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Kurs:Elliptische Kurven/2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 10 2 4 5 0 4 3 3 3 0 4 10 0 2 4 60




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein lokaler Ring.
  2. Eine kongruente Zahl
  3. Eine elliptische Funktion zu einem Gitter .
  4. Eine Isogenie zwischen elliptischen Kurven und .
  5. Ein Hauptdivisor auf einer glatten irreduziblen Kurve .
  6. Ein Absolutbetrag auf einem Körper.


Lösung Elliptische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den lokalen Ring an einem glatten Punkt einer Kurve.
  2. Die Hasse-Schranke für eine elliptische Kurve.
  3. Der Satz über die Rangcharakterisierung von kongruenten Zahlen.


Lösung Elliptische Kurven/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.


Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

  1. Skizziere elliptische Kurven über .
  2. Skizziere elliptische Kurven über .


Lösung Elliptische Kurve/R und C/Skizze/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen Punkte, wie komplexe eindimensionale Tori und elliptische Kurven über zusammenhängen.


Lösung Komplexer Torus/Elliptische Kurve/Zusammenhang/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die elliptische Kurve , die durch die affine Gleichung

gegeben ist.

  1. Parametrisiere den oberen Bogen von für .
  2. Bestimme den Punkt aus mit und mit der maximalen -Koordinate.
  3. Beschreibe eine endliche Körpererweiterung derart, dass liegt.


Lösung

  1. Es ist

    für ist

    nichtnegativ.

  2. Der gesuchte Punkt ist das Maximum der Funktion

    auf . Zur Bestimmung dieses Extremum ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

    Die Nullstellenbedingung wird zu

    wobei nur

    im Intervall liegt. Der Wert an dieser Stelle ist

    Es ist also

  3. Der Punkt liegt in der endlichen Körpererweiterung

    (vom Grad über ).


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik , die affin durch eine Gleichung der Form

gegeben ist. Zeige, dass unter der durch gegebenen Projektion auf die projektive Gerade genau in den Punkten Verzweigung vorliegt.


Lösung

Die Abbildung besitzt den Grad und wird projektiv durch

gegeben, in homogenen Koordinaten geht es um die vier Punkte . Wir verwenden Fakt ***** und müssen lediglich zeigen, dass genau in den angegebenen Punkten die Fasern nur aus einem Punkt bestehen. Es wird

auf abgebildet (die Koordinantenbeschreibung ist etwas verwirrend, die rationale Funktion hat jedenfalls in einen Pol) und dies ist der einzige Urbildpunkt, da nur aus besteht. Für die anderen Punkte können wir allein im Affinen arbeiten. Für

ist das kubische Polynom gleich und daher gibt es für nur die Möglichkeit

In diesen Punkten liegt also Verzweigung vor. Für

ist der Wert des kubischen Polynoms und es gibt die beiden verschiedenen Urbildpunkte und somit liegt dort keine Verzweigung vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper , die durch eine affine Gleichung

gegeben sei. Es sei der Funktionenkörper in einer Variablen über . Es sei ein Punkt der Kurve über einem Erweiterungskörper . Zeige, dass in unendliche Ordnung besitzt.


Lösung

Wir können zum algebraischen Abschluss übergehen und das Element im Funktionenkörper betrachten. Ebenso können wir die zweite Koordinate in einem Erweiterungskörper von betrachten. Durch eine solche Körpererweiterung ändert sich die Ordnung eines Gruppenelementes nicht. Eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper enthält aber schon die volle Torsion, siehe Fakt *****. Wegen muss die Ordnung von unendlich sein.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass für den Tate-Modul von die Gleichheit

gilt.


Lösung

Die Torsionsuntergruppe der Ordnung besteht aus allen Restklassen

und ist somit isomorph zu . Für ein Element gilt ja

und somit besitzt eine Bruchdarstellung

In der Restklassengruppe kann man aus dem angegebenen Bereich wählen. Unter dem Gruppenhomomorphismus

wird der Erzeuger rechts auf den Erzeuger

links abgebildet. Das stimmt mit den Homomorphismen in der Definition von überein.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und verschiedene Primzahlen und seien und die zugehörigen Standardbeträge. Zeige, dass durch

kein Betrag auf gegeben ist.


Lösung

Wir betrachten die Dreiecksabschätzung für . Es ist

da ja kein Vielfaches von (und auch nicht von ) ist. Ferner ist

und

Somit ist

und die Dreiecksabschätzung ist nicht erfüllt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten in die endliche Punktemenge, die aus den drei Punkten , und besteht. Für welche Primzahlen besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus drei Punkten?


Lösung

Wir ersetzen direkt durch . Dann werden alle Punkte ganzzahlig und teilerfremd repräsentiert und man kann direkt die Reduktion ausrechnen

Der erste Minor der ersten beiden Punkte ist

die ersten beiden Punkte sind also bei jeder Reduktion verschieden.

Der erste Minor des ersten und des dritten Punktes ist

somit bleiben diese beiden Punkte bei verschieden. Bei sind die Reduktionen von und beide gleich .

Der erste Minor des zweiten und des dritten Punktes ist

somit bleiben diese beiden Punkte bei verschieden. Bei sind die Reduktionen von und beide gleich . Für alle Primzahlen besteht also die Reduktion ebenfalls aus drei Punkten.


Aufgabe (10 (1+1+1+4+3) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern .

  1. Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
  2. Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
  3. Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
  4. Bestimme, für welche Primzahlen sich keine elliptische Kurve über ergibt.
  5. Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion


Lösung

  1. Es gilt

    über jedem Körper. In Charakteristik ist

    Deshalb ist über und über auch der quadratische Faktor irreduzibel.

  2. Die Kurve schneidet die -Achse einmalig bei und der obere Strang ist streng wachsend, wegen

    und der Monotonie der Quadratwurzel.

  3. Über besitzt das quadratische Polynom die beiden Nullstellen . Somit liegt die Zerlegung

    vor.

  4. Die partiellen Ableitungen sind und . In Charakteristik ist ein Punkt der Kurve, in dem die partiellen Ableitungen verschwinden. Es liegt also schlechte Reduktion vor. Es sei nun die Charakteristik . Dann muss für einen singulären Punkt sein. Es geht also darum, ob und eine gemeinsame Nullstelle besitzen. In Charakteristik ist wegen

    der Punkt ein singulärer Punkt. Es sei nun die Charakteristik . In gilt (die folgende Argumentation kann man durch die Betrachtung der Diskriminante vereinfachen)

    und

    und schließlich

    Wenn die Charakteristik ist, so liegt eine glatte Kurve vor, da dann die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen und keine gemeinsame Nullstelle haben können.

    In Charakteristik ist

    und somit die Kurvengleichung gleich

    es liegt also ein singulärer Punkt in vor.

  5. Wir bestimmen den Reuktionstyp in den Singularitäten bei schlechter Reduktion.

    Im Punkt wird die Kurvengleichung mit

    zu

    es liegt also additive Reduktion vor.

    Im Punkt wird die Kurvengleichung mit

    zu

    es liegt also additive Reduktion vor.

    Im Punkt wird die Kurvengleichung mit

    zu

    es liegt also spaltende multiplikative Reduktion vor.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

  1. Bestimme die Menge und ihre Anzahl.
  2. Bestimme die Menge und ihre Anzahl.


Lösung

  1. Die ganzzahligen Lösungen der Gleichung sind , und, also Elemente.
  2. Die ganzzahligen Lösungen der Gleichung sind (wie oben), , , und , also Elemente.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Exponentialfunktion

zu keinem schwach modular ist.


Lösung

Es sei angenommen, dass schwach modular zum Gewicht ist. Nach Fakt ***** gilt dann insbesondere für alle . Dies bedeutet

Multiplikation mit ergibt

Die Funktion ist invariant unter der Substitution , was für bei sicher nicht gilt. Also ist . Es ist aber

nur für , und für beliebiges ist definitiv nicht immer .