]0,1[$ ergibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das relative Produkt $ℝ{\times }_{ℝ}ℝ$ für stetig differenzierbare Funktionen

$f,g:ℝ⟶ℝ$

keine topologische Mannigfaltigkeit sein muss.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

$D=(x{y}^2-\sin z){\partial }_x+\left(e^{x+y+z}\right){\partial }_y+\left(x{y}^{3}z\right){\partial }_z.$

Berechne

$D(7e^{xy}-\cos (z^3+y^5)-x^4{y}^3+y^2{z}^3{e}^z).$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(0)$  die Faser zu $0$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei und somit eine diffferenzierbare Mannigfaltigkeit definiere. Es sei $D$ ein Differentialoperator erster Ordnung zu einem stetigen Vektorfeld auf $Y$. Zeige

$D(gh)=0$

für jede differenzierbare Funktion $g$ auf $Y$.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten auf dem ${ℝ}^3$ die Vektorfelder

$D=-y{\partial }_x+z{\partial }_y-x{\partial }_z,$

$E=5{\partial }_x-3{\partial }_y+\cos \left(xy\right){\partial }_z,$

und

$F=4e^{xyz}{\partial }_y-z^3{\partial }_z.$

1. Berechne $[D,E]$.
2. Berechne $[D,F]$.
3. Berechne $[E,F]$.
4. Berechne $[[D,E],F]$.