Kurs:Lineare Algebra/Teil II/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	$\sum$
Punkte	3	3	4	3	5	4	1	2	6	2	4	3	4	0	2	10	4	60

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Norm in einem $𝕂$-Vektorraum $V$.
2. Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
3. Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum $V$.
4. Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
5. Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus

   $\phi :V⟶V$

   auf einem endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorraum $V$.

6. Eine Körpererweiterung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Charakterisierung einer Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen mittels Orthonormalbasen.
2. Der Satz über die (Norm)-Charakterisierung für normale Endomorphismen.
3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

$\phi :V⟶V$

eine Isometrie und  $U\subseteq V$  ein $\phi$-invarianter Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ ebenfalls $\phi$-invariant ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$D(\alpha )=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$

die Beschreibung einer Drehung $\phi$ bezüglich der Standardbasis $e_1,e_2$ des ${ℝ}^2$. Es sei $u_1,u_2$ eine Orthonormalbasis des ${ℝ}^2$ derart, dass die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen die Determinante $1$ besitzt. Zeige, dass $\phi$ bezüglich der zweiten Basis ebenfalls durch $D(\alpha )$ beschrieben wird. Zeige, dass dies ohne die Determinantenbedingung nicht gilt.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen  $a,b,c\in ]0,1[$  mit

$a^2+b^2=c^2.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen  $a,b,c\in ]0,1[$  mit

$a^2+b^2\ne c^2.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen  $a,b\in ]0,1[$  und eine rationale Zahl  $c\in ]0,1[$  mit

$a^2+b^2=c^2.$

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem $K^2$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$-Vektorraum mit einem fixierten Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Wir nennen eine Sesquilinearform $\Psi$ auf $V$ orthogonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis $u_1,\dots ,u_n$ (bezüglich des Skalarproduktes) von $V$ mit

$\Psi (u_i,u_j)=0$

für alle  $i\ne j$  gibt. Zeige, dass bei der Korrespondenz

${\mathrm{End}}_{}\left(V\right)⟶{\mathrm{Sesq}}_{}\left(V\right),\phi ⟼{\Psi }_{\phi },$

die normalen Endomorphismen den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe einen Gruppenautomorphismus auf $\mathbb{Z}$ an, der kein innerer Automorphismus ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und  $U\subseteq K^n$  ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem $K^n$, die durch

$v_1\sim v_2\text{ genau dann, wenn }{v}_1-v_2\in U$

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $G\subseteq {\mathrm{SO}}_3(ℝ)$  eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${ℝ}^3$ mit drei Halbachsenklassen und es sei $K$ eine davon. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$G⟶\mathrm{Perm}(K),g⟼{\sigma }_g:H\mapsto g(H),$

injektiv ist. Zeige, dass dies nicht stimmt, wenn es nur zwei Halbachsenklassen gibt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne für die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$

die Maximumsnorm, wenn der ${ℝ}^2$ als Definitionsraum mit der Summennorm und als Zielraum mit der Maximumsnorm versehen ist.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume und sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung vom Rang $r$. Zeige, dass

$\stackrel{k}{\bigwedge }\phi :\stackrel{k}{\bigwedge }V⟶\stackrel{k}{\bigwedge }W$

den Rang $(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})$ besitzt.