Kurs:Lineare Algebra/Teil II/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	5	4	1	2	6	2	4	3	4	0	2	10	4	60

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Norm in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.
2. Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
3. Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${}V$.
4. Ein Normalteiler ${}N$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.

6. Eine Körpererweiterung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Charakterisierung einer Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen mittels Orthonormalbasen.
2. Der Satz über die (Norm)-Charakterisierung für normale Endomorphismen.
3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie und  ${}U\subseteq V$  ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ ebenfalls ${}\varphi$-invariant ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

${}D(\alpha )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,$

die Beschreibung einer Drehung ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{1},e_{2}$ des ${}\mathbb {R} ^{2}$. Es sei ${}u_{1},u_{2}$ eine Orthonormalbasis des ${}\mathbb {R} ^{2}$ derart, dass die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen die Determinante ${}1$ besitzt. Zeige, dass ${}\varphi$ bezüglich der zweiten Basis ebenfalls durch ${}D(\alpha )$ beschrieben wird. Zeige, dass dies ohne die Determinantenbedingung nicht gilt.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen  ${}a,b,c\in {]0,1[}$  mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen  ${}a,b,c\in {]0,1[}$  mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen  ${}a,b\in {]0,1[}$  und eine rationale Zahl  ${}c\in {]0,1[}$  mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem ${}K^{2}$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem fixierten Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Wir nennen eine Sesquilinearform ${}\Psi$ auf ${}V$ orthogonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ (bezüglich des Skalarproduktes) von ${}V$ mit

${}\Psi (u_{i},u_{j})=0\,$

für alle  ${}i\neq j$  gibt. Zeige, dass bei der Korrespondenz

$\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {Sesq} _{}{\left(V\right)},\,\varphi \longmapsto \Psi _{\varphi },$

die normalen Endomorphismen den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe einen Gruppenautomorphismus auf ${}\mathbb {Z}$ an, der kein innerer Automorphismus ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}U\subseteq K^{n}$  ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem ${}K^{n}$, die durch

$v_{1}\sim v_{2}{\text{ genau dann, wenn }}v_{1}-v_{2}\in U$

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$  eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit drei Halbachsenklassen und es sei ${}K$ eine davon. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(K),\,g\longmapsto \sigma _{g}:H\mapsto g(H),$

injektiv ist. Zeige, dass dies nicht stimmt, wenn es nur zwei Halbachsenklassen gibt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne für die Matrix

${\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}$

die Maximumsnorm, wenn der ${}\mathbb {R} ^{2}$ als Definitionsraum mit der Summennorm und als Zielraum mit der Maximumsnorm versehen ist.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung vom Rang ${}r$. Zeige, dass

$\bigwedge ^{k}\varphi \colon \bigwedge ^{k}V\longrightarrow \bigwedge ^{k}W$

den Rang ${}{\binom {r}{k}}$ besitzt.