Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	3	1	7	3	3	2	2	4	3	3	3	3	4	3	4	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$ .
Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$ .
Ein Ringhomomorphismus
$\varphi \colon R\longrightarrow S$

zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$ .
Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$ .
Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ .
Die Eulersche Zahl.

Lösung

Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus ${}T$ aus dieser Klasse gibt.
Man nennt
${}M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$

die Quotientenmenge von ${}\sim$ .
Die Abbildung
$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
2. ${}\varphi (1)=1$
3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$ .
Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$ , ${}\epsilon >0$ , gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung
${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.
Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon \in K$ , ${}\epsilon >0$ , gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung
${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.
Die Eulersche Zahl ist durch
${}e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

definiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe ${}G$ .
Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$ .
Der Satz über die Intervallschachtelung.

Lösung

Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe und ${}G/H$ die Quotientenmenge zur durch ${}H$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}G$ mit der kanonischen Projektion
$q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].$
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf ${}G/H$ derart, dass ${}q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$ . Es gelte
$x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$ . Dann konvergiert auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ .
Es sei ${}I_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ . Dann besteht der Durchschnitt
$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen und sei

f\colon M\longrightarrow N

eine surjektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

s\colon N\longrightarrow M

mit

{}f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,

gibt es?

Lösung

Die Elemente aus ${}N$ seien mit ${}1,2,\ldots ,n$ bezeichnet. Zu jedem ${}i\in N$ sei

{}M_{i}={\left\{x\in M\mid f(x)=i\right\}}\,

und

{}m_{i}={\#\left(M_{i}\right)}={\#\left({\left\{x\in M\mid f(x)=i\right\}}\right)}\,

die Anzahl der Elemente aus ${}M$ , die auf ${}i$ abgebildet werden. Wegen der Surjektivität ist stets ${}m_{i}\geq 1$ . Da

{}f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,

gelten soll, muss ${}s(i)\in M_{i}$ für jedes ${}i$ gelten. Somit gibt es

m_{1}\cdot m_{2}\cdots m_{n}

Möglichkeiten für solche Abbildungen.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die auf ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$ durch

(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,

festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Lösung

Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien ${}(a,b)\sim (c,d)$ und ${}(c,d)\sim (e,f)$ . Dies bedeutet ${}ad=bc$ bzw. ${}cf=ed$ . Somit ist

{}adf=bcf=bde\,.

Wegen ${}d\neq 0$ ergibt die Kürzungsregel in ${}\mathbb {Z}$ die Gleichheit

{}af=eb\,,

also ${}(a,b)\sim (e,f)$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}.

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${}\varphi$ , welche nicht?

Lösung

Es ist

{}\varphi (a+b)={\begin{pmatrix}a+b&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b&0\\0&0\end{pmatrix}}=\varphi (a)+\varphi (b)\,,

die Abbildung ist also mit der Addition verträglich.

Es ist

{}\varphi (a\cdot b)={\begin{pmatrix}a\cdot b&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b&0\\0&0\end{pmatrix}}=\varphi (a)\cdot \varphi (b)\,,

die Abbildung ist also mit der Multiplikation verträglich.

Es ist

{}\varphi (1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,

die Abbildung bildet also nicht die ${}1$ auf die ${}1$ ab. Insgesamt liegt kein Ringhomomorphismus vor.

Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(5)$ .

Lösung

${}\cdot$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$
${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$
${}1$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$
${}2$	${}0$	${}2$	${}4$	${}1$	${}3$
${}3$	${}0$	${}3$	${}1$	${}4$	${}2$
${}4$	${}0$	${}4$	${}3$	${}2$	${}1$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(n)$ .

Lösung

Bei ${}n=0$ ist der Restklassenring gleich ${}\mathbb {Z}$ selbst und kein Körper. Bei ${}n=1$ besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist ${}{\overline {0}}\,={\overline {1}}\,$ . Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und ${}1$ ist keine Primzahl. Sei also von nun an ${}n\geq 2$ . Wenn ${}n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung

{}n=rs\,

mit kleineren Zahlen

{}1<r,s<n\,.

Im Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ bedeutet dies, dass die Restklassen ${}{\overline {r}}\,$ und ${}{\overline {s}}\,$ nicht ${}0$ sind, dass aber ihr Produkt

{}{\overline {r}}\,{\overline {s}}\,={\overline {rs}}\,={\overline {n}}\,=0\,

ist. Das kann nach Lemma 23.12 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) in einem Körper nicht sein.

Sei nun ${}n$ eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von ${}0$ verschiedene Restklasse ${}{\overline {r}}\,$ , ${}0<r<n$ , ein inverses Element besitzt. Da ${}n$ prim ist, sind ${}r$ und ${}n$ teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen ${}a,b$ mit

{}ar+bn=1\,.

Dies führt im Restklassenring zur Identität

{}{\begin{aligned}{\overline {1}}\,&={\overline {ar+bn}}\,\\&={\overline {a}}\,{\overline {r}}\,+{\overline {b}}\,{\overline {n}}\,\\&={\overline {a}}\,{\overline {r}}\,,\end{aligned}}

die besagt, dass ${}{\overline {r}}\,$ und ${}{\overline {a}}\,$ invers zueinander sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {44}}$ in ${}\mathbb {Z} /(97)$ .

Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

{}97=2\cdot 44+9\,,

{}44=4\cdot 9+8\,,

{}9=1\cdot 8+1\,.

Somit ist

{}{\begin{aligned}1&=9-1\cdot 8\\&=9-1\cdot (44-4\cdot 9)\\&=5\cdot 9-1\cdot 44\\&=5\cdot (97-2\cdot 44)-1\cdot 44\\&=5\cdot 97-11\cdot 44.\end{aligned}}

Daher ist

{}-11=86\,

das inverse Element zu ${}44$ in ${}\mathbb {Z} /(97)$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$ .

{}{\begin{pmatrix}3&6\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}\,.

Lösung

Das inverse Element zu ${}3$ in ${}\mathbb {Z} /(7)$ ist ${}5$ , somit ist in ${}II'=II-2\cdot 5I=II+4I$ die Variable ${}x$ eliminiert. Dies ergibt

{}4y=1\,.

Somit ist

{}y=2\,

und aus

{}3x+6y=4\,

ergibt sich

{}3x=6\,

und somit

{}x=2\,.

Die einzige Lösung ist also ${}{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke

{\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{5}]{7}}

mit einer einzigen Wurzel aus.

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{5}]{7}}&=4^{\frac {1}{3}}\cdot 7^{\frac {1}{5}}\\&={\left(4^{5}\right)}^{\frac {1}{15}}\cdot {\left(7^{3}\right)}^{\frac {1}{15}}\\&=1024^{\frac {1}{15}}\cdot 343^{\frac {1}{15}}\\&=351232^{\frac {1}{15}}\\&={\sqrt[{15}]{351232}}.\end{aligned}}

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}.

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}&={\frac {1}{10}}-{\frac {4}{15}}{\sqrt {3}}-{\frac {3}{28}}{\sqrt {3}}+{\frac {2}{7}}\cdot {\sqrt {3}}^{2}\\&={\frac {1}{10}}+{\frac {6}{7}}-{\left({\frac {4}{15}}+{\frac {3}{28}}\right)}{\sqrt {3}}\\&={\frac {7+60}{70}}-{\frac {112+45}{420}}{\sqrt {3}}\\&={\frac {67}{70}}-{\frac {157}{420}}{\sqrt {3}}.\end{aligned}}

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a<b$ rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung

[0,1]\longrightarrow [a,b]

gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.

Lösung

Wir definieren die Abbildung ${}\varphi \colon K\rightarrow K$ durch

{}\varphi (x):={\left(b-a\right)}x+a\,.

Da es sich bis auf die Verschiebung um ${}a$ um eine lineare Funktion mit einem positiven Proportionalitätsfaktor handelt, ist sie nach Lemma 25.15 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) (1) streng wachsend und auch bijektiv. Es ist offenbar ${}\varphi (0)=a$ und ${}\varphi (1)=b$ . Somit ist

{}\varphi ([0,1])\subseteq [a,b]\,

und die Abbildung lässt sich auf die Intervalle zu einer bijektiven Abbildung einschränken. Für eine rationale Zahl ${}x={\frac {r}{s}}\in [0,1]$ ist

{}\varphi (x)=\varphi {\left({\frac {r}{s}}\right)}=(b-a){\frac {r}{s}}+a\,

wegen der Rationalität von ${}a$ und ${}b$ wieder rational.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${}b=7$ mit dem Startwert ${}x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${}{\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Lösung

Die Formel für ${}x_{n+1}$ lautet

{}x_{n+1}={\frac {1}{2}}{\left(x_{n}+{\frac {7}{x_{n}}}\right)}\,.

Daher ist

{}x_{1}={\frac {1}{2}}{\left(3+{\frac {7}{3}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {9+7}{3}}\right)}={\frac {16}{6}}={\frac {8}{3}}\,.

Somit ist

{}x_{2}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {7}{8/3}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {21}{8}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {64+63}{24}}={\frac {127}{48}}\,.

Schließlich ist

{}x_{3}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {127}{48}}+{\frac {7}{127/48}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {127}{48}}+{\frac {336}{127}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {16129+16128}{6096}}={\frac {32257}{12192}}\,.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}\in K_{+}$ . Es sei ${}u\in K_{+}$ , ${}d=c\cdot u^{2}$ , ${}y_{0}=ux_{0}$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {d}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}$ . Zeige

{}y_{n}=ux_{n}\,

für alle ${}n\in \mathbb {N}$ .

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$ , wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also

{}y_{n}=ux_{n}\,.

Dann ist

{}{\begin{aligned}y_{n+1}&={\frac {y_{n}+{\frac {d}{y_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+{\frac {u^{2}c}{ux_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+u\cdot {\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot {\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot x_{n+1}.\end{aligned}}

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

{}x_{n}={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}\,

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Für ${}n\geq 1$ kann man die Folge (durch Erweiterung mit ${}1/n^{4}$ ) als

{}x_{n}:={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}={\frac {7-2{\frac {1}{n^{2}}}+5{\frac {1}{n^{4}}}}{4-5{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{3}}}-6{\frac {1}{n^{4}}}}}\,

schreiben. Folgen vom Typ ${}a/n,\,a/n^{2},\,a/n^{3}$ und ${}a/n^{4}$ sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen ${}7$ und der Nenner gegen ${}4$ , so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen ${}7/4\in \mathbb {Q}$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge in ${}K$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge in ${}K$ . Zeige, dass dann auch die Produktfolge ${}(x_{n}y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.

Lösung

Es sei ${}B>0$ eine Schranke für ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Da ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist, gibt es zu ${}{\frac {\epsilon }{B}}$ ein ${}n_{0}$ derart, dass für ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung ${}\vert {x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}$ gilt. Für diese Indizes ist dann auch

{}\vert {x_{n}y_{n}}\vert =\vert {x_{n}}\vert \cdot \vert {y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}\cdot B=\epsilon \,.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}K$ , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

Lösung

Es sei ${}x_{n_{i}}$ , ${}i\in \mathbb {N}$ , eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert ${}x$ . Wir behaupten, dass die Folge ebenfalls gegen ${}x$ konvergiert. Es sei dazu ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Teilfolge gibt es ein ${}i_{0}$ derart, dass für alle ${}i\geq i_{0}$ die Abschätzung

{}\vert {x_{n_{i}}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,

gilt. Da eine Cauchy-Folge vorliegt gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Abschätzung

{}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,

gilt. Daher gilt für ${}n\geq {\max {\left(n_{0},n_{i_{0}}\right)}}$ unter Verwendung eines ${}n_{i}$ mit ${}n_{i}\geq {\max {\left(n_{0},n_{i_{0}}\right)}}$ die Abschätzung

{}\vert {x_{n}-x}\vert =\vert {x_{n}-x_{n_{i}}+x_{n_{i}}-x}\vert \leq \vert {x_{n}-x_{n_{i}}}\vert +\vert {x_{n_{i}}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon \,.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

0{,}7{\overline {41}}

gegeben ist.

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}0{,}7{\overline {41}}&=0{,}7+0{,}0{\overline {41}}\\&=0{,}7+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {41}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 41\cdot 0{,}{\overline {01}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 41\cdot {\frac {1}{99}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {41}{990}}\\&={\frac {693+41}{990}}\\&={\frac {734}{990}}\\&={\frac {367}{495}}.\end{aligned}}

Aufgabe (4 Punkte)

Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.

Lösung Reelle Zahlen/Lücken/Auffüllen/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}x$ und ${}y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.