Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Teiltest/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Punkte 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3 2 2 4 2 1 3 1 3 4 8 5 65




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Eine surjektive Abbildung
  3. Ein Körper.
  4. Eine Linearkombination in einem -Vektorraum.
  5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .
  6. Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  3. Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

    und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

    1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
    2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
    3. Distributivgesetz: Für alle gilt .
  4. Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor

    eine Linearkombination dieser Vektoren

  5. Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

    nur bei für alle möglich ist.

  6. Unter der Dimension eines Vektorraums versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper .
  2. Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper .
  3. Das Basisaustauschlemma.


Lösung

  1. Aus mit folgt oder .
  2. Es sei ein Körper und

    ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über und es sei

    das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn eine Lösung des inhomogenen Systems und eine Lösung des homogenen Systems ist, so ist eine Lösung des inhomogenen Systems.
  3. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einer Basis . Es sei ein Vektor mit einer Darstellung

    wobei sei für ein bestimmtes . Dann ist auch die Familie

    eine Basis von .


Aufgabe (2 Punkte)

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?


Lösung

Karl hat nicht an Susanne gedacht, da er sonst einen Kloß im Hals bekommen hätte, was er nicht hat. Andererseits bekommt er einen roten Kopf, was bedeutet, dass er das leere Tor nicht getroffen hat oder an Susanne gedacht hat. Da letzteres nicht der Fall ist, hat er das leere Tor nicht getroffen.


Aufgabe (3 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Lösung

Es sei der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten

und mit BC50 hat man die Kosten

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

also

Also ist für keine Bahncard die günstigste Option, für ist die BC25 die günstigste Option und für ist die BC50 die günstigste Option.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Lösung

Sei . Das bedeutet und . Dies wiederum bedeutet oder . Somit ist insgesamt .

Sei nun umgekehrt . Bei ist und und somit ist insbesondere . Ist hingegen , so ist bei die Zugehörigkeit zur linken Menge schon erwiesen. Also müssen wir nur noch den Fall betrachten. In diesem Fall ist und somit ist ebenfalls .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die Funktionen

seien durch

und

gegeben.

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne auf zwei unterschiedliche Arten.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist einerseits
    und andererseits


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung mit dem Graphen . Zeige, dass die Abbildung

eine Bijektion zwischen und dem Graphen induziert. Was ist die Verknüpfung von mit der zweiten Projektion


Lösung

Zur Injektivität: Wenn , so ist

da ja jedenfalls die erste Komponente verschieden ist. Zur Surjektivität: Wenn ist, so hat die Gestalt . Also ist . Die Hintereinanderschaltung stimmt wegen

mit überein.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

a) Bestimme das Bild von unter .

b) Bestimme das Urbild von unter .

c) Erstelle eine Wertetabelle für


Lösung

a) Das Bild von ist .

b) Das Urbild von ist .

c)


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper .


Lösung

 Nehmen wir an, dass und beide von verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente und und daher ist . Andererseits ist aber nach Voraussetzung und daher ist nach Lemma 3.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))  (1)

 so dass sich der Widerspruch ergibt.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.


Lösung

Es ist

aber


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft.


Lösung

Die Gerade wird in Punktvektorform durch

beschrieben. Die Gleichungsform hat somit die Gestalt

mit einem zu bestimmenden . Einsetzen des Punktes ergibt , also ist


Aufgabe (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?


Lösung

Es sei der Preis für ein Schneeglöckchen und der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt

und

Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man

und damit

Daraus ergibt sich

und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und hinzunehmen. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für die Teilmenge

welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.


Lösung

Die Nullmatrix erfüllt wegen

die angegebene Bedingung und gehört somit zu . Wenn zwei Matrizen

und

zu gehören, so ist und . Damit ist auch

und somit gehört auch die Summe dieser Matrizen zu . Dagen ist nicht unter Skalarmultiplikation abgeschlossen. Beispielsweise gehört zu , aber

nicht.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).


  1. AY 3 8910 obwiednia 1100.svg










  2. Primka.png











  3. Point and line.png











  4. Disk 1.svg












  5. Zero-dimension.GIF







Lösung

2 (Gerade) und 5 (Punkt) können als Lösungsmenge eines Gleichungssystems auftreten, die anderen nicht.


Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der dritten Gleichung die Variable aus der ersten Gleichung. Das resultierende System ist ()

Wir eliminieren nun aus mittels die Variable , das ergibt ()

Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist

und

Also ist


Aufgabe (1 Punkt)

Man gebe im drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.


Lösung Lineare Unabhängigkeit/R^3/Drei Vektoren paarweise unabhängig/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und es seien Vektoren. Zeige, dass genau dann linear unabhängig sind, wenn linear unabhängig sind.


Lösung

Seien linear unabhängig und sei

eine Darstellung der . Dies bedeutet

woraus wegen der linearen Unabhängigkeit

also

folgt.

Seien nun umgekehrt linear unabhängig und sei

eine Darstellung der . Dann ist

Daraus ergibt sich

und daraus


Aufgabe (4 Punkte)

Im seien die beiden Untervektorräume

und

gegeben. Bestimme eine Basis für .


Lösung

Jeder Vektor aus dem Durchschnitt besitzt eine Darstellung

Die Koeffiziententupel bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch

und die dritte Gleichung durch

Wir wählen , so dass sein muss. Dies legt eindeutig und dann auch fest. Daher ist der Durchschnitt eindimensional und

ist ein Basisvektor von .


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Basisaustauschsatz.


Lösung

Wir führen Induktion über , also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei ist nichts zu zeigen. Sei die Aussage für schon bewiesen und seien linear unabhängige Vektoren

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die

(ebenfalls linear unabhängigen) Vektoren

gibt es eine Teilmenge derart, dass die Familie

eine Basis von ist. Wir wollen auf diese Basis das Austauschlemma anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man

schreiben.  Wären hierbei alle Koeffizienten ,  so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der , . Es gibt also ein mit . Wir setzen . Damit ist eine -elementige Teilmenge von . Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor durch ersetzen und erhält die neue Basis

  Der Zusatz folgt sofort, da eine -elementige Teilmenge einer -elementigen Menge vorliegt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit und . Welche Dimension besitzt der Produktraum ?


Lösung

Der Produktraum besitzt die Dimension . Um dies zu beweisen sei eine Basis von und eine Basis von . Wir behaupten, dass die Elemente

eine Basis von bilden.

Sei . Dann gibt es Darstellungen

Daher ist

d.h., es liegt ein Erzeugendensystem vor.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

angenommen. Die gleiche Rechnung rückwärts ergibt

und das bedeutet

Da es sich jeweils um Basen handelt, folgt für alle und für alle .