Kurs:Lineare Algebra/Teil II/13/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 3 5 4 1 2 6 2 3 4 0 0 0 10 50



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Norm in einem -Vektorraum .
  2. Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
  3. Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum .
  4. Ein Normalteiler in einer Gruppe .
  5. Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Eine Körpererweiterung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Charakterisierung einer Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen mittels Orthonormalbasen.
  2. Der Satz über die (Norm)-Charakterisierung für normale Endomorphismen.
  3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

eine Isometrie und ein -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls -invariant ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

die Beschreibung einer Drehung bezüglich der Standardbasis des . Es sei eine Orthonormalbasis des derart, dass die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen die Determinante besitzt. Zeige, dass bezüglich der zweiten Basis ebenfalls durch beschrieben wird. Zeige, dass dies ohne die Determinantenbedingung nicht gilt.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem bezüglich der Standardbasis.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einem fixierten Skalarprodukt . Wir nennen eine Sesquilinearform auf orthogonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis (bezüglich des Skalarproduktes) von mit

für alle gibt. Zeige, dass bei der Korrespondenz

die normalen Endomorphismen den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe einen Gruppenautomorphismus auf an, der kein innerer Automorphismus ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem , die durch

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des mit drei Halbachsenklassen und es sei eine davon. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

injektiv ist. Zeige, dass dies nicht stimmt, wenn es nur zwei Halbachsenklassen gibt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.