Kurs:Lineare Algebra/Teil I/19/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 2 2 4 2 1 2 5 4 6 2 7 4 5 7 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge zu einer Familie , .
  2. Eine -Matrix über einem Körper .
  3. Die Determinante eines Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .

  4. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  5. Das charakteristische Polynom zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper .
  6. Die Dimension eines affinen Raumes .


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    die Produktmenge der .

  2. Eine -Matrix über ist ein Schema der Form

    wobei die aus sind.

  3. Die Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben. Dann nennt man

    die Determinante der linearen Abbildung .

  4. Man nennt

    die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.

  5. Das Polynom

    heißt charakteristisches Polynom von .

  6. Man nennt die Dimension von , wenn es in eine affine Basis mit Elementen gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten -Vektorraum .
  2. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .
  3. Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.


Lösung

  1. Unter den gegebenen Bedingungen besitzt eine endliche Basis.
  2. Ein Element ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
  3. Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

    eine lineare Abbildung. Es sei . Dann ist


Aufgabe (2 Punkte)

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?


Lösung

Karl hat nicht an Susanne gedacht, da er sonst einen Kloß im Hals bekommen hätte, was er nicht hat. Andererseits bekommt er einen roten Kopf, was bedeutet, dass er das leere Tor nicht getroffen hat oder an Susanne gedacht hat. Da letzteres nicht der Fall ist, hat er das leere Tor nicht getroffen.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Lösung

Sei . Das bedeutet und . Dies wiederum bedeutet oder . Somit ist insgesamt .

Sei nun umgekehrt . Bei ist und und somit ist insbesondere . Ist hingegen , so ist bei die Zugehörigkeit zur linken Menge schon erwiesen. Also müssen wir nur noch den Fall betrachten. In diesem Fall ist und somit ist ebenfalls .


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne


Lösung

Nach dem binomischen Lehrsatz ist


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.


Lösung

Es ist

aber


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).


  1. AY 3 8910 obwiednia 1100.svg










  2. Primka.png











  3. Point and line.png











  4. Disk 1.svg












  5. Zero-dimension.GIF







Lösung

2 (Gerade) und 5 (Punkt) können als Lösungsmenge eines Gleichungssystems auftreten, die anderen nicht.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise das Superpositionsprinzip für lineare Gleichungssysteme.


Lösung

Aufgrund des Distributivgesetzes für die Matrizenmultiplikation ist direkt


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien und . Zeige


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über . Die Fälle

sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Axiomen für einen Vektorraum.

Die Aussage für und beliebige beweisen für durch Induktion nach , wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Sei die Aussage für ein schon bewiesen, und seien Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles und der Induktionsvoraussetzung

Wir betrachten nun die Aussage für ein festes und beliebige . Für ist diese Aussage bereits bewiesen. Sei diese Aussage nun für ein festes schon bewiesen Es seien Skalare und Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle und der Induktionsvoraussetzung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper. Der -Vektorraum sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme die Untervektorräume , die unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.


Lösung

Die Untervektorräume des sind der Nullraum, die Geraden durch den Nullpunkt und die Gesamtebene. Der Nullraum und die Ebene sind offenbar unter der komponentenweisen Multiplikation abgeschlossen. Eine Gerade durch den Nullpunkt hat entweder die Form

oder

mit einem . Die erstgenannte Gerade (die -Achse) ist multiplikativ abgeschlossen, da ja

wieder dazu gehört. Sei also

Die multiplikative Abgeschlossenheit bedeutet, dass für beliebige das Produkt

wieder auf der Geraden liegt. Dies ist genau bei

der Fall, also bei

was oder bedeutet. Es sind also auch noch die -Achse und die Diagonale unter der Multiplikation abgeschlossen, und keine weiteren Untervektorräume.


Aufgabe (6 Punkte)

Es seien und Matrizen über einem Körper mit

Zeige, dass dann auch

gilt.


Lösung

Die Bedingung

bedeutet ausgeschrieben

Wegen der ersten und der vierten Gleichung sind und . Aus der zweiten Gleichung folgt nach Fakt *****, dass es ein gibt mit

und

Aus der ersten Gleichung ergibt sich

und somit

und

und

Aus der dritten Gleichung folgt, dass es ein gibt mit

und

Aus der vierten Gleichung ergibt sich

und somit

und

und

Somit ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum und . Zu jedem gebe es eine Linearform

mit

Zeige, dass die linear unabhängig sind.


Lösung

Wir betrachten die Gesamtabbildung

Unter dieser Abbildung wird der Vektor auf den Standardvektor im abgebildet. Da diese linear unabhängig sind, müssen auch die linear unabhängig sein.


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass das Signum einer Transposition gleich ist.


Lösung

Die Transposition vertausche die beiden Zahlen . Dann ist

Die letzte Gleichung ergibt sich daraus, dass im ersten und im zweiten Produkt alle Zähler und Nenner positiv sind und dass im dritten und im vierten Produkt die Zähler negativ und die Nenner positiv sind, so dass sich diese (wegen der gleichen Indexmenge) Minuszeichen wegkürzen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Lösung

Aus der Matrix kann man direkt die drei Eigenwerte ablesen. Daher ist die Matrix diagonalisierbar und die Eigenräume sind eindimensional.

Es ist

und der zugehörige Eigenraum ist

Es ist

es ist ein Element des Kernes und somit ist der zugehörige Eigenraum

Es ist

es ist ein Element des Kernes und somit ist der zugehörige Eigenraum


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Sei . Zeige, dass es genau dann einen invarianten Untervektorraum gibt, wenn es eine Basis von gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von die Gestalt

besitzt.


Lösung

Es sei zunächst ein invarianter Untervektorraum der Dimension . Wir wählen eine Basis von und ergänzen sie zu einer Basis von . Wegen der Invarianz ist

für , also

für . Daher sind in der beschreibenden Matrix von bezüglich dieser Matrix in den ersten Spalten und den unteren Zeilen die Einträge .

Wenn umgekehrt eine solche Matrix bezüglich einer Basis vorliegt, so kann man daraus ablesen, dass

für gilt. Dies bedeutet, dass

auf sich selbst abgebildet wird, und damit ist ein -dimensionaler invarianter Untervektorraum gefunden.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für Polynome.


Lösung

Wir betrachten die Menge aller Linearkombinationen

Dies ist ein Ideal von , wie man direkt überprüft. Nach Satz 20.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist dieses Ideal ein Hauptideal, also

mit einem gewissen Polynom . Es ist ein gemeinsamer Teiler der . Wegen ist nämlich

d.h. ist ein Teiler von jedem . Aufgrund einer ähnlichen Überlegung ist

für alle und damit auch

Also ist

Da nach Voraussetzung den maximalen Grad unter allen gemeinsamen Teilern besitzt, muss eine Konstante sein. Also ist

und insbesondere . Also ist eine Linearkombination der .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine Jordan-Matrix. Bestimme die jordansche Normalform der Potenzen für alle .


Lösung

Die Matrix selbst ist eine Jordan-Matrix, also in jordanscher Normalform. Es ist

Diese Abbildung sendet und . Die jordansche Normalform davon ist also

Alle höheren Potenzen von sind die Nullmatrix und dies ist ihre jordansche Normalform.