Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 18

Die Transformationsformel für Volumenformen

Lemma

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit ${}L$ und ${}S\subseteq L$ eine messbare Teilmenge.

Dann ist

${}\int _{S}\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi (S)}\omega \,.$

Beweis

Nach Lemma 15.2 können wir davon ausgehen, dass ${}S$ und ${}\varphi (S)$ jeweils ganz in einer Karte von ${}L$ bzw. von ${}M$ liegen, sagen wir ${}S\subseteq U$ mit der Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow U'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

und ${}\varphi (S)\subseteq V$ mit der Karte

$\beta \colon V\longrightarrow V'\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$

Wir können weiter durch verkleinern der Karten davon ausgehen, dass ${}U$ und ${}V$ über ${}\varphi$ diffeomorph zueinander sind. Es liegt dann ein kommutatives Diagramm von Diffeomorphismen

${\begin{matrix}U&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\U'&{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&V'&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, das ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}S&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\varphi (S)&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\\alpha (S)&{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&\beta (\varphi (S))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von messbaren Mengen induziert. Für die Volumenform ${}\omega$ auf ${}V$ gilt dabei

${}\alpha ^{{-1}*}(\varphi ^{*}\omega )={\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}^{*}(\beta ^{{-1}*}\omega )\,.$

nach Lemma 14.7  (4). Die Volumenform ${}\beta ^{{-1}*}\omega$ besitzt auf ${}V'$ die Beschreibung ${}gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ mit einer messbaren Funktion ${}g\colon V'\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}\int _{\varphi (S)}\omega$ ist nach Definition gleich ${}\int _{\beta (\varphi (S))}gd\lambda ^{n}$. Ebenso besitzt ${}\alpha ^{{-1}*}(\varphi ^{*}\omega )$ auf ${}U'$ eine Beschreibung der Form ${}fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$. Diese Volumenform auf ${}U'$ stimmt mit dem Rückzug von ${}gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ überein und dieser ist nach Korollar 14.9 gleich

$(g\circ \psi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \psi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$

(mit ${}\psi =\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}$). Somit folgt die Aussage aus Satz 14.3 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)).

$\Box$

Isometrien zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ heißt lokale Isometrie, wenn für jeden Punkt ${}P\in L$ die Tangentialabbildung

$T_{P}\varphi \colon T_{P}L\longrightarrow T_{\varphi (P)}M$

eine Isometrie bezüglich der gegebenen Skalarprodukte ist.

Schon die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$

zeigt, dass eine lokale Isometrie nicht injektiv sein muss.

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ heißt Isometrie, wenn sie ein Diffeomorphismus ist und wenn sie lokal eine Isometrie ist.

Isometrische riemannsche Mannigfaltigkeiten werden im Sinne der riemannschen Geometrie als gleich betrachtet, insbesondere bleiben Längen, Winkel, Volumina unter Isometrien erhalten, siehe Lemma 18.6. Es ist aber keineswegs einfach zu erkennen, welche Eigenschaften einer im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eingebetteten riemannschen Mannigfaltigkeit nur von der riemannschen Struktur und nicht von der Einbettung abhängen. Eigenschaften, die nur von der riemannschen Struktur abhängen, nennt man auch intrinsisch (und solche, die von der Einbettung abhängen, extrinsisch). Für eine intrinsische Eigenschaft ist die Vorstellung passend, ob die Eigenschaft von einem Lebewesen, das sich nur auf der Mannigfaltigkeit bewegen darf und diese nicht verlassen kann, erkannt und beschrieben werden kann.

Beispiel

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene riemannsche Untermannigfaltigkeit. Dann induzierte jede lineare Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Isometrie von ${}M$ nach ${}\varphi (M)$.

Beispiel

Es sei ${}\gamma \colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine differenzierbare bogenparametrisierte injektive Kurve mit der Bildkurve

${}C\subseteq V\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,,$

die in der offenen Teilmenge ${}V$ abgeschlossen sei. Dann ist die Abbildung

$\varphi =\gamma \times \operatorname {Id} _{\mathbb {R} }\colon ]a,b[\times \mathbb {R} \longrightarrow C\times \mathbb {R}$

eine Isometrie, wobei ${}]a,b[\times \mathbb {R}$ die natürliche euklidische Struktur und ${}C\times \mathbb {R}$ die riemannsche Untermannigfaltigkeitsstruktur ${}C\times \mathbb {R} \subseteq V\times \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{3}$ trägt. Die Abbildung bedeutet im Wesentlichen, dass ein Blatt Papier längs einer Basiskurve ausgebreitet wird. Die vertikalen Fasern ändern sich dabei nicht und die horizontalen Faser sind eine Kopie der Basiskurve. Das einfachste nichttriviale Beispiel ist die Verbiegung des Blattes zu einem geschlitzten Zylindermantel. Es ist anschaulich klar, dass sich dabei die Kurvenlängen auf den Flächen und Flächeninhalte nicht ändern. Dass eine Isometrie vorliegt, kann man wie folgt zeigen. Sei dazu ${}P=(s,t)\in ]a,b[\times \mathbb {R}$. Dann ist

${}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(e_{1}\right)}={\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(s)\\\gamma _{2}'(s)\\0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(e_{2}\right)}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,,$

die beiden Bildvektoren der Standardvektoren haben also die Länge ${}1$ und stehen senkrecht aufeinander. Somit ist

$T_{P}(]a,b[\times \mathbb {R} )\longrightarrow T_{\varphi (P)}(C\times \mathbb {R} )$

eine Isometrie.

Lemma

Es seien ${}L,M$ orientierte riemannsche Mannigfaltigkeiten und sei ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ eine orientierungstreue Isometrie. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die kanonische Volumenform von ${}M$ wird auf die kanonische Volumenform von ${}L$ zurückgezogen.
2. Für jede differenzierbare Kurve

   $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow L$

   ist die Kurvenlänge von ${}\gamma$ gleich der Kurvenlänge von ${}\varphi \circ \gamma$.

3. ${}\varphi$ ist maßtreu.
4. ${}\varphi$ ist winkeltreu.

Beweis

1. Es sei ${}\omega$ die kanonische Volumenform auf ${}M$ und ${}P\in L$. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in T_{P}L$ eine Orthonormalbasis von ${}T_{P}L$, die die Orientierung von ${}L$ repräsentiert. Dann ist

   ${}{\left(\varphi ^{*}\omega \right)}(P,u_{1},\ldots ,u_{n})=\omega (\varphi (P),T_{P}(u_{1}),\ldots ,T_{P}(u_{n}))\,.$

   Wegen der Isometrie ist ${}T_{P}(u_{1}),\ldots ,T_{P}(u_{n})$ eine Orthonormalbasis von ${}T_{\varphi (P)}M$ und wegen der Orientierungserhaltung der Abbildung repräsentiert sie die Orientierung auf ${}M$, daher ist der Wert gleich ${}1$. Diese Eigenschaft charakterisiert die kanonische Volumenform auf ${}L$.

2. Die Kurvenlänge von ${}\gamma$ ist das Integral zu ${}\Vert {\gamma '(t)}\Vert$, wobei die Norm in ${}T_{\gamma (t)}L$ zu nehmen ist. Entsprechend ist die Kurvenlänge von ${}\varphi \circ \gamma$ das Integral über ${}\Vert {{\left(\varphi \circ \gamma \right)}'(t)}\Vert$, was wegen der Isometrie das gleiche ist.
3. Zu einer Teilmenge ${}S\subseteq L$ ist das Maß zur kanonischen Volumenform von ${}L$ über ${}S$ nach Teil (1) und Lemma 18.1 gleich

   ${}\int _{S}\omega _{L}=\int _{S}\varphi ^{*}(\omega _{M})=\int _{\varphi (S)}\omega _{M}\,.$

4. Dies folgt direkt aus der Isometrie.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

eine Karte auf ${}M$.

Dann ist ${}\alpha$ eine Isometrie zwischen ${}U$ und ${}V$, wenn ${}V$ mit den durch die metrischen Fundamentalfunktionen ${}g_{ij}$ festgelegten Skalarprodukt versehen wird.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus der Definition der ${}g_{ij}$ durch

${}g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,.$

$\Box$

Die hyperbolische Fläche

Wir besprechen drei Modelle für die sogenannte hyperbolische Fläche (oder hyperbolische Ebene) und geben Isometrien zwischen ihnen an. In Beispiel 29.10 werden wir sehen, dass es sich um eine Fläche mit konstanter Schnittkrümmung ${}-1$ handelt. Das folgende Modell heißt Poincarésche Halbebene.

Beispiel

Es sei

${}{\mathbb {H} }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}={\left\{(x,y)\mid y>0\right\}}\,$

die obere Halbebene versehen mit der riemannschen Metrik, die durch

${}g_{11}=g_{22}={\frac {1}{y^{2}}}\,$

und ${}g_{12}=0$ gegeben ist. Es handelt sich also um das mit der Funktion ${}{\frac {1}{y^{2}}}$ umskalierte Standardskalarprodukt. Die Norm eines Tangentialvektors in einem Punkt ${}(x,y)$ ist die um den Faktor ${}{\frac {1}{\vert {y}\vert }}$ umskalierte Standardnorm. Die Flächenform ist also durch die Dichte ${}{\frac {1}{y^{2}}}$ gegeben.

Das folgende Modell heißt hyperbolische Kreisscheibe.

Beispiel

Auf der offenen Kreisscheibe

${}V={\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\right\}}\,$

definieren wir eine riemannsche Struktur durch die Bilinearform

${}g(Q)(u,v)={\frac {4}{{\left(1-\Vert {Q}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}\left\langle u,v\right\rangle \,,$

das Standardskalarprodukt wird also mit der Funktion ${}{\frac {4}{{\left(1-\Vert {Q}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}$ umskaliert, die erste Fundamentalmatrix ist

${\frac {4}{{\left(1-\Vert {Q}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Lemma

Die Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow H,\,w\longmapsto {\frac {{\left(w+1\right)}{\mathrm {i} }}{1-w}},$

definiert eine Isometrie zwischen der hyperbolischen Kreisscheibe und der Poincaréschen Halbebene.

Beweis

Die Abbildung ist nach Aufgabe 18.10 bijektiv und komplex-differenzierbar mit einer komplex-differenzierbaren Umkehrabbildung, es liegt also erst recht ein Diffeomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten vor. Die Abbildung ist nach Aufgabe 18.12 in reellen Koordinaten durch

${}\psi {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\frac {1}{-2a+1+a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}-2b\\1-a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}\,$

gegeben. Die partiellen Ableitungen sind nach Aufgabe 18.13 gleich

${}{\frac {\partial \psi }{\partial a}}={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab-4b\\2a^{2}-4a+2-2b^{2}\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\frac {\partial \psi }{\partial b}}={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4a-2-2a^{2}+2b^{2}\\4ab-4b\end{pmatrix}}\,.$

Wir müssen zeigen, dass

${}\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle _{V,(a,b)}=\left\langle {\left(D\psi \right)}_{(a,b)}{\left(e_{i}\right)},{\left(D\psi \right)}_{(a,b)}{\left(e_{j}\right)}\right\rangle _{H,\psi (a,b)}\,$

ist. Da die beiden partiellen Ableitungen senkrecht aufeinander stehen und da beide riemannschen Metriken die Orthogonalität des Standardskalarproduktes ererben, muss dies nur für ${}i=j$ gezeigt werden. Wir müssen also zeigen, dass das totale Differential längentreu ist. Es ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\Vert {{\frac {\partial \psi }{\partial a}}({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})}\Vert _{H,\psi (a,b)}\\&=\Vert {{\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab-4b\\2a^{2}-4a+2-2b^{2}\end{pmatrix}}}\Vert _{H,\psi (a,b)}\\&={\frac {\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}}\Vert {{\frac {2}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}2(a-1)b\\{\left(a-1\right)}^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}}\Vert \\&={\frac {2}{{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}{\left({\left(a-1\right)}^{2}+b^{2}\right)}}}{\sqrt {4(a-1)^{2}b^{2}+{\left(a-1\right)}^{4}+b^{4}-2{\left(a-1\right)}^{2}b^{2}}}\\&={\frac {2}{{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}{\left({\left(a-1\right)}^{2}+b^{2}\right)}}}{\left({\left(a-1\right)}^{2}+b^{2}\right)}\\&={\frac {2}{\left(1-{\left(a^{2}+b^{2}\right)}\right)}}\\&=\Vert {e_{1}}\Vert _{V,(a,b)}.\,\end{aligned}}$

Entsprechend ergibt sich die Aussage für die zweite partielle Ableitung.

$\Box$

Die euklidische Standardmetrik des ${}\mathbb {R} ^{n}$ induziert auf jeder abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit eine riemannsche Metrik. Es gibt aber auch Situationen, wo man den ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit einer anderen, also nicht positiv definiten nichtausgearteten Bilinearform versieht und die Einschränkung auf eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit dennoch eine riemannsche Mannigfaltigkeit ergibt. Für das folgende Beispiel, das zweischalige Hyperboloid, siehe auch Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 40.

Beispiel

Es geht um die obere Schale des zweischaligen Hyperboloids, versehen mit der von der Minkowsi-Form induzierten Bilinearform.

Wir versehen den ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit der Standard-Minkowski-Form, also der Bilinearform, die zur quadratischen Form ${}x^{2}+y^{2}-z^{2}$ gehört, und wir betrachten die Teilmenge

${}Y={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,\,z>0\right\}}\,.$

Wenn man den ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit der Minkowski-Form als ein dreidimensionales Modell für die spezielle Relativitätstheorie ansieht, so ist dies die Menge der in die Zukunft gerichteten Beobachtervektoren. Zu einem Punkt ${}P=(x,y,z)\in Y$ ist nach Lemma 40.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) die Einschränkung der Form auf den Tangentialraum positiv definit. Es bilden ${}{\begin{pmatrix}x\\-y\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}$ eine Basis des Tangentialraumes ${}T_{P}Y$. Für einen beliebigen Tangentialvektor

${}v=a{\begin{pmatrix}x\\-y\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}\,$

ist

${}{\begin{aligned}\left\langle v,v\right\rangle _{Y,P}&={{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}\\&={{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\-bx\end{pmatrix}}\\&={\left(ax+bz\right)}^{2}+a^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}\\&={\left(ax+bz\right)}^{2}+a^{2}{\left(-1-x^{2}+z^{2}\right)}-b^{2}x^{2}.\end{aligned}}$

Lemma

Die Abbildung

$\theta \colon V\longrightarrow Y,\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}{\frac {-2a}{a^{2}+b^{2}-1}}\\{\frac {-2b}{a^{2}+b^{2}-1}}\\{\frac {-a^{2}-b^{2}-1}{a^{2}+b^{2}-1}}\end{pmatrix}},$

definiert eine Isometrie zwischen der hyperbolischen Kreisscheibe ${}V$ und der oberen Schale des zweischaligen Hyperboloids mit der induzierten Minkowski-Metrik.

Beweis

Die partiellen Ableitungen von ${}\theta$ sind

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial \theta }{\partial a}}({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})&={\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}-2{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}+2a(2a)\\4ab\\-2a{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}+2a{\left(a^{2}+b^{2}+1\right)}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}{\frac {\partial \theta }{\partial b}}({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})={\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}}\right\rangle _{Y,(a,b)}&=4ab{\left(2a^{2}-2b^{2}+2\right)}+4ab{\left(-2a^{2}+2b^{2}+2\right)}-16ab\\&=0,\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}}\right\rangle _{Y,(a,b)}&={\left(2a^{2}-2b^{2}+2\right)}^{2}+16a^{2}b^{2}-16a^{2}\\&=4{\left({\left(a^{2}-b^{2}+1\right)}^{2}+4a^{2}b^{2}-4a^{2}\right)}\\&=4{\left(a^{4}+b^{4}+1-2a^{2}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}\right)}\\&=4{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2},\end{aligned}}$

und

$\left\langle {\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}}\right\rangle _{Y,(a,b)}=4{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}\,.$

Unter Berücksichtigung des Vorfaktors ${}{\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}$ stimmen die Werte der Skalarprodukte auf ${}Y$ mit den Skalarprodukten auf der Kreisscheibe überein.

$\Box$

<< | Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023) | >> PDF-Version dieser Vorlesung Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)