Kurs:Körper- und Galoistheorie/18/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	3	5	5	5	4	4	9	5	13	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
2. Ein Normalteiler ${}N$ in einer Gruppe ${}G$.
3. Eine Radikalerweiterung (von Körpern).
4. Die Charaktergruppe zu einer kommutativen Gruppe ${}D$ mit Werten in einem Körper ${}K$.
5. Die Konjugationsklassen auf einer Gruppe ${}G$.
6. Algebraisch unabhängige Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ in einer ${}R$-Algebra ${}A$.

Lösung

1. Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.
2. Ein Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn

   ${}xH=Hx\,$

   für alle ${}x\in G$ ist.

3. Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt eine Radikalerweiterung, wenn es Zwischenkörper

   ${}K\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{n-1}\subseteq L_{n}=L\,$

   derart gibt, dass ${}L_{i}\subseteq L_{i+1}$ für jedes ${}i$ eine einfache Radikalerweiterung ist.

4. Man nennt die Menge der Charaktere

   ${}D^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(D,K)={\left\{\chi :D\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,$

   die Charaktergruppe von ${}G$ (in ${}K$).

5. Man nennt die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.
6. Die Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ heißen algebraisch unabhängig (über ${}R$), wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom ${}P\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bei der Einsetzung

   ${}P(f_{1},\ldots ,f_{n})\neq 0\,$

   gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${}R$.
2. Der Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.
3. Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.

Lösung

1. In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
2. Sei ${}K$ ein endlicher Körper. Dann besitzt ${}K$ genau ${}p^{n}$ Elemente, wobei ${}p$ eine Primzahl ist und ${}n\geq 1$.
3. Ein reguläres ${}n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von ${}n$ die Gestalt

   ${}n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$

   hat, wobei die ${}p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass ${}K$ nicht endlich sein kann.

Lösung Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

wann ${}f$ ein Nichtnullteiler und wann ${}f$ eine Einheit ist.

Lösung

Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:

${}f$ ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle ${}g\in R$ aus ${}fg=0$ folgt ${}g=0$. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von ${}\mu _{f}$ nur aus ${}0$ besteht, was genau dann gilt, wenn ${}\mu _{f}$ injektiv ist.

${}f$ ist eine Einheit genau dann, wenn es ein ${}g\in R$ gibt mit ${}fg=1$, was genau dann der Fall ist, wenn ${}1$ zum Bild von ${}\mu _{f}$ gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass ${}\mu _{f}$ surjektiv ist, denn aus ${}fg=1$ folgt sofort ${}h=(fg)h=f(gh)$ für jedes ${}h\in R$.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element ${}f\in L$ in einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ irreduzibel ist.

Lösung

Es sei ${}P=P_{1}P_{2}$ eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in ${}L$ die Beziehung

${}0=P(f)=P_{1}(f)P_{2}(f)\,.$

Da ${}L$ ein Körper ist, muss ein Faktor ${}0$ sein, sagen wir ${}P_{1}(f)=0$. Da aber ${}P$ unter allen Polynomen ${}\neq 0$, die ${}f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen ${}P$ und ${}P_{1}$ den gleichen Grad besitzen und folglich muss ${}P_{2}$ konstant (${}\neq 0$), also eine Einheit sein.

Aufgabe (5 (3+1+1) Punkte)

Es sei ${}M$ die Menge aller Zwischenkörper zwischen ${}\mathbb {Q}$ und ${}{\mathbb {C} }$. Für Körper ${}K_{1},K_{2}\in M$ setzen wir ${}K_{1}\sim K_{2}$, falls es einen Körper ${}L\in M$ mit ${}K_{1}\subseteq L$ und ${}K_{2}\subseteq L$ endlich gibt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Ist ${}\mathbb {R} \sim {\mathbb {C} }$?
3. Ist ${}\mathbb {Q} \sim {\mathbb {C} }$?

Lösung

1. Die Reflexivität ist klar, da man bei ${}K_{1}=K_{2}$ einfach ${}L=K_{1}$ nehmen kann, da die Identität eine endliche Körpererweiterung ist. Die Symmetrie ist unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien Körper ${}K_{1},K_{2},K_{3},L_{1},L_{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ mit ${}K_{1},K_{2}\subseteq L_{1}$ und ${}K_{2},K_{3}\subseteq L_{2}$ endlich gegeben. Insbesondere sind ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ endliche Oberkörper von ${}K_{2}$. Wir können

   ${}L_{1}=K_{2}[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,$

   mit ${}x_{i}\in L$ schreiben, die über ${}K_{2}$ algebraisch sind. Damit ist

   ${}L_{3}:=L_{2}[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,$

   eine endliche Körpererweiterung, die ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ und damit auch ${}K_{1},K_{2},K_{3}$ umfasst. Nach der Gradformel ist ${}L_{3}$ endlich über diesen Körpern und daher sind auch ${}K_{1}$ und ${}K_{3}$ äquivalent.

2. ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$ sind zueinander äquivalent, da ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}2$ ist.
3. ${}\mathbb {Q}$ und ${}{\mathbb {C} }$ sind nicht zueinander äquivalent, da es in ${}{\mathbb {C} }$ über ${}\mathbb {Q}$ transzendente Elemente gibt, die nicht in einer endlichen Erweiterung von ${}\mathbb {Q}$ liegen können.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom von

${\frac {X^{3}-{\left(2X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{3}-1+X^{2}{\mathrm {i} }}}\in {\mathbb {C} }(X)$

über ${}\mathbb {R} (X)$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\frac {X^{3}-{\left(2X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{3}-1+X^{2}{\mathrm {i} }}}&={\frac {X^{3}-{\left(2X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{3}-1+X^{2}{\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {X^{3}-1-X^{2}{\mathrm {i} }}{X^{3}-1-X^{2}{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {X^{3}{\left(X^{3}-1\right)}-{\left(2X^{4}-X\right)}X^{2}+{\left(-X^{5}-{\left(2X^{4}-X\right)}{\left(X^{3}-1\right)}\right)}{\mathrm {i} }}{{\left(X^{3}-1\right)}^{2}+X^{4}}}\\&={\frac {X^{6}-X^{3}-2X^{6}+X^{3}+{\left(-X^{5}-2X^{7}+2X^{4}+X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}\\&={\frac {-X^{6}+{\left(-2X^{7}-X^{5}+3X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}\\&={\frac {-X^{6}}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}+{\frac {-2X^{7}-X^{5}+3X^{4}-X}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Für ein Element ${}a+b{\mathrm {i} }\in K[{\mathrm {i} }]$ über einem Körper ${}K$ (in dem ${}-1$ kein Quadrat ist) ist das Minimalpolynom generell gleich

$T^{2}-2aT+a^{2}+b^{2}.$

Im vorliegenden Fall ist das Minimalpolynom also gleich

${}{\begin{aligned}&=T^{2}-2{\frac {-X^{6}}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}T+{\left({\frac {-X^{6}}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}\right)}^{2}+{\left({\frac {-2X^{7}-X^{5}+3X^{4}-X}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}\right)}^{2}\\&=T^{2}+2{\frac {X^{6}}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}T+{\frac {X^{12}+4X^{14}+X^{10}+9X^{8}+X^{2}+4X^{12}-12X^{11}+4X^{8}-6X^{9}+2X^{6}-6X^{5}}{X^{12}+X^{8}+4X^{6}+1+2X^{10}-4X^{9}+2X^{6}-4X^{7}+2X^{4}-4X^{3}}}\\&=T^{2}+2{\frac {X^{6}}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}T+{\frac {4X^{14}+5X^{12}-12X^{11}+X^{10}-6X^{9}+13X^{8}+X^{2}+2X^{6}-6X^{5}}{X^{12}+2X^{10}-4X^{9}+X^{8}-4X^{7}+6X^{6}+2X^{4}-4X^{3}+1}}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der algebraische Abschluss einer Körpererweiterung ein Körper ist.

Lösung

Wir müssen zeigen, dass ${}M$ bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Seien ${}x,y\in M$. Wir betrachten die von ${}x$ und ${}y$ erzeugte ${}K$-Unteralgebra ${}U=K[x,y]$, die aus allen ${}K$-Linearkombinationen der ${}x^{i}y^{j}$, ${}i,j\in \mathbb {N}$, besteht. Da sowohl ${}x$ als auch ${}y$ algebraisch sind, kann man nach Satz 10.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) gewisse Potenzen ${}x^{n}$ und ${}y^{m}$ durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen ${}x^{i}y^{j}$, ${}i<n$, ${}j<m$, ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach Satz 10.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) wieder algebraisch. Für das Inverse sei ${}z\neq 0$ algebraisch. Dann ist ${}K[z]$ nach Satz 10.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist ${}z^{-1}\in K[z]$ selbst algebraisch.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{27}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{27}$

bezüglich einer geeigneten ${}{\mathbb {F} }_{3}$- Basis von ${}{\mathbb {F} }_{27}$.

Lösung

Das Polynom ${}X^{3}+2X+1$ ist irreduzibel in ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$, da es keine Nullstellen hat. Also ist

${}{\mathbb {F} }_{27}\cong \mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{3}+2X+1\right)}\,,$

wir nehmen ${}1,X,X^{2}$ als ${}\mathbb {Z} /(3)$- Basis. Der Frobenius sendet ${}1$ auf ${}1$, ${}X$ auf

${}X^{3}=-2X-1=X+2\,$

und ${}X^{2}$ auf

${}X^{6}=(X+2)^{2}=X^{2}+4X+4=X^{2}+X+1\,.$

Die beschreibende Matrix ist also

${\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{\geq 3}$ und sei ${}\alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}$. Betrachte die im Ring der reellen ${}2\times 2$-Matrizen von den Matrizen ${}{\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{pmatrix}}$, ${}k=0,1,\ldots ,n-1$,

erzeugte ${}\mathbb {Q}$-Unteralgebra ${}A$.

1. Mit wie vielen Matrizen kann man ${}A$ minimal erzeugen?
2. Ist diese Algebra kommutativ?
3. Ist diese Algebra ein Körper?
4. Ist diese Algebra ein endlichdimensionaler ${}\mathbb {Q}$- Vektorraum? Falls ja, was ist seine Dimension?

Lösung

1. Es genügt die Drehmatrix zu ${}k=1$, also

   ${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}},$

   da ja

   ${}{\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}^{k}\,$

   ist. Wegen ${}n\geq 3$ kann man auf diese nicht verzichten.

2. Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$, der von

   ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}=\cos 360^{\circ }/n+{\mathrm {i} }\sin 360^{\circ }/n=\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \,$

   erzeugt wird. Wir betrachten die surjektive Abbildung

   $K_{n}\longrightarrow A,$

   die durch ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\mapsto {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$ gegeben ist. Diese ist wohldefiniert und bijektiv, da eine Summe

   $\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}^{i}$

   genau dann ${}0$ ist, wenn dies in der ersten Spalte gilt. Somit liegt ein ${}\mathbb {Q}$- Algebraautomorphismus vor und alle Eigenschaften übertragen sich vom Kreisteilungskörper. Insbesondere ist die Algebra kommutativ

3. und ein Körper
4. der endlichen ${}\mathbb {Q}$-Dimension ${}{\varphi (n)}$.

Aufgabe (9 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über ${}\mathbb {Q}$.

Lösung

Nach Korollar 19.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist

${}K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\,,$

wobei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom ist. Dieses ist das Produkt ${}\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})$ über alle primitiven Einheitswurzeln und damit vom Grad ${}{\varphi (n)}$. Da der Kreisteilungskörper all diese primitiven Einheitswurzeln enthält, zerfällt das Kreisteilungspolynom über ${}K_{n}$ in Linearfaktoren und daher ist ${}K_{n}$ der Zerfällungskörper des Kreisteilungspolynoms und somit nach Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine Galoiserweiterung.

Es sei nun ${}\zeta$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel, und zwar diejenige, die bei der obigen Restklassenidentifizierung der Variablen ${}X$ entspricht. Zu ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist ${}\zeta ^{a}$ ebenfalls eine primitive Einheitswurzel. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus

$\mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n}),\,X\longmapsto \zeta ^{a}.$

Dieser ist surjektiv, da ${}\zeta ^{a}$ den Kreisteilungskörper erzeugt. Wegen ${}\Phi _{n}{\left(\zeta ^{a}\right)}=0$ induziert dies einen Automorphismus

$\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\longrightarrow \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n}),\,\zeta \longmapsto \zeta ^{a}.$

Dadurch erhalten wir eine Zuordnung

$(\mathbb {Z} /(n))^{\times }\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} ),\,a\longmapsto \varphi _{a}.$

Für ${}a,a'\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist

${}\varphi _{aa'}(\zeta )=\zeta ^{aa'}={\left(\zeta ^{a'}\right)}^{a}=\varphi _{a}{\left(\zeta ^{a'}\right)}=\varphi _{a}(\varphi _{a'}(\zeta ))=(\varphi _{a}\circ \varphi _{a'})(\zeta )\,,$

sodass ${}\varphi _{aa'}=\varphi _{a}\circ \varphi _{a'}$ gilt (da die Automorphismen auf dem Erzeuger ${}\zeta$ festgelegt sind). Die Zuordnung ist also ein Gruppenhomomorphismus. Für verschiedene Einheiten ${}a\neq a'$ ist ${}\zeta ^{a}\neq \zeta ^{a'}$ und somit ${}\varphi _{a}\neq \varphi _{a'}$. Die Abbildung ist also injektiv. Da es links und rechts ${}{\varphi (n)}$ Elemente gibt, ist die Abbildung eine Bijektion.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass man aus ${}\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ als Startmenge den gesamten ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Lösung

Die ${}x-$Achse ist als Gerade aus der Startmenge konstruierbar. Die Zahlen ${}{\sqrt {2}}$ und ${}2{\sqrt {2}}$ gehören zur Startmenge. Somit kann man den Nullpunkt ${}(0,0)$ konstruieren, indem man den Kreis um ${}({\sqrt {2}},0)$ durch ${}(2{\sqrt {2}},0)$ schlägt und den Schnittpunkt mit der ${}x$-Achse nimmt. Somit kann man auch die ${}y$-Achse gemäß Lemma 24.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))  (2) konstruieren. Auf der ${}y$-Achse kann man auch den Punkt ${}(0,{\sqrt {2}})$ konstruieren. Der Abstand von ${}({\sqrt {2}},0)$ zu ${}(0,{\sqrt {2}})$ beträgt nach dem Satz des Pythagoras ${}2$. Da Parallelogramme konstruierbar sind, ist somit auch die Zahl ${}2$ (also der Punkt ${}(2,0)$) konstruierbar. Damit sind aber überhaupt alle rationalen Zahlen konstruierbar und somit sind alle reellen Zahlen aus der gegebenen Startmenge konstruierbar. Diese sind auf die ${}y$-Achse übertragbar und daher sind gemäß Lemma 24.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) alle Punkte der Ebene konstruierbar.

Aufgabe (13 (2+2+2+1+6) Punkte)

Das Polynom ${}Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\in {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]$ ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung

${}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Es sei ${}\zeta$ eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei ${}G=\{1,\zeta ,\zeta ^{2}\}$ die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.

1. Zeige, dass durch

   $X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,Z\mapsto \zeta Z$

   ein ${}{\mathbb {C} }(X,Y)$-Automorphismus auf ${}L$ gegeben ist.

2. Zeige, dass ${}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist.
3. Zeige, dass ${}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq L$ eine graduierte Körpererweiterung ist.
4. Zeige, dass durch

   $X\mapsto \zeta X,\,Y\mapsto \zeta Y,\,Z\mapsto \zeta ^{2}Z$

   ein ${}{\mathbb {C} }$-Automorphismus auf ${}L$ der Ordnung ${}3$ gegeben ist.

5. Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.

Lösung

1. Wir betrachten den ${}{\mathbb {C} }(X,Y)$- Algebrahomomorphismus

   $\alpha \colon {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]\longrightarrow {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)},\,Z\longmapsto \zeta Z.$

   Dieser ist offenbar surjektiv und sendet ${}Z^{3}$ auf ${}\zeta ^{3}Z^{3}=Z^{3}$, daher wird das Ideal ${}{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}$ auf ${}0$ abgeildet und es wird ein Automorphismus

   ${\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}$

   induziert.

2. Der Körper ${}{\mathbb {C} }(X,Y)$ gehört zum Fixkörper. Als ${}{\mathbb {C} }(X,Y)$-Vektorraum hat ${}L$ die Struktur

   ${}L={\mathbb {C} }(X,Y)\oplus {\mathbb {C} }(X,Y)Z\oplus {\mathbb {C} }(X,Y)Z^{2}\,.$

   Der erzeugende Automorphismus respektiert diese Zerlegung, und daher ist ${}{\mathbb {C} }(X,Y)$ der Fixkörper. Über dem Fixkörper zu einer endlichen Gruppe liegt aber stets eine Galoiserweiterung vor.

3. Wir betrachten die Darstellung als direkte Summe aus Teil (2). Daraus ist unmittelbar die graduierende Struktur mit der graduierenden Gruppe ${}\mathbb {Z} /(3)$ ablesbar. Wegen

   ${}Z^{3}=X^{3}+Y^{3}\in {\mathbb {C} }(X,Y)\,$

   ist diese Graduierung in der Tat mit der Multiplikation verträglich.

4. Durch ${}X\mapsto \zeta X$ und ${}Y\mapsto \zeta Y$ wird zunächst ein ${}{\mathbb {C} }$-Automorphismus

   ${\mathbb {C} }[X,Y]\longrightarrow {\mathbb {C} }[X,Y]$

   und damit auch auf dem Quotientenkörper

   ${\mathbb {C} }(X,Y)\longrightarrow {\mathbb {C} }(X,Y)$

   festgelegt. Durch ${}Z\mapsto \zeta ^{2}Z$ wird sodann ein ${}{\mathbb {C} }$-Algebramorphismus

   ${\mathbb {C} }(X,Y)[Z]\longrightarrow {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}$

   festgelegt, der seinerseits wieder zu einem Automorphismus

   ${\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}$

   führt. Die dritte Iteration davon ist durch ${}X\mapsto \zeta ^{3}X=X$, ${}Y\mapsto \zeta ^{3}Y=Y$, ${}Z\mapsto \zeta ^{6}Z=Z$, bestimmt, also die Identität. Somit ist die Ordnung ${}3$.

5. Wir behaupten, dass der Fixkörper der rationale Funktionenkörper in den zwei Erzeugern ${}{\frac {X}{Y}}$ und ${}{\frac {Z^{2}}{Y}}$ ist. Diese beiden Elemente werden offenbar auf sich selbst abgebildet. Bezeichnen wir diesen Körper mit

   ${}M={\mathbb {C} }{\left({\frac {X}{Y}},{\frac {Z^{2}}{Y}}\right)}\,.$

   Zunächst gehört

   ${}{\left({\frac {Z}{Y}}\right)}^{3}={\left({\frac {X}{Y}}\right)}^{3}+1\,$

   zu ${}M$. Ferner gehört auch

   ${}{\frac {Z}{Y^{2}}}={\frac {Z^{3}}{Y^{3}}}\cdot {\frac {Y}{Z^{2}}}\,$

   dazu. Damit gehört auch

   ${}YZ={\frac {Z^{2}}{Y}}\cdot {\frac {Y^{2}}{Z}}\,$

   dazu. Also gehört auch

   ${}Z^{3}=YZ\cdot {\frac {Z^{2}}{Y}}\,$

   und damit auch ${}Y^{3}$ und ${}X^{3}$ dazu. Damit ist

   ${}M\subseteq {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}\,$

   endlich und insbesondere sind die beiden Erzeuger ${}{\frac {X}{Y}}$ und ${}{\frac {Z^{2}}{Y}}$ algebraisch unabhängig und ${}M$ ist ein rationaler Funktionenkörper in zwei Variablen. Wir behaupten, dass ${}L$ über ${}M$ von ${}X$ erzeugt wird. Zu

   $M[X]$

   gehört aber direkt auch ${}Y$ und ${}Z^{2}$ und wegen ${}Z^{3}\in M$ gehört auch ${}Z$ dazu. Also ist

   ${}M[X]=L\,$

   und es liegt die entsprechende Situation zu (2), (3) vor. Insbesondere ist ${}M$ der Fixkörper.