Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 10

Übungsaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten den Ring  ${}R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$  der stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Handelt es sich um einen Integritätsbereich?

Aufgabe

Zeige, dass es im Ring der stetigen Funktionen  ${}R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$  Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

stetige Funktionen. Es sei  ${}a\in \mathbb {R}$  mit  ${}f(a)\neq 0$  und es gebe ein  ${}\epsilon >0$  mit  ${}(fg){|}_{[a-\epsilon ,a+\epsilon ]}=0$.  Zeige, dass es ein  ${}\delta >0$  derart gibt, dass die Einschränkung ${}g{|}_{[a-\delta ,a+\delta ]}$ die Nullfunktion ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es stetige Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

mit  ${}fg=0$  derart gibt, dass für alle  ${}\delta >0$  weder ${}f{|}_{[0,\delta ]}$ noch ${}g{|}_{[0,\delta ]}$ die Nullfunktion ist.

Aufgabe

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R}$  eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der stetigen Funktionen

${}R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\,$

die Teilmenge

${}I={\left\{f\in R\mid f(x)=0{\text{ für alle }}x\in T\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten das Ideal zu  ${}T=\{0\}\subseteq \mathbb {R}$  im Sinne von Aufgabe 10.5. Ist dies ein Hauptideal?

Aufgabe

Es sei  ${}C=\operatorname {C} ^{0}\,(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$  der Ring der stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Entscheide, ob die folgenden Teilmengen von ${}C$ einen Unterring bilden.

1. Die Menge der stetigen ${}2\pi$- periodischen Funktionen.
2. Die Menge der stetigen geraden Funktionen.
3. Die Menge der stetigen ungeraden Funktionen.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ und ${}C(X,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen von ${}X$ nach ${}\mathbb {R}$. Dann ist durch

$\varphi \colon C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow C(X,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\vert _{X},$

ein Ringhomomorphismus gegeben.

1. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}X$ abgeschlossen ist.
2. Für welche Mengen ${}X$ ist ${}\varphi$ injektiv?

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein metrischer Raum (oder topologischer Raum oder eine Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ oder von ${}{\mathbb {C} }$). Wir betrachten zu einer offenen Teilmenge  ${}U\subseteq X$  den kommutativen Ring

${}C(U)={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,$

(man kann auch ${}{\mathbb {C} }$ statt ${}\mathbb {R}$ nehmen, oder, falls  ${}X\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$  offen ist, auch differenzierbare Funktionen). Zu einem Punkt  ${}P\in X$  sei

${}C_{P}={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}},\,P\in U{\text{ offene Umgebung}}\right\}}\,$

wobei zwei Funktionen ${}f,g$ miteinander identifiziert werden, wenn sie auf einer offenen Umgebung von ${}P$ übereinstimmen.

1. Zeige, dass ${}C_{P}$ ein kommutativer Ring ist (dieser Ring heißt Ring der Keime stetiger Funktionen).
2. Zeige, dass ${}C_{P}$ ein lokaler Ring.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ der Ring der Keime stetiger Funktionen in Punkt  ${}0\in \mathbb {R}$.  Zeige, dass in ${}R$ das maximale Ideal nicht von ${}X$ (also der Identität) erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei  ${}P\in {\mathbb {C} }$  ein Punkt und sei ${}R$ die Menge aller Keime von analytischen Funktionen

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },$

die in einer offenen Umgebung ${}U$ von ${}P$ definiert sind (siehe Aufgabe 10.9). Zeige, dass ${}R$ mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen ${}{\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Es sei  ${}P\in X$  und  ${}Q=\varphi (P)=Y$.  Zu jeder stetigen Funktion ${}V\rightarrow {\mathbb {K} }$ zu  ${}Q\in V$  offen gehört die stetige Funktion

$f\circ \varphi \colon \varphi ^{-1}(V)\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Zeige, dass durch diese Zuordnung ein Ringhomomorphismus

$\varphi ^{*}\colon C_{Y,Q}\longrightarrow C_{X,P}$

zwischen den Ringen der Keime stetiger Funktionen festgelegt ist.

Aufgabe *

Bestimme zur Funktion

${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{-1},$

die Potenzreihenentwicklung für jeden Entwicklungspunkt  ${}c\neq 0$  über die Taylorentwicklung.

Aufgabe

Zeige, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe im Entwicklungspunkt  ${}c\neq 0$  zur Funktion

${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{-1},$

gleich ${}c$ ist (siehe Aufgabe 10.13).

Aufgabe

Es sei  ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }c_{n}T^{n}\in {\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle$  eine konvergente Potenzreihe. Zeige, dass die Ordnung von ${}F$ als konvergente Potenzreihe mit der Ordnung als formale Potenzreihe übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei

${}G={\sum }_{n=0}^{\infty }b_{n}T^{n}\,$

eine konvergente Potenzreihe und es sei  ${}R>0$.  Zeige, dass es ein  ${}t>0$  mit  ${}\Vert {G}\Vert _{t}<R$  gibt.

Aufgabe

Komplexe Potenzreihe/t-Norm/Limes/Aufgabe

Aufgabe

Zeige Lemma 10.2 mit Satz 10.7 unter Verwendung der geometrischen Reihe.

Aufgabe

Es sei  ${}F=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}T^{k}$  eine formale Potenzreihe über ${}{\mathbb {C} }$ und seien ${}F_{n}$ Potenzreihen mit der Eigenschaft, dass die Koeffizienten bis zu ${}T^{n}$ von ${}F_{n}$ und von ${}F$ übereinstimmen. Für eine positive reelle Zahl ${}t$ gelte  ${}\Vert {f_{n}}\Vert _{t}\leq M$  für alle ${}n$. Zeige, dass dann auch  ${}\Vert {f}\Vert _{t}\leq M$  gilt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ der Ring aller konvergenten Potenzreihen, deren Konvergenzradius zumindest ${}1$ ist.

1. Zeige, dass die analoge Aussage zu Lemma 10.2 in ${}R$ nicht gilt.
2. Zeige, dass ${}R$ ein Integritätsbereich ist.
3. Zeige, dass ${}R$ kein lokaler Ring ist.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des Sinus im Punkt ${}0$ mit dem in Satz 9.19 beschriebenen Potenzreihenansatz.

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)=-3x+x^{3}\,.$

Wegen

${}f'(x)=-3+3x^{2}\,$

ist diese Funktion auf dem offen Intervall ${}]-1,1[$ streng fallend und damit injektiv (mit dem Bildintervall ${}]-2,2[$). Dabei ist  ${}f(0)=0$.  Es sei

${}g(y)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}y^{k}\,$

die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung

${}(g(f(x))=x\,$

die Koeffizienten ${}b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$.

Aufgabe *

1. Bestimme die Taylorreihe zur Funktion

   ${}f(x)=x^{2}\,$

   im Entwicklungspunkt ${}1$.

2. Es sei

   ${}g(y)={\sqrt {y}}\,$

   und es sei

   ${}b_{0}+b_{1}(y-1)+b_{2}(y-1)^{2}+\ldots =\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(y-1)^{k}\,$

   die Taylorreihe zu ${}g$ im Entwicklungspunkt ${}1$. Bestimme die Koeffizienten ${}b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ aus der Gleichung

   ${}g(f(x))=x\,.$

Aufgabe *

Es sei

${}G=S+3S^{2}-2S^{3}=S+S^{2}(3-2S)=S+S^{2}H\in {\mathbb {C} }[\![S]\!]\,$

eine formale Potenzreihe mit  ${}H=3-2S$.  Berechne ${}F_{1}$ und ${}F_{2}$ in der Rekursion  ${}F_{n+1}=T-F_{n}^{2}\cdot H(F_{n})$  mit  ${}F_{0}=T$. 

Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet und seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ komplex-analytische Funktionen. Es gebe eine Folge ${}x_{n}$ in ${}U$ mit einem Häufungspunkt  ${}x\in U$,  der von allen ${}x_{n}$ verschieden sei. Es gelte  ${}f(x_{n})=g(x_{n})$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$.  Zeige, dass  ${}f=g$  gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Bestimme für die rationale Funktion ${}{\frac {1}{z^{2}-1}}$ die Potenzreihenentwicklung im Entwicklungspunkt ${}0$ durch

1. Partialbruchzerlegung und geometrische Reihe.
2. Taylorentwicklung.

Aufgabe (7 (2+1+1+1+2) Punkte)

Zeige, dass die ${}t$- Norm von komplexen Potenzreihen die folgende Eigenschaften erfüllt. (dabei seien ${}F,G$ Potenzreihen mit Entwicklungspunkt ${}0$ und ${}t\in \mathbb {R} _{+}$).

1. Für den Konvergenzradius ${}R$ von ${}F$ gilt

   ${}R=\operatorname {sup} (t,\Vert {F}\Vert _{t}<\infty )\,.$

2. Es ist  ${}\Vert {F}\Vert _{t}=0$  genau dann, wenn  ${}F=0$  ist.
3. Es ist

   ${}\Vert {F+G}\Vert _{t}\leq \Vert {F}\Vert _{t}+\Vert {G}\Vert _{t}\,.$

4. Für  ${}w\in {\mathbb {C} }$  ist

   ${}\Vert {wF}\Vert _{t}=\vert {w}\vert \cdot \Vert {F}\Vert _{t}\,.$

5. Es ist

   ${}\Vert {F\cdot G}\Vert _{t}\leq \Vert {F}\Vert _{t}\cdot \Vert {G}\Vert _{t}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es formale Potenzreihen  ${}F,G\in {\mathbb {C} }[\![T]\!]$  gibt, die beide nicht konvergent sind, aber so, dass ihr Produkt ${}FG$ konvergent ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}$  eine konvergente Potenzreihe über ${}{\mathbb {C} }$ mit  ${}b_{0}=0$.  Zeige, dass durch durch die Einsetzung ${}F\mapsto F(G)$ ein Ringhomomorphismus

${\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle \longrightarrow {\mathbb {C} }\langle \!\langle S\rangle \!\rangle$

gegeben ist. Wann ist dieser injektiv? Wann ist dieser surjektiv? Was passiert mit der Ordnung unter dieser Abbildung?

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung des natürlichen Logarithmus im Entwicklungspunkt ${}1$ mit dem in Satz 9.19 beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.