Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/20/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 6 5 4 1 2 1 3 3 7 3 7 2 7 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .
  2. Elementare Zeilenumformungen an einer -Matrix über einem Körper .
  3. Eine Teilfolge einer Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Die Eulersche Zahl.
  5. Eine rationale Funktion über einem Körper .
  6. Ein Ereignis in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum .


Lösung

  1. Das System
    heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die und die aus sind.
  2. Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
    1. Vertauschung von zwei Zeilen.
    2. Multiplikation einer Zeile mit .
    3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
  3. Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.

  4. Die Eulersche Zahl ist durch

    definiert.

  5. Zu zwei Polynomen , , heißt die Funktion

    wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.

  6. Jede Teilmenge heißt ein Ereignis.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen
  2. Der Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.
  3. Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und . Es seien , , Elemente in . Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

    mit

    wobei den -ten Standardvektor bezeichnet.
  2. Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine Cauchy-Folge in . Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.
    1. Die Folge ist eine Nullfolge.
    2. Es gibt eine positive Zahl derart, dass ab einem gewissen die Abschätzung

      für alle gilt.

    3. Es gibt eine positive Zahl derart, dass ab einem gewissen die Abschätzung

      für alle gilt.

    1. Es ist für alle .
    2. Es ist für alle .
    3. Es ist , , , und .


Aufgabe (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem


Lösung

Wir addieren zur ersten Gleichung das -fache der zweiten Gleichung und erhalten

bzw.

Daher ist


Aufgabe (6 (1+1+4) Punkte)

  1. Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt.
  2. Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt.
  3. Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen.


Lösung

  1. 4Geraden3Schnittpunkte.png

  2. Es sei angenommen, dass es eine solche Geradenkonfiguration gibt. Wir behandeln die beiden Fälle, dass die beiden Schnittpunkte auf einer der Geraden liegen oder nicht. Im ersten Fall müssen die Geraden, die mit die Schnittpunkte definieren, zueinander parallel sein. Die vierte Gerade kann weder zu noch zu den beiden anderen Geraden parallel sein, sonst würde es neue Schnittpunkte geben. Damit schneidet die vierte Gerade die ersten drei Geraden, und dabei kann zwar ein Schnittpunkt mit den beiden Schnittpunkten zusammenfallen, aber nicht mit beiden. Im zweiten Fall gibt es zwei Geradenpaare, die jeweils die beiden Schnittpunkte definieren. Doch dann trifft jede Gerade zumindest eine Gerade des anderen Geradenpaares in einem neuen Schnittpunkt, da sie nicht zu beiden parallel sein kann und nicht durch deren Schnittpunkt verläuft (sonst wären wir im ersten Fall).


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist .
  2. Für jede Linearkombination in gilt


Lösung

  1. Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist

    Addition mit dem negativen Element zu , also mit , ergibt

  2. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für

    ist dies einfach die Verträglichkeit einer linearen Abbildung mit der Skalarmultiplikation. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Verträglichkeit mit Addition und Skalarmultiplikation ist


Aufgabe (4 (0.5+0.5+1+1+1) Punkte)

Arctic food web.svg

Wir betrachten die Relation im nebenstehenden Diagramm, wobei eine Pfeil bedeutet, dass von gefressen wird.

  1. Was frisst ein Polarbear?
  2. Von wem wird ein Capelin gefressen?
  3. Welche Tiere stehen an der Spitze der Nahrungskette?
  4. Ist die Relation transitiv?
  5. Ist die Relation antisymmetrisch?


Lösung

  1. Ein Polarbear frisst Arctic cod, Ringed seal und Harbour seal.
  2. Capelin wird von Harbour seal und Harp seal gefressen.
  3. Polar bear, Killer whale und Arctic birds stehen an der Spitze der Nahrungskette, da von ihnen kein Pfeil ausgeht.
  4. Die Relation ist nicht transitiv, da beispielsweise ein Pfeil von Arctic cod nach Ringed seal und ein Pfeil von Ringed seal nach Killer whale geht, aber kein direkter Pfeil von Arctic cod nach Killer whale.
  5. Die Relation ist antisymmetrisch, da die Voraussetzung, dass zwei Objekte durch Pfeil und gegenläufigen Pfeil verbunden sind, überhaupt nicht vorkommt, und damit die in der Antisymmetrie geforderte Implikation automatisch erfüllt ist, da der Vordersatz stets falsch ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

rational ist oder nicht.


Lösung

Es ist

nicht rational nach Satz 42.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)).


Aufgabe (2 Punkte)

Lucy Sonnenschein möchte wissen, ob sie von ihrem Bauchnabel im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt wird. Sie selbst ist Meter groß und ihr Bauchnabel befindet sich auf Meter Höhe. Liegt das Verhältnis unterhalb oder oberhalb des goldenen Schnittes, der ist?


Lösung

Es ist

Die Frage ist also, ob gilt. Dies ist äquivalent zu

und somit zu

was der Fall ist. Ihr Bauchnabelverhältnis liegt also leicht unterhalb des goldenen Schnittes.


Aufgabe (1 Punkt)

Betrachte die folgenden Aussagen.

  1. In den ganzen Zahlen besitzt nicht nur jede natürliche Zahl ein Negatives, sondern jede ganze Zahl besitzt darin ein Negatives.
  2. In den rationalen Zahlen besitzt nicht nur jede von verschiedene ganze Zahl ein (multiplikativ) Inverses, sondern jede von verschiedene rationale Zahl besitzt darin ein Inverses.

Formuliere eine entsprechende Aussage für den Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen.


Lösung

In den reellen Zahlen besitzt nicht nur jede rationale Cauchy-Folge einen Grenzwert, sondern jede reelle Cauchy-Folge besitzt darin einen Grenzwert.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Es seien bzw. die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu

ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Sei

Dann gilt für alle (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die Nachkommastelle in der (kanonischen) Dezimalentwicklung eine ist. Welche Eigenschaften eines Ideals erfüllt diese Menge, welche nicht?


Lösung

  1. Die gehört dazu, da die Dezimalentwicklung der an jeder Stelle eine besitzt.
  2. Die Additivitätseigenschaft ist nicht erfüllt, wir betrachten den Dezimalbruch mit siebzehn Nachkommanullen, die achtzehnte Nachkommaziffer ist eine . Diese Zahl gehört zu , wenn man sie aber mit sich selbst addiert, so erhält man an der siebzehnten Nachkommastelle eine , so dass die Summe aus zwei Elementen aus nicht zu gehören muss.
  3. Die Zahl aus Teil (2) gehört zu , aber gehört nicht zu . Das bedeutet, dass nicht unter der Multiplikation mit beliebigen reellen Zahlen abgeschlossen ist.


Aufgabe (7 (2+3+2) Punkte)

Sei ein angeordneter Körper und sei die Menge aller Intervallschachtelungen auf . Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen und zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem gibt es ein mit und zu jedem gibt es ein mit .

  1. Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine Äquivalenzrelation auf ist.
  2. Sei . Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren.
  3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren.


Lösung

  1. Die Reflexivität (man nehme ) und die Symmetrie sind klar. Zum Nachweis der Transitivität seien , und Intervallschachtelungen, wobei die beiden vorderen und die beiden hinteren zueinander verfeinerungsäquivalent seien. Es ist zu zeigen, dass auch zu verfeinerungsäquivalent ist. Sei dazu ein gegeben. Nach Voraussetzung gibt es ein mit . Dazu gibt es wiederum ein mit , also insgesamt . Die umgekehrte Bedingung an die Verfeinerungsäquivalenz wird genauso bewiesen.
  2. Es sei die durch die Intervallschachtelung festgelegte reelle Zahl, also

    Es sei eine zu verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelung und ein Intervall daraus. Nach Voraussetzung gibt es ein mit und daher ist

    da es ja zu allen gehört. Also ist auch die von festgelegte Zahl.

  3. Wir betrachten die beiden Intervallschachtelungen

    und

    (für seien die Intervalle beispielsweise durch definiert). Beide Intervallschachtelungen legen die fest. Sie sind aber nicht verfeinerungsäquivalent, da

    für alle gilt.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

  1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

    mit , für die die einzige Lösung ist.

  2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

    mit , für die eine Lösung ist.


Lösung

Für jede ganze Zahl ist generell

Dies führt zu einer quadratischen Gleichung mit und . Wenn man darin gleich setzt, ergibt sich wegen dem ersten Faktor. Somit sind unendlich viele quadratische Gleichungen mit Koeffizienten aus gefunden, die als Lösung besitzen. Wenn man

setzt, so erhält man die quadratische Gleichung

Für diese ist nur eine Lösung.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Lösung

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von . Wenn der Grad von größer als der Grad von ist, so ist und eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ist nach der Vorbemerkung auch , also ist ein konstantes Polynom, und damit ist (da und ein Körper ist) und eine Lösung. Sei nun und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben und mit . Dann gilt mit die Beziehung

Dieses Polynom hat einen Grad kleiner als und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt und mit

Daraus ergibt sich insgesamt

so dass also und eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist . Da die Differenz einen Grad kleiner als besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei und lösbar.


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum mit der Laplace-Dichte. Es sei das Ereignis, dass eine Zahl aus ein Vielfaches der ist, und das Ereignis, dass eine Zahl aus ein Vielfaches der ist. Sind und unabhängig?


Lösung

Da und teilerfremd sind, ist

die kleinste positive Zahl, die sowohl ein Vielfaches von als auch von ist. Da auch die nicht zu gehört, gibt es in kein gemeinsames Vielfaches von und . Daher ist

und hat die Wahrscheinlichkeit . Da die beiden Ereignisse positive Wahrscheinlichkeit haben, kann keine Unabhängigkeit vorliegen.


Aufgabe (8 (3+3+2) Punkte)

Es sei ein Kreis mit fünf (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich .

  1. Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt.
  2. Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt.
  3. Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist.


Lösung

Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man ausgehend von einem Punkt zu einem weiteren Punkt gelangt, hängen nur von der relativen Position ab. Wir betrachten daher stets als Startpunkt. Die Zahlen seien im Uhrzeigersinn angeordnet.

  1. Die einzige Möglichkeit, bei einer zweifachen Durchführung von nach zu gelangen, ist zweimal den Schritt mit dem Uhrzeigersinn zu machen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

    Dies ist auch die Wahrscheinlichkeit, um nach zu gelangen.

    Um von nach zu kommen, kann man zuerst stehenbleiben und dann mit dem Uhrzeigersinn springen oder zuerst springen und dann stehenbleiben. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

    Dies ist auch die Wahrscheinlichkeit, um mit zwei Sprüngen nach zu gelangen.

    Um insgesamt stehen zu bleiben, kann man entweder zweimal stehenbleiben, oder einmal mit dem Uhrzeigersinn springen und dann zurück, oder umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

  2. Wir berechnen diese Wahrscheinlichkeiten, die wir nennen, unter Bezug auf die (in Teil (2) berechneten) Wahrscheinlichkeiten , dass man nach zwei Sprüngen an den verschiedenen Punkten ist, und den Wahrscheinlichkeiten, dass man mit dem dritten Sprung von nach kommt. Es ist

    Ferner ist

    Ferner ist

  3. Unter Bezug auf das Ergebnis von Teil (2) ist die Wahrscheinlichkeit gleich


Aufgabe (5 Punkte)

Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der Addition und der Multiplikation? Betrachte dazu die verschiedenen Zahlenbereiche .


Lösung Addition und Multiplikation/Zahlenbereiche/Aufgabe/Lösung