Kurs:Körper- und Galoistheorie/18/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 2 3 3 5 5 5 4 4 9 5 13 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine endliche Körpererweiterung .
  2. Ein Normalteiler in einer Gruppe .
  3. Eine Radikalerweiterung (von Körpern).
  4. Die Charaktergruppe zu einer kommutativen Gruppe mit Werten in einem Körper .
  5. Die Konjugationsklassen auf einer Gruppe .
  6. Algebraisch unabhängige Elemente in einer -Algebra .


Lösung

  1. Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.
  2. Ein Untergruppe ist ein Normalteiler, wenn

    für alle ist.

  3. Eine Körpererweiterung heißt eine Radikalerweiterung, wenn es Zwischenkörper

    derart gibt, dass für jedes eine einfache Radikalerweiterung ist.

  4. Man nennt die Menge der Charaktere

    die Charaktergruppe von (in ).

  5. Man nennt die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.
  6. Die Elemente heißen algebraisch unabhängig (über ), wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom bei der Einsetzung

    gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich .
  2. Der Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.
  3. Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.


Lösung

  1. In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
  2. Sei ein endlicher Körper. Dann besitzt genau Elemente, wobei eine Primzahl ist und .
  3. Ein reguläres -Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von die Gestalt
    hat, wobei die verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass nicht endlich sein kann.


Lösung Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Lösung

Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:

ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle aus folgt . Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von nur aus besteht, was genau dann gilt, wenn injektiv ist.

ist eine Einheit genau dann, wenn es ein gibt mit , was genau dann der Fall ist, wenn zum Bild von gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass surjektiv ist, denn aus folgt sofort für jedes .


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element in einer Körpererweiterung irreduzibel ist.


Lösung

Es sei eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in die Beziehung

Da ein Körper ist, muss ein Faktor sein, sagen wir . Da aber unter allen Polynomen , die annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen und den gleichen Grad besitzen und folglich muss konstant (), also eine Einheit sein.


Aufgabe (5 (3+1+1) Punkte)

Es sei die Menge aller Zwischenkörper zwischen und . Für Körper setzen wir , falls es einen Körper mit und endlich gibt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Ist ?
  3. Ist ?


Lösung

  1. Die Reflexivität ist klar, da man bei einfach nehmen kann, da die Identität eine endliche Körpererweiterung ist. Die Symmetrie ist unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien Körper mit und endlich gegeben. Insbesondere sind und endliche Oberkörper von . Wir können

    mit schreiben, die über algebraisch sind. Damit ist

    eine endliche Körpererweiterung, die und und damit auch umfasst. Nach der Gradformel ist endlich über diesen Körpern und daher sind auch und äquivalent.

  2. und sind zueinander äquivalent, da eine endliche Körpererweiterung vom Grad ist.
  3. und sind nicht zueinander äquivalent, da es in über transzendente Elemente gibt, die nicht in einer endlichen Erweiterung von liegen können.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom von

über .


Lösung

Es ist

Für ein Element über einem Körper (in dem kein Quadrat ist) ist das Minimalpolynom generell gleich

Im vorliegenden Fall ist das Minimalpolynom also gleich


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der algebraische Abschluss einer Körpererweiterung ein Körper ist.


Lösung

Wir müssen zeigen, dass bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Seien . Wir betrachten die von und erzeugte -Unteralgebra , die aus allen -Linearkombinationen der , , besteht. Da sowohl  als auch algebraisch sind, kann man nach Satz 10.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) gewisse Potenzen und durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen , , , ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach Satz 10.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) wieder algebraisch. Für das Inverse sei algebraisch. Dann ist nach Satz 10.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist selbst algebraisch.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Lösung

Das Polynom ist irreduzibel in , da es keine Nullstellen hat. Also ist

wir nehmen als -Basis. Der Frobenius sendet auf , auf

und auf

Die beschreibende Matrix ist also


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Sei und sei . Betrachte die im Ring der reellen -Matrizen von den Matrizen , ,

erzeugte -Unteralgebra .
  1. Mit wie vielen Matrizen kann man minimal erzeugen?
  2. Ist diese Algebra kommutativ?
  3. Ist diese Algebra ein Körper?
  4. Ist diese Algebra ein endlichdimensionaler -Vektorraum? Falls ja, was ist seine Dimension?


Lösung

  1. Es genügt die Drehmatrix zu , also

    da ja

    ist. Wegen kann man auf diese nicht verzichten.

  2. Es sei der -te Kreisteilungskörper über , der von

    erzeugt wird. Wir betrachten die surjektive Abbildung

    die durch gegeben ist. Diese ist wohldefiniert und bijektiv, da eine Summe

    genau dann ist, wenn dies in der ersten Spalte gilt. Somit liegt ein -Algebraautomorphismus vor und alle Eigenschaften übertragen sich vom Kreisteilungskörper. Insbesondere ist die Algebra kommutativ

  3. und ein Körper
  4. der endlichen -Dimension .


Aufgabe (9 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über .


Lösung

Nach Korollar 19.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist

wobei das -te Kreisteilungspolynom ist. Dieses ist das Produkt über alle primitiven Einheitswurzeln und damit vom Grad . Da der Kreisteilungskörper all diese primitiven Einheitswurzeln enthält, zerfällt das Kreisteilungspolynom über in Linearfaktoren und daher ist der Zerfällungskörper des Kreisteilungspolynoms und somit nach Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine Galoiserweiterung.

Es sei nun eine primitive -te Einheitswurzel, und zwar diejenige, die bei der obigen Restklassenidentifizierung der Variablen entspricht. Zu ist ebenfalls eine primitive Einheitswurzel. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus

Dieser ist surjektiv, da den Kreisteilungskörper erzeugt. Wegen induziert dies einen Automorphismus

Dadurch erhalten wir eine Zuordnung

Für ist

so dass gilt (da die Automorphismen auf dem Erzeuger festgelegt sind). Die Zuordnung ist also ein Gruppenhomomorphismus. Für verschiedene Einheiten ist und somit . Die Abbildung ist also injektiv. Da es links und rechts Elemente gibt, ist die Abbildung eine Bijektion.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass man aus als Startmenge den gesamten mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.


Lösung

Die Achse ist als Gerade aus der Startmenge konstruierbar. Die Zahlen und gehören zur Startmenge. Somit kann man den Nullpunkt konstruieren, indem man den Kreis um durch schlägt und den Schnittpunkt mit der -Achse nimmt. Somit kann man auch die -Achse gemäß Lemma 24.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))  (2) konstruieren. Auf der -Achse kann man auch den Punkt konstruieren. Der Abstand von zu beträgt nach dem Satz des Pythagoras . Da Parallelogramme konstruierbar sind, ist somit auch die Zahl (also der Punkt ) konstruierbar. Damit sind aber überhaupt alle rationalen Zahlen konstruierbar und somit sind alle reellen Zahlen aus der gegebenen Startmenge konstruierbar. Diese sind auf die -Achse übertragbar und daher sind gemäß Lemma 24.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) alle Punkte der Ebene konstruierbar.


Aufgabe (13 (2+2+2+1+6) Punkte)

Das Polynom ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung

vom Grad . Es sei eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.

  1. Zeige, dass durch

    ein -Automorphismus auf gegeben ist.

  2. Zeige, dass eine Galoiserweiterung ist.
  3. Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung ist.
  4. Zeige, dass durch

    ein -Automorphismus auf der Ordnung gegeben ist.

  5. Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.


Lösung

  1. Wir betrachten den -Algebrahomomorphismus

    Dieser ist offenbar surjektiv und sendet auf , daher wird das Ideal auf abgeildet und es wird ein Automorphismus

    induziert.

  2. Der Körper gehört zum Fixkörper. Als -Vektorraum hat die Struktur

    Der erzeugende Automorphismus respektiert diese Zerlegung, und daher ist der Fixkörper. Über dem Fixkörper zu einer endlichen Gruppe liegt aber stets eine Galoiserweiterung vor.

  3. Wir betrachten die Darstellung als direkte Summe aus Teil (2). Daraus ist unmittelbar die graduierende Struktur mit der graduierenden Gruppe ablesbar. Wegen

    ist diese Graduierung in der Tat mit der Multiplikation verträglich.

  4. Durch und wird zunächst ein -Automorphismus

    und damit auch auf dem Quotientenkörper

    festgelegt. Durch wird sodann ein -Algebramorphismus

    festgelegt, der seinerseits wieder zu einem Automorphismus

    führt. Die dritte Iteration davon ist durch , , , bestimmt, also die Identität. Somit ist die Ordnung .

  5. Wir behaupten, dass der Fixkörper der rationale Funktionenkörper in den zwei Erzeugern und ist. Diese beiden Elemente werden offenbar auf sich selbst abgebildet. Bezeichnen wir diesen Körper mit

    Zunächst gehört

    zu . Ferner gehört auch

    dazu. Damit gehört auch

    dazu. Also gehört auch

    und damit auch und dazu. Damit ist

    endlich und insbesondere sind die beiden Erzeuger und algebraisch unabhängig und ist ein rationaler Funktionenkörper in zwei Variablen. Wir behaupten, dass über von erzeugt wird. Zu

    gehört aber direkt auch und und wegen gehört auch dazu. Also ist

    und es liegt die entsprechende Situation zu (2), (3) vor. Insbesondere ist der Fixkörper.