Kurs:Elliptische Kurven/2/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 10 | 2 | 4 | 5 | 0 | 4 | 3 | 3 | 3 | 0 | 4 | 10 | 0 | 2 | 4 | 60 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein lokaler Ring.
- Eine kongruente Zahl
- Eine elliptische Funktion zu einem Gitter .
- Eine Isogenie zwischen elliptischen Kurven und .
- Ein Hauptdivisor auf einer glatten irreduziblen Kurve .
- Ein Absolutbetrag auf einem Körper.
Lösung Elliptische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über den lokalen Ring an einem glatten Punkt einer Kurve.
- Die Hasse-Schranke für eine elliptische Kurve.
- Der Satz über die Rangcharakterisierung von kongruenten Zahlen.
Lösung Elliptische Kurven/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (10 Punkte)
Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.
Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
- Skizziere elliptische Kurven über .
- Skizziere elliptische Kurven über .
Lösung Elliptische Kurve/R und C/Skizze/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (4 Punkte)
Beschreibe die wesentlichen Punkte, wie komplexe eindimensionale Tori und elliptische Kurven über zusammenhängen.
Lösung Komplexer Torus/Elliptische Kurve/Zusammenhang/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)
Wir betrachten die elliptische Kurve , die durch die affine Gleichung
gegeben ist.
- Parametrisiere den oberen Bogen von für .
- Bestimme den Punkt aus mit und mit der maximalen -Koordinate.
- Beschreibe eine endliche Körpererweiterung derart, dass liegt.
- Es ist
für ist
nichtnegativ.
- Der gesuchte Punkt ist das Maximum der Funktion
auf . Zur Bestimmung dieses Extremum ziehen wir die Ableitung heran. Es ist
Die Nullstellenbedingung wird zu
wobei nur
im Intervall liegt. Der Wert an dieser Stelle ist
Es ist also
- Der Punkt liegt in der endlichen Körpererweiterung
(vom Grad über ).
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik , die affin durch eine Gleichung der Form
gegeben ist. Zeige, dass unter der durch gegebenen Projektion auf die projektive Gerade genau in den Punkten Verzweigung vorliegt.
Die Abbildung besitzt den Grad und wird projektiv durch
gegeben, in homogenen Koordinaten geht es um die vier Punkte . Wir verwenden Fakt ***** und müssen lediglich zeigen, dass genau in den angegebenen Punkten die Fasern nur aus einem Punkt bestehen. Es wird
auf abgebildet (die Koordinantenbeschreibung ist etwas verwirrend, die rationale Funktion hat jedenfalls in einen Pol) und dies ist der einzige Urbildpunkt, da nur aus besteht. Für die anderen Punkte können wir allein im Affinen arbeiten. Für
ist das kubische Polynom gleich und daher gibt es für nur die Möglichkeit
In diesen Punkten liegt also Verzweigung vor. Für
ist der Wert des kubischen Polynoms und es gibt die beiden verschiedenen Urbildpunkte und somit liegt dort keine Verzweigung vor.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper , die durch eine affine Gleichung
gegeben sei. Es sei der Funktionenkörper in einer Variablen über . Es sei ein Punkt der Kurve über einem Erweiterungskörper . Zeige, dass in unendliche Ordnung besitzt.
Wir können zum algebraischen Abschluss übergehen und das Element im Funktionenkörper betrachten. Ebenso können wir die zweite Koordinate in einem Erweiterungskörper von betrachten. Durch eine solche Körpererweiterung ändert sich die Ordnung eines Gruppenelementes nicht. Eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper enthält aber schon die volle Torsion, siehe Fakt *****. Wegen muss die Ordnung von unendlich sein.
Aufgabe (3 Punkte)
Die Torsionsuntergruppe der Ordnung besteht aus allen Restklassen
und ist somit isomorph zu . Für ein Element gilt ja
und somit besitzt eine Bruchdarstellung
In der Restklassengruppe kann man aus dem angegebenen Bereich wählen. Unter dem Gruppenhomomorphismus
wird der Erzeuger rechts auf den Erzeuger
links abgebildet. Das stimmt mit den Homomorphismen in der Definition von überein.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und verschiedene Primzahlen und seien und die zugehörigen Standardbeträge. Zeige, dass durch
kein Betrag auf gegeben ist.
Wir betrachten die Dreiecksabschätzung für . Es ist
da ja kein Vielfaches von (und auch nicht von ) ist. Ferner ist
und
Somit ist
und die Dreiecksabschätzung ist nicht erfüllt.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten in die endliche Punktemenge, die aus den drei Punkten , und besteht. Für welche Primzahlen besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus drei Punkten?
Wir ersetzen direkt durch . Dann werden alle Punkte ganzzahlig und teilerfremd repräsentiert und man kann direkt die Reduktion ausrechnen
Der erste Minor der ersten beiden Punkte ist
die ersten beiden Punkte sind also bei jeder Reduktion verschieden.
Der erste Minor des ersten und des dritten Punktes ist
somit bleiben diese beiden Punkte bei verschieden. Bei sind die Reduktionen von und beide gleich .
Der erste Minor des zweiten und des dritten Punktes ist
somit bleiben diese beiden Punkte bei verschieden. Bei sind die Reduktionen von und beide gleich . Für alle Primzahlen besteht also die Reduktion ebenfalls aus drei Punkten.
Aufgabe (10 (1+1+1+4+3) Punkte)
Wir betrachten die durch die Gleichung
gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern .
- Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
- Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
- Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
- Bestimme, für welche Primzahlen sich keine elliptische Kurve über ergibt.
- Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion
- Es gilt
über jedem Körper. In Charakteristik ist
Deshalb ist über und über auch der quadratische Faktor irreduzibel.
- Die Kurve schneidet die -Achse einmalig bei
und der obere Strang ist streng wachsend, wegen
und der Monotonie der Quadratwurzel.
- Über besitzt das quadratische Polynom die beiden Nullstellen . Somit liegt die Zerlegung
vor.
- Die partiellen Ableitungen sind und . In Charakteristik ist ein Punkt der Kurve, in dem die partiellen Ableitungen verschwinden. Es liegt also schlechte Reduktion vor. Es sei nun die Charakteristik . Dann muss für einen singulären Punkt
sein. Es geht also darum, ob und eine gemeinsame Nullstelle besitzen. In Charakteristik ist wegen
der Punkt ein singulärer Punkt. Es sei nun die Charakteristik . In gilt (die folgende Argumentation kann man durch die Betrachtung der Diskriminante vereinfachen)
und
und schließlich
Wenn die Charakteristik ist, so liegt eine glatte Kurve vor, da dann die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen und keine gemeinsame Nullstelle haben können.
In Charakteristik ist
und somit die Kurvengleichung gleich
es liegt also ein singulärer Punkt in vor.
- Wir bestimmen den Reuktionstyp in den Singularitäten bei schlechter Reduktion.
Im Punkt wird die Kurvengleichung mit
zu
es liegt also additive Reduktion vor.
Im Punkt wird die Kurvengleichung mit
zu
es liegt also additive Reduktion vor.
Im Punkt wird die Kurvengleichung mit
zu
es liegt also spaltende multiplikative Reduktion vor.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
- Bestimme die Menge und ihre Anzahl.
- Bestimme die Menge und ihre Anzahl.
- Die ganzzahligen Lösungen der Gleichung sind , und, also Elemente.
- Die ganzzahligen Lösungen der Gleichung sind (wie oben), , , und , also Elemente.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei angenommen, dass schwach modular zum Gewicht ist. Nach Fakt ***** gilt dann insbesondere für alle . Dies bedeutet
Multiplikation mit ergibt
Die Funktion ist invariant unter der Substitution , was für bei sicher nicht gilt. Also ist . Es ist aber
nur für , und für beliebiges ist definitiv nicht immer .