Kurs:Funktionentheorie/7/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	4	5	2	4	2	4	3	5	3	1	4	2	10	62

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Differenzierbarkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
2. Eine winkeltreue Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

3. Der Ring der konvergenten Potenzreihen.
4. Eine geschlossene Differentialform.
5. Der Nebenteil zu einer Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$.
6. Eine Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ zwischen topologischen Räumen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Winkeltreue und komplexe Differenzierbarkeit.
2. Der Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.
3. Der Residuensatz.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige, dass bei ${}b\geq 0$ die Zahl

${}u={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,$

eine Quadratwurzel der komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form ${}z\mapsto {\frac {z+c}{1+{\overline {c}}z}}$ mit ${}\vert {c}\vert <1$ die offene Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ in sich abbilden.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu ${}1-T$ an.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ der Ring der Keime stetiger Funktionen in Punkt ${}0\in \mathbb {R}$. Zeige, dass in ${}R$ das maximale Ideal nicht von ${}X$ (also der Identität) erzeugt wird.

Aufgabe * (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}3\\5\\-6\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei

$\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(u,v)\longmapsto \varphi (u,v)=\varphi _{1}(u,v)+{\mathrm {i} }\varphi _{2}(u,v)=x+{\mathrm {i} }y=z,$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug ${}\varphi ^{*}d{\overline {z}}$ gilt (mit ${}w=u+{\mathrm {i} }v$)

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(d{\overline {z}})&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}du+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}dv\\&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial w}}dw+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial {\overline {w}}}}d{\overline {w}}.\end{aligned}}$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}z^{2}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ bezüglich des Weges

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto 2t^{2}-{\mathrm {i} }t.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die durch

$f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

Zeige, dass es zu jedem ${}\lambda ,\,-1\leq \lambda \leq 1$, eine Nullfolge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

${\frac {f(x_{n})-f(0)}{x_{n}}}$

gegen ${}\lambda$ konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Residuum für die rationale Funktion

${}f(z)={\frac {1}{z^{2}-z}}\,$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere eine „möglichst verrückte“ einfach zusammenhängende offene Teilmenge von ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom vom Grad ${}\geq 2$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ keine Überlagerung ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit ${}0\notin U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Es sei

${}L(\exp z)=z+b\,$

auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$ (mit einer Konstanten ${}b$). Zeige, dass

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,$

ist.

Aufgabe * (10 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f_{k}\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion ${}f$ kompakt konvergiert. Zeige, dass dann ${}f$ holomorph ist und dass die Folge der Ableitungsfunktionen ${}f_{k}^{(n)}$ kompakt gegen ${}f^{(n)}$ konvergiert.