Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Aufgaben C/Referenzsuche

Es sei

eine Funktion.

1. Negiere (durch Umwandlung der Quantoren) die Eigenschaft, dass im Punkt stetig ist.
2. Negiere die Eigenschaft, dass stetig ist.

Es sei

eine Teilmenge,

eine Funktion und

ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ist stetig in
2. Zu jedem gibt es ein derart, dass aus die Abschätzung folgt.
3. Zu jedem gibt es ein derart, dass aus die Abschätzung folgt.

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.

Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen und Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist

Bestimme für die Funktion

im Punkt

für

ein explizites

derart, dass aus

die Abschätzung

folgt.

Es sei

eine Teilmenge und sei

eine stetige Funktion. Es sei

ein Punkt mit

Zeige, dass dann auch

für alle

aus einem nichtleeren offenen Intervall

gilt.

Es seien

reelle Zahlen und es seien

und

stetige Funktionen mit

Zeige, dass dann die Funktion

mit

ebenfalls stetig ist.

Zeige, dass es eine stetige Funktion

derart gibt, dass auf jedem Intervall der Form mit

sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Ist eine solche Funktion Siehe auch Aufgabe 54.25.

Es sei

eine endliche Teilmenge und

eine Funktion. Zeige, dass stetig ist.

Zeige, dass die Funktion

mit

nur im Nullpunkt stetig ist.

Berechne den Grenzwert der Folge

für

Bestimme den Grenzwert der Folge

Die Folge sei rekursiv durch

und

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 47.40 hilfreich.

Es sei

eine dichte Teilmenge. Zeige, dass eine stetige Funktion

durch die Werte auf eindeutig bestimmt ist.

Beweise direkt die Rechenregeln aus Satz 51.9 (ohne Bezug auf das Folgenkriterium).

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.

Es sei und seien

stetige Funktionen mit

Zeige, dass es ein derart gibt, dass

für alle gilt.

Wir betrachten auf der Menge aller stetigen Funktionen von nach die folgende Relation: Es ist falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion

mit

gibt.

1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
2. Zeige, dass aus folgt, dass die Nullstellenmenge von und von übereinstimmen.
3. Zeige, dass die beiden Funktionen und nicht zueinander äquivalent sind.

Bestimme für die Funktion

im Punkt

für

ein explizites

derart, dass aus

die Abschätzung

folgt.

Bestimme, für welche Punkte

die durch

definierte Funktion stetig ist.

Zeige, dass die Funktion

mit

in keinem Punkt stetig ist.

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge, wobei

ist.

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

die genau zwei Werte annimmt.

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?

Es sei

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass konstant ist.

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.

Es seien

stetige Funktionen mit

und

Zeige, dass es einen Punkt

mit

gibt.

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall

mit Hilfe der

Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge in dem eine Nullstelle von liegen muss.

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge in dem eine Nullstelle von liegen muss.

Fridolin sagt:

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

Zeige, dass die reelle Zahl eine Nullstelle des Polynoms

ist.

Es sei

eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt ein Polynom , mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
2. Es gibt ein Polynom , mit
3. Es gibt ein normiertes Polynom mit

Es sei

ein Unterkörper. Zeige, dass für der Zwischenwertsatz nicht gilt.

Es sei ein Dedekindscher Schnitt und sei

durch

definiert. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn eine irrationale Zahl beschreibt.

Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.

Zeige, dass das Bild eines offenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht offen sein muss.

Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.

Es sei ein reelles Intervall und

eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass streng wachsend oder streng fallend ist.

Es sei

eine bijektive stetige Funktion zwischen den reellen Intervallen

und  Zeige, dass 

streng wachsend oder streng fallend ist.

Zeige, dass durch

eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung

gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

1. Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
3. Zeige, dass durch das Polynom eine bijektive Abbildung gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?

Bestimme den Grenzwert der Folge

Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.

Es sei eine Menge und

eine Abbildung. Ein Element

mit

heißt Fixpunkt der Abbildung.

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

Es sei

ein Polynom vom Grad

Zeige, dass maximal Fixpunkte besitzt.

Es sei

eine stetige Funktion und es gebe

mit

und

Zeige, dass einen Fixpunkt besitzt.

1. Skizziere die Graphen der Funktionen und
2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl

eine stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist.

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl

eine stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist und dass für jede rationale Zahl auch rational ist.

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl

eine streng wachsende stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist und dass für jede rationale Zahl auch rational ist.

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall

mit Hilfe der

Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal

Es sei

eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass das Bild von sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist. Zeige, dass surjektiv ist.

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.

Es sei

eine stetige Funktion des Intervalls

in sich. Zeige, dass  einen

Fixpunkt besitzt.

Berechne

bis auf einen Fehler von

Es sei eine positive reelle Zahl und

Zeige, dass die durch

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.

Berechne

bis auf einen Fehler von

Berechne

bis auf einen Fehler von

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

stetig ist.

Es sei

fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

stetig ist.

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Zeige, dass der einzige Gruppenhomomorphismus

die konstante Abbildung auf ist.

Es sei

eine monotone Funktion und es sei

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass auf nicht unbedingt mit übereinstimmen muss.

Es sei

eine monotone Funktion und es sei

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ebenfalls monoton ist.

Es sei

eine stetige monotone Funktion und es sei

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass auf mit übereinstimmt.

Vergleiche die beiden Zahlen

Vergleiche die drei Zahlen

Berechne

bis auf einen Fehler von

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist für alle
2. Es ist
3. Für und ist
4. Für und ist
5. Für ist streng wachsend.
6. Für ist streng fallend.
7. Es ist für alle
8. Für ist

Es sei

eine stetige Funktion

die die Gleichung

für alle

erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein

mit

gibt.

Zeige, dass eine Exponentialfunktion

aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.

Es sei

eine Exponentialfunktion mit

Zu jedem

definiert die Gerade durch die beiden Punkte

einen Schnittpunkt mit der Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige

Skizziere die Situation.

Es sei eine positive reelle Zahl und

die zugehörige Exponentialfunktion. Zeige

für alle unter Bezug auf die entsprechende Gleichung für rationale Argumente.

Skizziere die Graphen zu den Funktionen

für auf

Ordne die Zahlen

gemäß ihrer Größe.

Für

und

sei

das der Exponentialreihe. Zeige, dass für

die

gilt.

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

mit

und mit

für alle

die von verschieden ist.

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?

Man bastle einen der die Multiplikation von positiven reellen Zahlen ausführt.

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis

die folgenden Rechenregeln erfüllen.

1. Es gilt
2. Es gilt für
3. Es gilt

Es sei

fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

stetig ist.

Berechne

bis auf einen Fehler von

Vergleiche

Finde eine rationale Zahl zwischen den beiden Zahlen

folgere daraus, welche größer ist.

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion

mit der Eigenschaft, dass es keine stetige Funktion

gibt, die auf mit übereinstimmt.

Es sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein reelles mit

für alle gibt.

Berechne mit Hilfe der Exponentialreihe bis auf einen Fehler von

Die Restgliedabschätzung aus Aufgabe 53.23 darf verwendet werden.

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt der durch den Punkt läuft.

Wir betrachten den rationalen Einheitskreis

und die Gerade

1. Bestimme die Schnittpunkte
2. Wie sieht es aus, wenn man statt die reellen Zahlen nimmt?
3. Kann man einen Kreis erst dann verstehen, wenn man die reellen Zahlen verstanden hat?
4. Welche Beziehung besteht zum Zwischenwertsatz?

Welche Punkte kennen Sie auf dem rationalen Einheitskreis

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt der durch den Punkt läuft.

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises wobei durch die Gleichung

und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte

verläuft.

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise

wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen

Beschreibe die obere Hälfte des Einheitskreises und die untere Hälfte des Einheitskreises als den Graphen einer Funktion.

Es seien

und sei

der mit dem

und dem Es sei eine in mit der Eigenschaft, dass es auf mindestens einen Punkt gibt mit

Zeige, dass

ist.

Es sei

die Standardparabel und der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius

1. Skizziere
2. Erstelle eine Gleichung für
3. Bestimme die Schnittpunkte
4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von nach
5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

für die Körper

und

1. Skizziere einen Kreis mit einem bestimmten Radius.
2. Trage auf einem Faden den Radius als Einheitsstrecke und Vielfache davon ein.
3. Bestimme mit dem Faden den ungefähren Wert des Kreisumfanges.
4. Lege einen Startpunkt auf dem Kreis fest (der Kreismittelpunkt als Nullpunkt und der Startpunkt als legen ein Koordinatensystem fest).
5. Finde zu verschiedenen Punkten (etwa Einheitsstrecke, halbe Einheitsstrecke, doppelte Einheitsstrecke) auf dem Faden den zugehörigen trigonometrischen Punkt. Schätze seine Koordinaten jeweils ab.
6. Finde zu verschiedenen Punkten auf dem Kreis den zugehörigen Punkt auf dem Faden.

Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis.

	Grad	Bogenmaß	Prozent

Skizziere die trigonometrischen Dreiecke zu den Winkeln

Begründe die Abschätzung

für

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

b)

c)

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.

Wie hoch muss ein Spiegel mindestens sein, damit man sich in ihm vollständig sehen kann (ohne sich zu verrenken)?

Bestimme den Grenzwert der Folge

Zeige, dass die Folge

nicht konvergiert.

Mit einem Ausdruck der Form meint man

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).

• 
  a)
• 
  b)
• 
  c)

• 
  d)
• 
  e)
• 
  f)

Skizziere die Funktion

Zeige, dass die durch

definierte Funktion

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion

Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch im Sinne der folgenden Definition.

Eine Funktion

heißt periodisch mit Periode

wenn für alle

die Gleichheit

gilt.

Es sei

eine periodische Funktion und

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung

wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung nicht periodisch sein muss.

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen

Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.

Die nächsten Aufgaben verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.

Eine Funktion

heißt gerade wenn für alle

die Gleichheit

gilt.

Eine Funktion

heißt ungerade wenn für alle

die Gleichheit

gilt.

Es sei

eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von ob eine gerade Funktion ist?

Es sei

eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von ob eine ungerade Funktion ist?

Zeige, dass der Betrag

eine gerade Funktion ist.

Zeige, dass eine lineare Funktion

eine ungerade Funktion ist.

Es sei ein Polynom. Zeige, dass genau dann eine gerade Funktion definiert, wenn für alle ungeraden Indizes ist.

Es sei

ein Polynom. Zeige, dass genau dann eine ungerade Funktion definiert, wenn

für alle geraden Indizes ist.

Erstelle die Drehmatrizen zu den Winkeln

Es sei

die Menge aller Drehmatrizen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung.

1. Zeige, dass eine Gruppe ist.
2. Zeige, dass die Abbildung ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.
3. Zeige, dass der Kern der Abbildung ist.
4. Zeige die Gruppenisomorphie

Beweise die Formel

aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.

Berechne

Was fällt dabei auf und wie kann man es erklären?

Es sei

1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von
2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.

Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise

wobei  den Mittelpunkt  und den Radius  und  den Mittelpunkt  und den Radius  besitzt.

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

für den Körper

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Zeige, dass man jede stetige Funktion

als

mit einer stetigen geraden Funktion

und einer stetigen

ungeraden Funktion

schreiben kann.

Man werfe zehnmal mit einer Münze und notiere, wie oft Kopf und wie oft Zahl gefallen ist.

Wir betrachten den endlichen Wahrscheinlichkeitsraum

mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

Wir betrachten den endlichen Wahrscheinlichkeitsraum

mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß

Die folgenden Beziehungen seien bekannt:

Bestimme für jedes Elementarereignis.

Es sei eine Bernoulli-Verteilung auf gegeben. Das Ereignis sei fünfmal so wahrscheinlich wie das Ereignis Bestimme die Wahrscheinlichkeit von in Prozent.

In einem Laplace-Raum trete ein Elementarereignis mit der Wahrscheinlichkeit ein. Wie viele Elemente besitzt der Raum?

Lucy Sonnenschein wählt aus ihren Sommerkleidern zufällig eines aus. Sie besitzt vier gelbe, sieben rote, fünf blaue, zwei weiße und drei grüne Sommerkleider. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ein grünes Kleid auswählt? Wie lautet die Wahrscheinlichkeit in Prozent?

In der Klasse von Frau Maier-Sengupta gibt es Schüler(innen). An jedem Tag kontrolliert sie von drei Schülern die Hausaufgaben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von Mustafa Müller heute die Hausaufgaben kontrolliert werden?

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto ausschließlich Quadratzahlen gezogen werden.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto Zahlen gezogen werden, deren Summe

ergibt.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto (genau) drei Richtige, vier Richtige oder fünf Richtige hat.

Skat wird mit Karten gespielt, dabei gibt es vier Könige und vier Damen (die Buben werden in dieser Aufgabe als Kinder betrachtet). Der besteht aus zwei zufälligen Karten und spielt eine besondere Rolle.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind?
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gleichgeschlechtliches Paar ist?
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gemischtgeschlechtliches Paar ist?

Mustafa Müller darf zu seinem ten Geburtstag aus seiner Klasse Kinder einladen. Heute wird er in seiner Klasse gibt es neben ihm Kinder. Da alle Kinder nett sind, wählt er zufällig aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Kinder vom letztjährigen Geburtstag wieder eingeladen werden.

Die folgende Aussage wurden schon in Aufgabe 24.13 angesprochen. Man begründe sie algebraisch, geometrisch und stochastisch.

Es seien

Zeige

Aus den Zahlen wird zufällig eine Zahl ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Zahl

1. eine Quadratzahl,
2. eine Primzahl,
3. eine Schnapszahl,
4. eine durch teilbare Zahl,

ist?

Aus den Zahlen werden zufällig drei Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum der Zahlen zumindest ist.

Aus den Zahlen werden zufällig vier Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den gezogenen Zahlen keine Teilbarkeitsbeziehung gibt.

Aus den Zahlen wird zufällig eine Zahl ausgewählt.

1. Erstelle in Abhängigkeit von eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Zahl eine Quadratzahl ist.
2. Ist die Folge der Wahrscheinlichkeiten monoton?
3. Konvergiert diese Wahrscheinlichkeit, wenn gegen unendlich geht?

Aus den Zahlen wird zufällig eine Zahl ausgewählt. Es sei die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl gewählt wird.

1. Zeige, dass für hinreichend groß ist.
2. Zeige, dass für hinreichend groß ist.

Wir betrachten den endlichen Wahrscheinlichkeitsraum

mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß

Die folgenden Werte seien bekannt:

Bestimme für jedes Elementarereignis.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto ausschließlich Primzahlen gezogen werden.

Im Brötchenkorb befinden sich normale Brötchen, Laugenbrötchen, Roggenbrötchen, Körnerbrötchen und ein Sesambrötchen. Mustafa Müller wählt zum Frühstück zufällig zwei davon aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei gleiche Brötchen auswählt?

Es werde zweimal hintereinander eine Ziffer aus gezogen.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl (im Zehnersystem) eine Primzahl ist?
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl ist?
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl ist?

Aus den Zahlen werden zufällig fünf Zahlen ohne Zurücklegen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum der Zahlen zumindest ist.

Es sei

fixiert. Aus den Zahlen wird zufällig eine Zahl ausgewählt. Es sei die Wahrscheinlichkeit, dass ein Vielfaches von gewählt wird.

1. Man gebe eine Formel für
2. Ist die Folge dieser Wahrscheinlichkeiten monoton?
3. Zeige, dass gegen konvergiert.

Eine faire Münze werde zehnmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau einmal ein Wechsel von Kopf nach Zahl oder umgekehrt eintritt?

Eine faire Münze werde zehnmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Münzseite mit jedem Wurf ändert?

Was ist wahrscheinlicher: Ein Lottogewinn mit sechs Richtigen oder, dass bei einem fachen Münzwurf stets Kopf fällt?

Im Brötchenkorb der Familie Ngolo befinden sich drei Laugenbrötchen, zwei normale Brötchen, eine Brezel und zwei Scheiben Graubrot. Im Marmeladenkorb befindet sich Himbeermarmelade, Erdbeermarmelade, Quittenmarmelade und Waldrandhonig. Folgende Kombinationen machen Heinz Ngolo am Morgen glücklich:

• Laugenbrötchen mit Himbeermarmelade.

• Ein normales Brötchen mit Waldrandhonig.

• Eine Brezel mit beliebigem Aufstrich außer Quittenmarmelade.

• Erdbeermarmelade, außer mit Graubrot.

Heinz wählt zufällig aus den beiden Körben eine Backware und einen Aufstrich aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sein Tag glücklich anfängt?

Ein Würfel werde zweimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Augensumme gleich ist.

Ein Würfel werde zweimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass das Produkt der Augenzahlen gleich ist.

Ein Würfel werde zweimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Augensumme mindestens so groß wie das Produkt der Augenzahlen ist.

Ein fairer Würfel werde sechsmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich dabei keine Augenzahl wiederholt?

Wir betrachten die Produktmenge und ihre Teilmengen. Fridolin sagt:

1. Ist diese Aussage korrekt?
2. Ist diese Argumentation korrekt?

Es seien endliche Wahrscheinlichkeitsräume und es sei der Produktraum ein Laplace-Raum. Zeige, dass jeder ein Laplace-Raum ist.

Eine Münze werde achtmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten, dass dabei keinmal, einmal, zweimal, dreimal , ..., achtmal eine Zahl geworfen wird.

Durch langjährige Beobachtungen weiß man, dass Heinz in einer Mathearbeit mit Wahrscheinlichkeit eine Zwei oder besser schreibt. Im Schuljahr werden vier Arbeiten geschrieben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Heinz keinmal, einmal, zweimal, dreimal, viermal eine Zwei oder besser hat?

Die folgende Aufgabe ist eine Verallgemeinerung von Aufgabe 8.35. Die Formel wird genannt.

Es sei eine Menge und es seien , endliche Teilmengen. Für eine Teilmenge

sei

Beweise die Anzahlformel

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und es seien , Ereignisse in Für eine Teilmenge sei

Beweise die folgende Formel für die Wahrscheinlichkeit

Es sei

der Körper mit elf Elementen. Im Vektorraum werden zufällig drei Punkte ausgewählt, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen?

Eine faire Münze werde sechsmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei viermal hintereinander Kopf geworfen wird?

Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde.

1. In welchem minimalen Bereich der Form liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von
2. In welchem minimalen Bereich der Form liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von
3. In welchem minimalen Bereich der Form liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von

Zeige, dass die Folge

für gerade gegen konvergiert.

Tipp: Betrachte den Faktor zwischen

Dann hilft Aufgabe 47.19.

Man gebe eine hinreichend große Zehnerpotenz

derart an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem fachen Münzwurf die Anzahl der Kopfwürfe zwischen

liegt, kleiner als ist.

Zeige durch Induktion, dass für die Fakultät für

die Abschätzung

gilt.

Zeige durch Induktion, dass für die Fakultät die Abschätzung

gilt.

Es sei eine rationale Zahl mit

Zeige

Es sei das Ereignis, dass bei einem zehnfachen Münzwurf keinmal Kopf fällt, und es sei das Ereignis, dass bei einem hundertfachen Münzwurf höchstens zehnmal Kopf fällt. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher?

Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine (alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken). Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man aus zwei benachbarten Zahlen der Zeile das arithmetische Mittel bildet und dieses in der nächsten Zeile unterhalb der beiden Zahlen hinschreibt.

1. Bestimme die ersten fünf Zeilen (also Zeile bis Zeile).
2. Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich ist.
3. Zeige, dass in der ten Zeile die Zahlen der Binomialverteilung stehen.

Lucy Sonnenschein besitzt einen blauen, einen grünen und zwei rote Hüte, ferner besitzt sie drei blaue Blusen, zwei gelbe Blusen, eine grüne Bluse, vier rote Blusen und eine weiße Bluse, ferner besitzt sie drei rote Röcke, zwei grüne Röcke, einen schwarzen Rock und drei blaue Röcke. Für heute wählt sie zufällig einen Hut, eine Bluse und einen Rock aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie heute einfarbig in die Schule geht?

Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei siebenmal hintereinander Kopf geworfen wird?

Es sei

der Körper mit sieben Elementen. Im Vektorraum werden zufällig drei Punkte ausgewählt, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen?

Es sei

und sei die Menge aller Abbildungen von nach Es wird zufällig eine Abbildung ausgewählt.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Abbildung bijektiv ist?
2. Es sei diese Wahrscheinlichkeit. Kann man eine Konvergenzaussage für diese Folge machen?

Gabi Hochster, Heinz Ngolo, Lucy Sonnenschein, Mustafa Müller und Conchita Cauchy wollen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Sie ziehen zufällig aus Lucys Hut die Namen, wenn jemand seinen eigenen Namen zieht, fangen sie nochmal von vorne an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Namensziehung wichtelkonform ist?

Eine faire Münze werde zwanzigmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde. In welchem minimalen Bereich der Form liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von

Man gebe ein Beispiel für einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum

und Ereignisse

derart, dass zu und zu unabhängig ist, aber nicht zu

Die Lieblingseissorten von Lucy Sonnenschein sind Himbeereis, Heidelbeereis und Erdbeereis, die sie stets mit Wahrscheinlichkeit auswählt. Sie steht am Eisstand und wählt hintereinander und unabhängig voneinander drei Kugeln aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede ihrer Lieblingssorte in ihrem Becher vertreten ist.

Es sei ein Laplace-Raum mit Elementen und seien

Ereignisse.

1. Zeige, dass und genau dann unabhängig sind, wenn gilt.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass nichtleere Ereignisse unabhängig sein können, ohne dass ihre Anzahlen Teiler von sind.
3. Es seien natürliche Zahlen mit und derart, dass ein Teiler von ist. Zeige, dass es unabhängige Ereignisse in gibt, deren Anzahlen gleich sind.

Es seien

Ereignisse in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum

mit positiven Wahrscheinlichkeiten und mit

Zeige, dass

nicht unabhängig sein können.

Es seien

und

Laplace-Räume und der Produktraum. Bestimme, welche der folgenden Ereignisse in zueinander unabhängig sind.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinander folgenden Lottoziehungen die gleichen Zahlen gezogen werden?
2. Bauer Ernst spielt jede Woche Lotto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal hintereinander sechs Richtige hat?

Es wird fünfmal eine faire Münze geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse und ob es sich um unabhängige Ereignisse handelt.

Es wird zwanzig Mal eine faire Münze geworfen. Bei den ersten zehn Würfen lautet das Ergebnis sechsmal Kopf, bei den zweiten zehn Würfen lautet das Ergebnis viermal Kopf. Sind diese Ereignisse unabhängig?

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander drei Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest besitzt?

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest besitzt?

Lucy Sonnenschein und ihre kleine Schwester Veronika befinden sich auf der Zahlengeraden im Punkt Beide führen unabhängig voneinander fünf Sprünge aus, wobei die Sprünge von Lucy mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Einheiten nach rechts oder nach links und die Sprünge von Veronika mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Einheit nach links oder nach rechts gehen.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy sich zum Schluss in der Position befindet?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Veronika sich zum Schluss in einer Position befindet, die vom Nullpunkt den Abstand besitzt?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy und Veronika sich zum Schluss in der gleichen Position befinden?

Es sei ein Kreis mit sechs (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich

1. Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man, ausgehend von zu den verschiedenen Positionen gelangt.
2. Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man, ausgehend von zu den verschiedenen Positionen gelangt.
3. Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist.

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

ist.

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Quadratzahl ist.

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl ist.

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Es sei das Ereignis, dass beim ersten Wurf geworfen wird, es sei das Ereignis, dass beim zweiten Wurf geworfen wird, und es sei das Ereignis, dass das Ergebnis beim zweiten Wurf um eins größer als beim ersten Wurf ist. Welche dieser Ereignisse sind unabhängig, welche nicht?

Ein Würfel wird dreimal geworfen. Es sei das Ereignis, dass das Ergebnis beim zweiten Wurf um eins größer als beim ersten Wurf ist, und es sei das Ereignis, dass das Ergebnis beim dritten Wurf um eins größer als beim zweiten Wurf ist. Sind diese Ereignisse unabhängig?

Es seien verschiedene Primzahlen und ihr Produkt. Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum

mit der Laplace-Dichte. Es sei das Ereignis, das eine Zahl aus ein Vielfaches von ist. Zeige, dass die vollständig unabhängig sind.

Es sei das Ereignis, dass bei einer Lottoziehung mindestens eine gerade Zahl gezogen wird. Es sei das Ereignis, dass bei einer Lottoziehung mindestens eine ungerade Zahl gezogen wird. Sind diese Ereignisse unabhängig voneinander?

Es seien

und

Laplace-Räume und der Produktraum. Bestimme, welche der folgenden Ereignisse in zueinander unabhängig sind.

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum. Wir betrachten auf der Potenzmenge

diejenige

Relation

bei der eine Teilmenge  zu einer Teilmenge  in Relation steht, wenn

stochastisch unabhängig sind.

1. ist reflexiv.
2. ist symmetrisch.
3. ist transitiv.

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich zum Schluss wieder in ihrem Ausgangspunkt befindet?

Es sei ein Kreis mit acht (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess sei die Wahrscheinlichkeit, stehen zu bleiben, gleich und die Wahrscheinlichkeiten, zum linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, gleich

1. Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man, ausgehend von zu den verschiedenen Positionen gelangt.
2. Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man, ausgehend von zu den verschiedenen Positionen gelangt.
3. Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist.

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

ist.

Überprüfe das sogenannte Geburtstagsparadoxon anhand der anwesenden Personen. Das Geburtstagsparadoxon besagt, dass unter relativ wenig Leuten überraschend oft zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Bei Leuten beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür schon bei Personen sogar

Die Menge

sei mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

versehen. Es sei

und

Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit

Eine faire Münze wird elfmal geworfen. Es sei das Ereignis, dass bei den ersten zehn Würfen stets Kopf geworfen wird. Es sei das Ereignis, dass beim ten Wurf Kopf geworfen wird. Bestimme

für

Fredo verfolgt die Ziehung der Lottozahlen. Die bisher gezogenen drei Zahlen kommen auf seinem Zettel vor, drei Richtige hat er also schon mal sicher. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sechs Richtige hat?

Fredo verfolgt die Ziehung der Lottozahlen. Die bisher gezogenen fünf Zahlen kommen auf seinem Zettel vor, fünf Richtige hat er also schon mal sicher. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sechs Richtige hat?

Fredo erfährt, dass er beim Lotto sechs Richtige hat. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlen genau in der Reihenfolge gezogen wurden, wie er sie angekreuzt hatte?

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und

ein Element mit einer positiven Wahrscheinlichkeit. Zeige

Es sei

eine Teilmenge eines endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes

mit positiver Wahrscheinlichkeit. Es sei  ein weiteres Ereignis und es gelte

Zeige, dass dann

gilt.

In einem Kurs nehmen Personen teil. Für die Person ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Klausur durchzufallen, gleich Es wird eine Klausur und eine Nachklausur geschrieben, wobei sich diese Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.

1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in der ersten Klausur durchfällt, gleich ist.
2. Die Nachklausur schreiben nur die Personen mit, die in der ersten Klausur durchgefallen sind. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus diesem Personenkreis zufällig ausgewählte Person bei der zweiten Klausur ebenfalls durchfällt, gleich ist.
3. Zeige, dass die unter (2) berechnete Wahrscheinlichkeit größergleich der unter (1) berechneten Wahrscheinlichkeit ist.

Professor Knopfloch und Professor Zahnrad spielen gegeneinander Schach, wobei sie abwechselnd mit weiß oder mit schwarz spielen. Wenn Professor Knopfloch mit weiß spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit wenn er mit schwarz spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit andernfalls gewinnt Professor Zahnrad. Heute hat Professor Zahnrad gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Professor Knopfloch heute mit weiß gespielt?

In der Bevölkerung ist ein Virus im Umlauf, und es gibt einen Test für den Virus, der allerdings nicht absolut sicher ist. Wenn jemand den Virus hat, so erkennt der Test dies zu Wenn jemand den Virus nicht hat, so erkennt der Test dies zu Die Wahrscheinlichkeit, den Virus zu haben, beträgt Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Virus hat, obwohl der Test ihn nicht erkannt hat?

In der Bevölkerung ist ein Virus im Umlauf, und es gibt einen Test für den Virus, der allerdings nicht absolut sicher ist. Wenn jemand den Virus hat, so erkennt der Test dies zu Wenn jemand den Virus nicht hat, so erkennt der Test dies zu Die Wahrscheinlichkeit, den Virus zu haben, beträgt Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Virus hat, wenn der Test ihn diagnostiziert?

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und es seien

Ereignisse mit

und mit

Zeige

Ein Aufschrei geht durch die sozialen Medien: An der Tanzhochschule haben sich Frauen und Männer für die beiden Fächer Ausdruckstanz und Choreographie beworben, dabei bekamen Frauen einen Studienplatz, aber nur Männer. Die Tanzbegabungen und die sonstigen Zeugnisse waren bei allen Bewerbern und Bewerberinnnen sehr gut. Ein klarer Fall: Diese Schule diskriminiert Männer!

Lässt sich dieser Vorwurf angesichts der folgenden Tabelle, die die genauere Information entlang der beiden einzelnen Fächer beinhaltet, aufrechterhalten?

	Bewerbungen Männer	Bewerbungen Frauen	Angenommene Männer	Angenommene Frauen	Annahmequote Männer	Annahmequote Frauen
Ausdruckstanz
Choreographie
Insgesamt

Erläutere die Beobachtungen in Aufgabe 58.14 mit dem Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Die Menge

sei mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

versehen. Es sei

und

Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit

Es wird zufällig eine Zahl aus gezogen. Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl gezogen wird, wenn man weiß, dass eine ungerade Zahl gezogen wurde?

1. Bei
2. Bei
3. Bei
4. Bei

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und es seien Ereignisse, deren Gesamtdurchschnitt eine positive Wahrscheinlichkeit besitze. Zeige

In der Bevölkerung ist ein Virus im Umlauf, und es gibt einen Test für den Virus, der allerdings nicht absolut sicher ist. Wenn jemand den Virus hat, so erkennt der Test dies zu Wenn jemand den Virus nicht hat, so erkennt der Test dies zu Die Wahrscheinlichkeit, den Virus zu haben, beträgt Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Virus hat, wenn der Test ihn diagnostiziert?

Ein gestaffelter Eignungstest ist in drei Runden aufgebaut, wobei man die vorhergehende Runde überstehen muss, um in die nächste Runde zu gelangen. Die erste Runde überstehen die zweite Runde überstehen und die dritte Runde überstehen

1. Beschreibe diese Daten mit dem Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit.
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Erstrundenteilnehmer alle drei Runden?
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Zweitrundenteilnehmer alle drei Runden?