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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 10

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Übungsaufgaben

Wir betrachten den Ring der stetigen Funktionen von nach . Handelt es sich um einen Integritätsbereich?



Zeige, dass es im Ring der stetigen Funktionen Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.



Es seien

stetige Funktionen. Es sei mit und es gebe ein mit . Zeige, dass es ein derart gibt, dass die Einschränkung die Nullfunktion ist.



Zeige, dass es stetige Funktionen

mit derart gibt, dass für alle weder noch die Nullfunktion ist.



Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der stetigen Funktionen

die Teilmenge

ein Ideal in ist.



Wir betrachten das Ideal zu im Sinne von Aufgabe 10.5. Ist dies ein Hauptideal?



Es sei der Ring der stetigen Funktionen von nach . Entscheide, ob die folgenden Teilmengen von einen Unterring bilden.

  1. Die Menge der stetigen - periodischen Funktionen.
  2. Die Menge der stetigen geraden Funktionen.
  3. Die Menge der stetigen ungeraden Funktionen.



Es sei eine Teilmenge von und der Ring der stetigen Funktionen von nach . Dann ist durch

ein Ringhomomorphismus gegeben.

  1. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn abgeschlossen ist.
  2. Für welche Mengen ist injektiv?



Es sei ein metrischer Raum (oder topologischer Raum oder eine Teilmenge von oder von ). Wir betrachten zu einer offenen Teilmenge den kommutativen Ring

(man kann auch statt nehmen, oder, falls offen ist, auch differenzierbare Funktionen). Zu einem Punkt sei

wobei zwei Funktionen miteinander identifiziert werden, wenn sie auf einer offenen Umgebung von übereinstimmen.

  1. Zeige, dass ein kommutativer Ring ist (dieser Ring heißt Ring der Keime stetiger Funktionen).
  2. Zeige, dass ein lokaler Ring.



Es sei der Ring der Keime stetiger Funktionen in Punkt . Zeige, dass in das maximale Ideal nicht von (also der Identität) erzeugt wird.



Es sei ein Punkt und sei die Menge aller Keime von analytischen Funktionen

die in einer offenen Umgebung von definiert sind (siehe Aufgabe 10.9). Zeige, dass mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen übereinstimmt.



Es seien und topologische Räume und sei eine stetige Abbildung. Es sei und . Zu jeder stetigen Funktion zu offen gehört die stetige Funktion

Zeige, dass durch diese Zuordnung ein Ringhomomorphismus

zwischen den Ringen der Keime stetiger Funktionen festgelegt ist.



Bestimme zur Funktion

die Potenzreihenentwicklung für jeden Entwicklungspunkt über die Taylorentwicklung.



Zeige, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe im Entwicklungspunkt zur Funktion

gleich ist (siehe Aufgabe 10.13).



Es sei eine konvergente Potenzreihe. Zeige, dass die Ordnung von als konvergente Potenzreihe mit der Ordnung als formale Potenzreihe übereinstimmt.



Es sei

eine konvergente Potenzreihe und es sei . Zeige, dass es ein mit gibt.





Zeige Lemma 10.2 mit Satz 10.7 unter Verwendung der geometrischen Reihe.



Es sei eine formale Potenzreihe über und seien Potenzreihen mit der Eigenschaft, dass die Koeffizienten bis zu von und von übereinstimmen. Für eine positive reelle Zahl gelte für alle . Zeige, dass dann auch gilt.



Es sei der Ring aller konvergenten Potenzreihen, deren Konvergenzradius zumindest ist.

  1. Zeige, dass die analoge Aussage zu Lemma 10.2 in nicht gilt.
  2. Zeige, dass ein Integritätsbereich ist.
  3. Zeige, dass kein lokaler Ring ist.



Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des Sinus im Punkt mit dem in Satz 9.19 beschriebenen Potenzreihenansatz.



Es sei

Wegen

ist diese Funktion auf dem offen Intervall streng fallend und damit injektiv (mit dem Bildintervall ). Dabei ist . Es sei

die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung

die Koeffizienten .



  1. Bestimme die Taylorreihe zur Funktion

    im Entwicklungspunkt .

  2. Es sei

    und es sei

    die Taylorreihe zu im Entwicklungspunkt . Bestimme die Koeffizienten aus der Gleichung



Es sei

eine formale Potenzreihe mit . Berechne und in der Rekursion mit .



Es sei ein Gebiet und seien komplex-analytische Funktionen. Es gebe eine Folge in mit einem Häufungspunkt , der von allen verschieden sei. Es gelte für alle . Zeige, dass gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Bestimme für die rationale Funktion die Potenzreihenentwicklung im Entwicklungspunkt durch

  1. Partialbruchzerlegung und geometrische Reihe.
  2. Taylorentwicklung.



Aufgabe (7 (2+1+1+1+2) Punkte)

Zeige, dass die - Norm von komplexen Potenzreihen die folgende Eigenschaften erfüllt. (dabei seien Potenzreihen mit Entwicklungspunkt und ).

  1. Für den Konvergenzradius von gilt
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist
  4. Für ist
  5. Es ist



Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es formale Potenzreihen gibt, die beide nicht konvergent sind, aber so, dass ihr Produkt konvergent ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine konvergente Potenzreihe über mit . Zeige, dass durch durch die Einsetzung ein Ringhomomorphismus

gegeben ist. Wann ist dieser injektiv? Wann ist dieser surjektiv? Was passiert mit der Ordnung unter dieser Abbildung?



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung des natürlichen Logarithmus im Entwicklungspunkt mit dem in Satz 9.19 beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.




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