Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Vorlesung 44

Beispiele für Folgen

Definition

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper, die gegen ${}0$ konvergiert, heißt Nullfolge.

Beispiel

Eine konstante Folge ${}x_{n}=c$ ist stets konvergent mit dem Grenzwert ${}c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes ${}\epsilon >0$ als Aufwandszahl ${}n_{0}=0$ nehmen kann. Es ist ja

${}\vert {x_{n}-c}\vert =\vert {c-c}\vert =\vert {0}\vert =0<\epsilon \,$

für alle ${}n$.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann ist die Folge

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,$

konvergent mit dem Grenzwert ${}0$. Es sei dazu ein beliebiges ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms (siehe Lemma 25.8) gibt es ein ${}n_{0}$ mit

${}{\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$

Damit gilt für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$

Beispiel

Wir betrachten die Folge mit den Folgengliedern

${}x_{n}={\frac {7n}{2^{n}}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$. Die Anfangsglieder sind

$0,\,{\frac {7}{2}},\,{\frac {7}{2}},\,{\frac {21}{8}},\,{\frac {7}{4}},\,{\frac {35}{32}},\,{\frac {21}{32}},\,{\frac {49}{128}},\,{\frac {7}{32}}\ldots .$

In der Tat ist dies eine Nullfolge. Nach Satz 27.12 gibt es nämlich ein ${}m$ derart, dass

${}2^{n}\geq n^{2}\,$

für alle ${}n\geq m$ gilt. Für diese ${}n$ ist somit

${}{\frac {7n}{2^{n}}}\leq {\frac {7n}{n^{2}}}={\frac {7}{n}}\,.$

Zu einem vorgegebenen ${}\epsilon >0$ kann man zusätzlich noch ${}n\geq {\frac {7}{\epsilon }}$ erreichen, daher ist dies kleinergleich ${}\epsilon$.

Bemerkung  

Eine Dezimalbruchfolge in einem angeordneten Körper ist eine Folge der Form

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}=z_{0},z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots z_{-n}\,$

mit ${}a_{n}\in \mathbb {Z}$ (bzw. mit Ziffern ${}z_{-i}\in \{0,1,\ldots ,9\}$) und mit

${}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,.$

Eine solche Folge, also eine „Kommazahl“, muss im Allgemeinen nicht konvergieren. Wenn wir mit zwei positiven ganzen Zahlen ${}a,b$ starten und den Divisionsalgorithmus ${}a:b$ durchführen, um die Ziffern ${}z_{-i}$ zu erhalten, so konvergiert nach Korollar 28.11 die zugehörige Dezimalbruchfolge

${}x_{n}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\,$

gegen die rationale Zahl ${}{\frac {a}{b}}$.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$.

Dann besitzt ${}x_{n}$ maximal einen Grenzwert.

Beweis

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte ${}x,y$, ${}x\neq y$, gibt. Dann ist ${}d:=\vert {x-y}\vert >0$. Wir betrachten ${}\epsilon :=d/3>0$. Wegen der Konvergenz gegen ${}x$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}$

und wegen der Konvergenz gegen ${}y$ gibt es ein ${}n_{0}'$ mit

$\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}'.$

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für ${}n\geq \max\{n_{0},n_{0}'\}$. Es sei ${}n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch

${}d=\vert {x-y}\vert \leq \vert {x-x_{n}}\vert +\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon +\epsilon =2d/3\,.$

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Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Die Folge ${}x_{n}$ heißt beschränkt, wenn es ein Element ${}B\in K$ mit

$\vert {x_{n}}\vert \leq B{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

gibt.

Rechenregeln für Folgen

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Wenn eine Folge in ${}K$ konvergent ist,

so ist sie auch beschränkt.

Beweis

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit dem Limes ${}x\in K$ und es sei ein ${}\epsilon >0$ gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$

Dann ist insbesondere

$\vert {x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {x-x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$

Unterhalb von ${}n_{0}$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum

${}B:=\max _{n<n_{0}}\{\vert {x_{n}}\vert ,\,\vert {x}\vert +\epsilon \}\,$

wohldefiniert ist. Daher ist ${}B$ eine obere Schranke und ${}-B$ eine untere Schranke für ${}{\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann ist die alternierende Folge

${}x_{n}=(-1)^{n}\,$

beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit ist klar, da ja nur die beiden Werte ${}1$ und ${}-1$ vorkommen. Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass ${}x\geq 0$ der Grenzwert sei. Dann gilt für positives ${}\epsilon <1$ und jedes ungerade ${}n$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert =1+x\geq 1>\epsilon \,,$

sodass es Folgenwerte außerhalb dieser ${}\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge in ${}K$.

Dann ist auch das Produkt der beiden Folgen eine Nullfolge.

Beweis

Es sei ${}B>0$ eine Schranke für ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Da ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist, gibt es zu ${}{\frac {\epsilon }{B}}$ ein ${}n_{0}$ derart, dass für ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung ${}\vert {x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}$ gilt. Für diese Indizes ist dann auch

${}\vert {x_{n}y_{n}}\vert =\vert {x_{n}}\vert \cdot \vert {y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}\cdot B=\epsilon \,.$

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Wie bei einer Dezimalbruchfolge, die man ja (mit den Ziffern ${}z_{-i}$) als

${}x_{n}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\,$

schreiben kann, wird eine Folge oft als eine Summe in der Form

${}x_{n}=\sum _{i=0}^{n}u_{i}\,$

gegeben. Die Folgenglieder sind also die Teilsummen, die sich aus den einzelnen Summanden ergeben. Solche Folgen nennt man auch Reihen und die ${}u_{i}$ nennt man die Reihenglieder. Wir betonen, dass sich alle Folgeneigenschaften auf die Folgenglieder beziehen. Man schreibt für solche Reihen auch kurz ${}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}$.

Nikolaus von Oresme (1330-1382) bewies, dass die harmonische Reihe divergiert.

Die sogenannte harmonische Reihe ist nicht beschränkt und konvergiert nicht.

Beispiel

Die harmonische Reihe ist die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}.$

Es geht also um die „unendliche Summe“ der Stammbrüche

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\ldots .$

Diese Reihe divergiert: Für die ${}2^{n}$ Zahlen ${}k=2^{n}+1,\ldots ,2^{n+1}$ ist

${}\sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{2^{n+1}}}=2^{n}{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}\,.$

Daher ist

${}\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}=1+\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{k=2^{i}+1}^{2^{i+1}}{\frac {1}{k}}\right)\geq 1+(n+1){\frac {1}{2}}\,.$

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Lemma 44.8 nicht konvergent sein.

Aus der Divergenz der harmonischen Reihe folgt, dass man einen beliebig weiten Überhang mit gleichförmigen Bauklötzen bauen kann.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Folge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

2. Die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

3. Für ${}c\in K$ gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }cx_{n}=c{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\,.$

4. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

5. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}\,.$

Beweis

(2). Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Lemma 44.8 insbesondere beschränkt und daher existiert ein ${}D>0$ mit ${}\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Sei ${}x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und ${}y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen ${}C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen ${}N_{1}$ und ${}N_{2}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle ${}n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

(4). Da der Limes der Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nicht ${}0$ ist, gilt für ${}n\geq N_{1}$ die Bedingung ${}\vert {x_{n}}\vert \geq {\frac {\vert {x}\vert }{2}}$ und damit

${}{\frac {1}{\vert {x_{n}}\vert }}\leq {\frac {2}{\vert {x}\vert }}\,.$

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${}N_{2}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}{\text{ für alle }}n\geq N_{2}.$

Dann gilt für alle ${}n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$ die Abschätzung

${}\vert {{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{x}}}\vert =\vert {\frac {x_{n}-x}{xx_{n}}}\vert ={\frac {1}{\vert {x}\vert \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {2}{\vert {x}\vert ^{2}}}\cdot {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}=\epsilon \,.$

$\Box$

Die im vorstehenden Satz auftretenden Folgen nennt man die Summenfolge, die Produktfolge bzw. die Quotientenfolge. Sie sind jeweils gliedweise definiert.

Beispiel

Es sei ${}r\leq s$. Bei einer Folge der Form

${}x_{n}={\frac {a_{r}n^{r}+a_{r-1}n^{r-1}+\cdots +a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}}{b_{s}n^{s}+b_{s-1}n^{s-1}+\cdots +b_{2}n^{2}+b_{1}n+b_{0}}}\,$

mit ${}a_{i},b_{j}$ in einem archimedisch angeordneten Körper und ${}a_{r},b_{s}\neq 0$ kann man durch einen einfachen Standardtrick den Grenzwert bestimmen. Man multipliziert Zähler und Nenner mit ${}n^{-s}$ und erhält somit die auf den ersten Blick kompliziertere Darstellung

${}{\begin{aligned}x_{n}&={\frac {\,\,\,{\frac {a_{r}n^{r}+a_{r-1}n^{r-1}+\cdots +a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}{\,\,\,{\frac {b_{s}n^{s}+b_{s-1}n^{s-1}+\cdots +b_{2}n^{2}+b_{1}n+b_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}}\\&={\frac {\,\,\,{\frac {a_{r}n^{r}}{n^{s}}}+{\frac {a_{r-1}n^{r-1}}{n^{s}}}+\cdots +{\frac {a_{2}n^{2}}{n^{s}}}+{\frac {a_{1}n}{n^{s}}}+{\frac {a_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}{\,\,\,{\frac {b_{s}n^{s}}{n^{s}}}+{\frac {b_{s-1}n^{s-1}}{n^{s}}}+\cdots +{\frac {b_{2}n^{2}}{n^{s}}}+{\frac {b_{1}n}{n^{s}}}+{\frac {b_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}}\\&={\frac {\,\,\,{\frac {a_{r}}{n^{s-r}}}+{\frac {a_{r-1}}{n^{s-r-1}}}+\cdots +{\frac {a_{2}}{n^{s-2}}}+{\frac {a_{1}}{n^{s-1}}}+{\frac {a_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}{\,\,\,b_{s}+{\frac {b_{s-1}}{n}}+\cdots +{\frac {b_{2}}{n^{s-2}}}+{\frac {b_{1}}{n^{s-1}}}+{\frac {b_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}}.\end{aligned}}$

Nach Lemma 44.12  (1) konvergiert der Nenner gegen ${}b_{s}$. da die Summanden bis auf den ersten Summanden Nullfolgen sind. Der Zähler konvergiert bei ${}s>r$ gegen ${}0$ und bei ${}s=r$ gegen ${}a_{r}$. Im ersten Fall liegt insgesamt eine Nullfolge vor, im zweiten Fall konvergiert die Folge geben ${}{\frac {a_{r}}{b_{r}}}$.

Beispiel

Zu jedem Element ${}x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ gibt es nach Korollar 28.10 eine eindeutig bestimmte Dezimalbruchfolge, die gegen ${}x$ konvergiert. Zu zwei Elementen ${}x$ und ${}y$ muss dabei die Dezimalbruchfolge der Summe ${}x+y$ nicht die (gliedweise genommene) Summe der einzelnen Dezimalbruchfolgen sein. Beispielsweise ist die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl ${}{\frac {7}{9}}$ gleich

${\frac {7}{10}},\,{\frac {77}{100}},\,{\frac {777}{1000}},\,{\frac {7777}{10000}},\,{\frac {77777}{100000}},\,\ldots$

und die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl ${}{\frac {8}{9}}$ gleich

${\frac {8}{10}},\,{\frac {88}{100}},\,{\frac {888}{1000}},\,{\frac {8888}{10000}},\,{\frac {88888}{100000}},\,\ldots .$

Die Summe dieser beiden Folgen ist

${\frac {15}{10}},\,{\frac {165}{100}},\,{\frac {1665}{1000}},\,{\frac {16665}{10000}},\,{\frac {166665}{100000}},\,\ldots .$

Dagegen besitzt

${}{\frac {7}{9}}+{\frac {8}{9}}={\frac {15}{9}}\,$

die Dezimalbruchfolge

${\frac {16}{10}},\,{\frac {166}{100}},\,{\frac {1666}{1000}},\,{\frac {16666}{10000}},\,{\frac {1666666}{100000}},\,\ldots .$

Die oben angegebene Summenfolge konvergiert zwar gegen ${}{\frac {15}{9}}$, sie ist aber keine Dezimalbruchfolge.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann ist

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 44.17.

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Die folgende Aussage heißt Quetschkriterium.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte

$x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$.

Dann konvergiert auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$.

Beweis

Siehe Aufgabe 44.19.

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