Kurs:Lineare Algebra/Teil I/41/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	2	1	3	3	0	2	0	4	7	6	5	1	4	0	0	4	52

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Ring ${}R$.
2. Ein Isomorphismus zwischen ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.
3. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ über einem Körper ${}K$.
4. Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung

   $f\colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

5. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Eine Matrix in jordanscher Normalform.

Lösung

1. Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

   $+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$

   und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${}0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

   1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in R$ gilt ${}a+b=b+a$.
      3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a+0=a$.
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in R$ gibt es ein Element ${}b\in R$ mit ${}a+b=0$.
   2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
      2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$.
   3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.
2. Ein Isomorphismus zwischen ${}V$ und ${}W$ ist eine bijektive lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

3. Die Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

   ${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

   heißt die inverse Matrix von ${}M$.

4. Das eindeutig bestimmte normierte Polynom ${}\mu _{f}\in K[X]$ minimalen Grades mit

   ${}\mu _{f}(f)=0\,$

   heißt das Minimalpolynom von ${}f$.

5. Den Exponenten des linearen Polynoms ${}X-\lambda$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{\varphi }$ nennt man die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$.
6. Eine quadratische Matrix der Form

   ${\begin{pmatrix}J_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&J_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{k-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{k}\end{pmatrix}},$

   wobei die ${}J_{i}$ Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über ${}n$ Vektoren in einem ${}n$- dimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
2. Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.
3. Der Satz von Cayley-Hamilton.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit endlicher Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Für ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.
   1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
   2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
   3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix mit Einträgen in ${}K$. Dann hat die Multiplikation mit den ${}m\times m$- Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung.
   1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
   2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
   3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).
3. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Es sei

   $\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}$

   das charakteristische Polynom zu ${}M$. Dann gilt

   $\chi _{M}\,(M)=M^{n}+c_{n-1}M^{n-1}+\cdots +c_{1}M+c_{0}=0.$

Aufgabe (1 Punkt)

Bruno liest in der Zeitung: „Im letzen Jahr war bei ${}50\%$ aller Autounfälle Alkohol mit im Spiel“. Bruno überlegt: „ ${}50\%$ mit Alkohol, ${}50\%$ ohne Alkohol. Dann ist es also egal, ob man was trinkt oder nicht. In Zukunft werde ich das auch nicht mehr so streng sehen“. Beurteile diese Überlegung!

Lösung Autounfall/Alkoholanteil/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst ${}16$ Stunden nach vorne, dann (immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus) ${}5$ Stunden nach vorne, dann ${}26$ Stunden zurück, dann ${}4$ Stunden zurück, dann ${}8$ Stunden nach vorne und dann ${}12$ Stunden zurück.

1. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht?
2. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht?

Lösung

1. Wir rechnen

   ${}16+5+(-26)+(-4)+8-12=-13\,,$

   also ${}13$ Stunden zurück.

2. Insgesamt reist sie

   ${}16+5+26+4+8+12=71\,$

   Stunden, das verbraucht also ${}71$ Minuten, also eine Stunde und elf Minuten. Daher befindet sie sich am Ende der Zeitreise im Zeitpunkt vor ${}11$ Stunden und ${}49$ Minuten.

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.

Lösung

${}\,$

Aufgabe (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

${}0=0\,.$

Welche Folgerung kann man daraus schließen?

Lösung

Daraus kann man nichts schließen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von ${}V$. Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,$

stehen.

Lösung

Es sei

${}u_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}v_{j}\,$

und

${}v_{j}=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}w_{k}\,.$

Dann ist

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}=(a_{ji})\,$

und

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=(b_{kj})\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}u_{i}&=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}v_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}{\left(\sum _{k=1}^{n}b_{kj}w_{k}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}b_{kj}a_{ji}\right)}w_{k}.\end{aligned}}$

Der Koeffizient vor ${}w_{k}$ ist dabei das Produkt aus der ${}k$-ten Zeile von ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ und der ${}i$-ten Spalte von ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$, und dies ist der Eintrag ${}{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}\right)}_{ik}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&1&0\\2&3&1\\0&0&7\end{pmatrix}}.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\2&3&1\\0&0&7\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&7\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&-{\frac {1}{7}}\\0&0&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}3&-1&{\frac {1}{7}}\\-2&1&-{\frac {1}{7}}\\0&0&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise des Satz über die Existenz eines direkten Komplementes zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{k}$ eine Basis von ${}U$. Diese können wir nach Satz 8.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) zu einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ ergänzen. Dann erfüllt

${}W=\langle v_{k+1},\ldots ,v_{n}\rangle \,$

die gewünschten Eigenschaften.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine Permutation auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ genau dann die Identität ist, wenn sie keinen Fehlstand besitzt.

Lösung

Wenn ${}\pi$ die Identität ist, so ist für jedes ${}i<j$ natürlich auch ${}\pi (i)=i<j=\pi (j)$, sodass kein Fehlstand vorliegt. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über ${}n$. Für ${}n=1$ ist die Aussage richtig. Es sei sie für ${}n$ schon bewiesen und sei eine Permutation ${}\pi$ auf ${}\{1,\ldots ,n+1\}$ ohne Fehlstand gegeben. Für jedes ${}i<n+1$ gilt dann ${}\pi (i)<\pi (n+1)$. Die ${}n$ verschiedenen Zahlen ${}\pi (i)$, ${}i={\{1,\ldots ,n\}}$, sind also kleiner als ${}\pi (n+1)$, und daher ist die einzige verbleibende Möglichkeit

${}\pi (n+1)=n+1\,.$

Daher ist ${}n+1$ ein Fixpunkt von ${}\pi$ und somit kann man ${}\pi$ als eine Permutation auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ auffassen. Diese besitzt ebenfalls keinen Fehlstand und ist nach Induktionsvoraussetzung die Identität, also ist auch ${}\pi$ die Identität.

Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass das Signum einer Transposition gleich ${}-1$ ist.

Lösung

Die Transposition ${}\tau$ vertausche die beiden Zahlen ${}k<\ell$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\tau )&=\prod _{i<j}{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\\&=\prod _{i<j,\,i,j\neq k,\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i=k,j\neq \ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i\neq k,j=\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i=k,j=\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\\&=\prod _{j>k,\,j\neq \ell }{\frac {j-\ell }{j-k}}\cdot \prod _{i\neq k,\,i<\ell }{\frac {k-i}{\ell -i}}\cdot {\frac {k-\ell }{\ell -k}}\\&=\prod _{j>\ell }{\frac {j-\ell }{j-k}}\cdot \prod _{i<k}{\frac {k-i}{\ell -i}}\cdot \prod _{k<j<\ell }{\frac {j-\ell }{j-k}}\cdot \prod _{k<i<\ell }{\frac {k-i}{\ell -i}}\cdot (-1)\\&=-1.\end{aligned}}$

Die letzte Gleichung ergibt sich daraus, dass im ersten und im zweiten Produkt alle Zähler und Nenner positiv sind und dass im dritten und im vierten Produkt die Zähler negativ und die Nenner positiv sind, sodass sich diese (wegen der gleichen Indexmenge) Minuszeichen wegkürzen.

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

1. Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
3. Zeige, dass durch das Polynom ${}X^{5}$ eine bijektive Abbildung

   $\mathbb {Z} /(7)\longrightarrow \mathbb {Z} /(7),\,x\longmapsto x^{5},$

   gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?

Lösung

1. Die einzigen reellen Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion sind die Polynome der Form ${}aX+b$ mit

   ${}a\neq 0\,.$

   Für diese ist ${}{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}$ die Umkehrfunktion, da ja wegen

   ${}{\frac {1}{a}}{\left(aX+b\right)}-{\frac {b}{a}}=X+{\frac {b}{a}}-{\frac {b}{a}}=X\,$

   und

   ${}a{\left({\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}\right)}+b=X-b+b=X\,$

   diese Funktionen invers zueinander sind. Wir zeigen, dass es darüberhinaus keine weiteren Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion gibt. Ein konstantes Polynom ist nicht bijektiv. Es sei also ${}P$ ein Polynom, das zumindest einen Grad ${}\geq 2$ besitzt. Wenn man darin ein weiteres nichtkonstantes Polynom einsetzt, ergibt sich aber ebenfalls ein Polynom vom Grad ${}\geq 2$ und nicht ${}X$. D.h., dass ${}P$ keine polynomiale Umkehrfunktion besitzen kann.

2. Die Funktion

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3},$

   ist bijektiv nach Fakt *****, nach Teil (1) kann aber die Umkehrfunktion nicht polynomial sein.

3. Die vollständige Wertetabelle zu dieser Funktion ist

   ${}x$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
   ${}x^{5}$	${}0$	${}1$	${}4$	${}5$	${}2$	${}3$	${}6$

   also ist die Funktion bijektiv. Diese Funktion ist offenbar zu sich selbst invers, also ist die Umkehrfunktion polynomial.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ jedes Ideal ein Hauptideal ist.

Lösung

Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}K[X]$. Betrachte die nichtleere Menge

${\left\{\operatorname {grad} \,(P)\mid P\in I,\,P\neq 0\right\}}.$

Diese Menge hat ein Minimum ${}m\in \mathbb {N}$, das von einem Element ${}F\in I$, ${}F\neq 0$, herrührt, sagen wir ${}m=\operatorname {grad} \,(F)$. Wir behaupten, dass ${}I=(F)$ ist. Die Inklusion ${}\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von ${}\subseteq$ sei ${}P\in I$ gegeben. Aufgrund von Satz 19.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gilt

$P=FQ+R{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(F){\text{ oder }}R=0.$

Wegen ${}R\in I$ und der Minimalität von ${}\operatorname {grad} \,(F)$ kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist ${}R=0$ und ${}P$ ist ein Vielfaches von ${}F$.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Eigenvektoren der Funktion ${}{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$, ${}x\longmapsto {\mathrm {i} }x$.

Lösung

Jede komplexe Zahl ${}x\neq 0$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}3&-1&5\\0&-4&2\\0&1&-3\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme das charakteristische Polynom zu ${}M$.
2. Bestimme die Eigenwerte mit Vielfachheiten von ${}M$ über ${}\mathbb {R}$.
3. Bestimme die Eigenräume von ${}M$ über ${}\mathbb {R}$.

Lösung

1. Das charakteristische Polynom ist

   ${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}x-3&1&-5\\0&x+4&-2\\0&-1&x+3\end{pmatrix}}&=(x-3){\left((x+4)(x+3)-2\right)}\\&=(x-3){\left(x^{2}+7x+10\right)}\\&=x^{3}+4x^{2}-11x-30.\end{aligned}}$

2. Die Nullstellenbestimmung von ${}x^{2}+7x+10$ führt auf

   ${}x_{1},x_{2}={\frac {-7\pm {\sqrt {49-40}}}{2}}={\frac {-7\pm 3}{2}}=-2,-5\,,$

   das charakteristische Polynom hat also die Faktorzerlegung

   $(x-3)(x+2)(x+5).$

   Die Eigenwerte sind also ${}3,-2,-5$, jeweils mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit ${}1$.

3. Der Eigenraum zum Eigenwert ${}3$ ist ${}\mathbb {R} e_{1}$. Der Eigenraum zum Eigenwert ${}-2$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}-5&1&-5\\0&2&-2\\0&-1&1\end{pmatrix}}$, dieser ist ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}-{\frac {4}{5}}\\1\\1\end{pmatrix}}$. Der Eigenraum zum Eigenwert ${}-5$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}-8&1&-5\\0&-1&-2\\0&-1&-2\end{pmatrix}}$, dieser ist ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}{\frac {7}{8}}\\2\\-1\end{pmatrix}}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}8x-2y+4z+w=2\,.$

Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}$

gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind

${\begin{pmatrix}1\\4\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-4\end{pmatrix}}$

Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems ${}1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\4\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\4\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\2\\1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\end{pmatrix}}$

eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.