Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/19/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 2 2 2 3 1 5 6 8 4 7 4 5 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Erzeugendensystem des .
  2. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  3. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  4. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  5. Die Zahl .
  6. Der Produktraum der diskreten Wahrscheinlichkeitsräume .


Lösung

  1. Die Vektoren im heißen ein Erzeugendensystem des , wenn man jeden Vektor als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann.
  2. Eine Teilmenge heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus aus dieser Klasse gibt.
  3. Die Abbildung

    heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

    1. .
  4. Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  5. Unter der Zahl versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.
  6. Es seien die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten auf den . Dann nennt man die Produktmenge zusammen mit der durch

    gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung .
  2. Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
  3. Der Satz über die Homomorphismuseigenschaft der reellen Exponentialfunktionen.


Lösung

  1. Durch die Festlegung

    wenn

    wird eine Äquivalenzrelation auf definiert.
  2. Sei die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl . Sei eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ein Vielfaches von sind. Dann gibt es keine rationale Zahl mit der Eigenschaft
    d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt keine -te Wurzel.
  3. Es sei eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
    ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.


Aufgabe (5 (3+1+1) Punkte)

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür €. Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür €. Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro.

  1. Kann man daraus die Preise rekonstruieren?
  2. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind?
  3. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind?


Lösung

  1. Es sei der Preis für den Schokoriegel, der Preis für die Packung Brausepulver, der Preis für eine saure Zunge. Die drei Einkäufe führen zu den drei Gleichungen

    Die Gleichung ergibt

    Dies stimmt mit der dritten Gleichung überein, daher ist das Gleichungssystem äquivalent zum System

    mit zwei Gleichungen. Dabei führt jede Vorgabe von zu einer Lösung und die Preise sind nicht ermittelbar.

  2. Es gibt die Lösungen (in Cent) und , die Lösungen sind also auch unter der zusätzlichen Bedingung nicht eindeutig.
  3. Bei haben wir die Lösung . Bei ist

    also kein Vielfaches der . Bei ist

    und die zweite Gleichung kann nicht unter der gegebenen Nebenbedingung erfüllt werden. Es gibt also nur eine Lösung.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix von

die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.


Lösung

Die inverse Matrix ist


Aufgabe (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Europäische Wasserscheiden.png

Wir nennen zwei Flüsse in Europa äquivalent, wenn sie letztlich in das gleiche Meer entwässern, wobei wir die Einteilungen der Karte übernehmen.

  1. Wie viele Äquialenzklassen gibt es?
  2. Ist der Rhein zur Donau äquivalent?
  3. Ist die Hase zur Themse äquivalent?
  4. Man gebe zwei Repräsentanten für die Äquivalenzklasse Ostsee an.


Lösung

  1. Es gibt Äquivalenzklassen gemäß der Karte: Atlantik, Nordee, Ostsee, Polarmeer, Mittelmeer, Adria, Schwarzes Meer, Kaspisches Meer.
  2. Donau und Rhein sind nicht äquivalent, da die Donau in das Schwarze Meer und der Rhein in die Nordsee fließt.
  3. Themse und Hase sind äquivalent, da sie beide (die Hase über die Ems) in die Nordsee fließen.
  4. Oder und Weichsel sind Repräsentanten für Flüsse, die in die Ostsee fließen.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Lösung

Sei

Wegen . ist . Seien . Das bedeutet und . Dann ist

und daher .

Sei nun und beliebig. Dann ist

also ist .


Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage, dass eine Folge in einem angeordneten Körper gegen konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.


Lösung

Es gibt ein mit der Eigenschaft, dass es für alle ein

derart gibt, dass

ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper und sei ein Element mit . Es gebe ein derart, dass

gelte für alle . Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.


Lösung

Die Eigenschaft, eine Cauchy-Folge zu sein, ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder der Folge abändert. Wir können also annehmen, dass

für alle gilt. Für gilt

Der rechte Faktor ist dabei (endliche geometrische Reihe) gleich . Wegen ist der Nenner wohldefiniert und ist , also kann man diesen Faktor nach oben durch abschätzen. Insgesamt haben wir also

Nach Aufgabe 28.30 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) ist eine Nullfolge und dies gilt auch für , da man ja mit einer festen Zahl multipliziert. Zum Nachweis, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, sei ein gegeben. Dann gibt es ein mit für und somit gilt für alle die Abschätzung


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck (analog zum Pascalschen Dreieck) führt. In der ersten Zeile steht zentral die , links und rechts davon stehen unendlich viele (die nicht aufgeführt werden müssen). Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das geometrische Mittel nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert.

  1. Bestimme die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als sind.
  2. Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum?


Lösung

  1. Es ergibt sich das folgende Schema.

    Wegen

    sind wir fertig.

  2. In jeder Zeile ist das Produkt über alle Zahlen gleich . Dies beweist man durch Induktion über den Zeilenindex. In der Startzeile ist das richtig (die nicht hingeschriebenen Zahlen sind ). Sei also das Produkt der Zahlen in einer Zeile gleich . Jede Zahl dieser Zeile geht zweifach in die folgende Zeile ein, einmal als Beitrag zum geometrischen Mittel mit der linken Zahl und einmal als Beitrag zum geometrischen Mittel mit der rechten Zahl. Dabei geht wegen jeweils die Quadratwurzel ein. Das Gesamtprodukt bleibt dabei erhalten.


Aufgabe (10 (1+1+5+2+1) Punkte)

Es sei die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge oder besitzt (Periodenlänge bedeutet Dezimalbruch).

  1. Gehört zu ?
  2. Gehört zu ?
  3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch an, ob er zu gehört oder nicht?
  4. Ist mit der Addition eine Untergruppe von ?
  5. Ist mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ?


Lösung

  1. Es ist

    die Periodenlänge ist also und somit gehört nicht zu .

  2. Es ist

    die Periodenlänge ist also und somit gehört zu .

  3. Ein gekürzter Bruch gehört genau dann zu , wenn die Primfaktorzerlegung

    mit und besitzt. Sei dazu . Wenn die Periodenlänge besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn die Periodenlänge besitzt, was den Fall miteinschließt, dass minimale Periodenlänge vorliegt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form

    vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal im Nenner geschrieben werden. Das Element erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung.

    Sei umgekehrt ein Bruch der Form

    mit und gegeben, wobei in die Primfaktoren und nicht mehr vorkommen. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche

    besitzen die Periodenlänge oder .

  4. Die Null (Periodenlänge null) gehört zu und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus kann man nach Teil (3) als (nicht unbedingt gekürzt) und schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir annehmen. Daher ist

    und dies gehört wieder zu . Somit handelt es sich um eine Untergruppe von .

  5. Es liegt kein Unterring vor, da und beide zu gehören, ihr Produkt, also , hat aber nicht die angegebene Bruchdarstellung und gehört nicht zu . ( besitzt die Periodenlänge ).


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Lösung

Es sei beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem sei derart, dass

Für ist dann

da ja ist. Es sei der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre für ein , so wäre

(oder ), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen würden dann auch die Folgenglieder für hinreichend groß echt unterhalb von und damit von liegen, im Widerspruch zu . Also ist . Würden zwei Zahlen zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

für alle im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen konvergieren.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von im Punkt und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen konvergente Folge die Bildfolge gegen konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

Sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

ist. Dazu sei vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Nach der Wahl von ist dann

so dass die Bildfolge gegen konvergiert.
Sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein derart, dass es für alle Elemente gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche , . D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein mit

Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenglieder zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

  1. Skizziere die Graphen der Funktionen

    und

  2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.


Lösung

  1. Die Schnittbedingung führt auf

    bzw. auf

    Quadratisches Ergänzen führt auf

    also

    Somit ist

    die -Koordinate des einzigen Schnittpunktes (die negative Wurzel führt zu einem Punkt außerhalb des Definitionsbereiches). Der einzige Schnittpunkt ist


Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Gabi Hochster möchte heute abend mit einem Jungen ihrer Klasse ins Kino. Erfahrungsgemäß sagt ein Junge, den sie fragt, mit Wahrscheinlichkeit zu und mit Wahrscheinlichkeit ab. Einerseits möchte sie eine Begleitung haben, andererseits möchte sie auch ungern bei vielen selbst absagen, falls zu viele zusagen. Deshalb fragt sie Jungs.

  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass alle absagen (als Bruch und als Prozentangabe).
  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer zusagt.
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens einem Jungen absagen muss.


Lösung

  1. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle absagen, beträgt

    In Prozent sind das .

  2. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer zusagt, beträgt
  3. Sie muss genau dann mindestens einmal absagen, wenn zumindest zwei Jungs zusagen. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Jungs zusagen, ist komplementär zu dem Ereignis, dass keiner oder genau einer zusagt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

    die Wahrscheinlichkeit, dass sie also mindestens einmal absagen muss, ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Teilmenge eines endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes mit positiver Wahrscheinlichkeit. Es sei ein weiteres Ereignis und es gelte

Zeige, dass dann

gilt.


Lösung

Die Voraussetzung bedeutet

bzw.

Wir multiplizieren diese Abschätzung mit und erhalten

Durch Addition mit ergibt sich

Auf der rechten Seite ist

Wegen ist

auf der rechten Seite steht also . Deshalb liegt die Abschätzung

vor. Dies bedeutet