Lösung
- Zu zwei Vektoren nennt man
-
den Abstand zwischen
und .
- Eine
lineare Abbildung
-
heißt Isometrie, wenn für alle gilt:
-
- Man nennt einen Endomorphismus
-
adjungiert
zu , wenn
-
für alle gilt.
- Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.
- .
- Mit ist auch .
- Mit ist auch .
- Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass
-
gilt.
- Es sei der von sämtlichen Symbolen
(mit )
erzeugte -Vektorraum
(wir schreiben die Basiselemente als ).
Es sei der von allen Elementen der Form
- ,
- ,
erzeugte -Untervektorraum von . Dann nennt man den Restklassenraum
das Tensorprodukt der , . Es wird mit
-
bezeichnet.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
- Der
Charakterisierungssatz
für stabile Endomorphismen.
- Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.
Lösung
- Es sei ein euklidischer Vektorraum und eine Orthonormalbasis von . Es sei
-
eine lineare Abbildung und die beschreibende Matrix zu bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist genau dann eine Isometrie,
wenn
-
ist.
- Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und
-
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
- ist stabil.
- Zu jedem ist die Folge , , beschränkt.
- Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , beschränkt ist.
- Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner oder gleich und die Eigenwerte mit Betrag sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
- Für eine beschreibende Matrix von , aufgefasst über , sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich
-
mit oder gleich mit .
- Es sei ein Körper und seien endlichdimensionale Vektorräume über . Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich
-
Zeige, dass ein
normierter
-
Vektorraum
durch
-
zu einem
metrischen Raum
wird.
Lösung
- Es ist
genau dann, wenn
,
also
ist.
- Es ist
- Für beliebiges
ist nach der Definition einer Norm
Lösung
Wir behaupten, dass der Abstand im Punkt
angenommen wird. Aufgrund der Normierung handelt es sich um einen Punkt von . Es sei ein weiterer Punkt des Einheitskreises. Die Punkte liegen auf einer Geraden, und da außerhalb des Kreises liegt, ist
-
Aufgrund der
Dreiecksungleichung
ist
-
und hierbei gilt sogar , wenn die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen
(siehe
Aufgabe *****).
Somit ist für
-
(wenn der gegenüberliegende Punkt ist, so ist der Abstand erst recht größer).
Lösung
Es sei
-
und
-
Dann ist
-
Die Längen dieser Vektoren sind . Somit gilt
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Wir betrachten die Abbildung
-
Zeige, dass es sich dabei um einen
inneren Automorphismus
handelt.
Lösung
Die
inverse Matrix
zu ist . Mit dieser Matrix ist
somit handelt es sich um eine Konjugation mit einer invertierbaren Matrix.
Lösung
Wir schreiben die Drehungen als Teildrehungen einer Volldrehung, also
-
Mit dem Hauptnenner
sind dies die Drehungen
-
Jede dieser Drehungen ist ein Vielfaches der -Drehung. Andererseits sind die Zahlen und teilerfremd, so dass es eine Darstellung der gibt. Daher ist die von den drei Drehungen erzeugte Untergruppe genau die von der -Drehung erzeugte Untergruppe und enthält daher Elemente.
Zeige, dass die
Diedergruppen
, ,
nicht
kommutativ
sind.
Lösung
Wir realisieren die Diedergruppe als Symmetriegruppe einer Doppelpyramide über einem regelmäßigen -Eck in der -Ebene, wobei ein Eckpunkt sei. Die Drehungen des -Ecks sind.
-
mit
-
für
-
und die Halbdrehung um die -Achse, die durch
-
beschrieben wird, gehört auch zur Gruppe. Es ist
-
und
-
Die Produkte stimmen genau dann überein, wenn
-
ist, was
-
also
-
bedeutet. Bei
ist aber nicht jeder Drehwinkel von dieser Form.
Aufgabe (5 (2+1+1+1) Punkte)
Es sei ein
Körper,
der Polynomring in der einen Variablen über und
der Quotientenkörper davon, also der Körper der rationalen Funktionen. Auf definieren wir die Relation
-
wenn es Polynome
und
vom gleichen Grad mit
-
gibt.
- Zeige, dass durch eine
Äquivalenzrelation
gegeben ist.
- Bestimme die
Äquivalenzklasse
zu .
- Es seien Polynome . Zeige, dass
-
genau dann gilt, wenn
-
- Zeige, dass jedes
, ,
einen eindeutig bestimmten Repräsentanten der Form mit besitzt.
Lösung Polynomring/Quotientenkörper/Multiplikation mit Zähler durch Nenner von gleichem Grad/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Die Adjazenzmatrix zum Graphen ist
-
und die spaltenstochastisch gemachte Adjazenzmatrix
-
Es seien ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und
-
eine
lineare Abbildung,
die bezüglich der
Basen
von und von durch die Matrix beschrieben werde. Es sei
eine
Körpererweiterung.
Zeige, dass die -lineare Abbildung
-
bezüglich der -Basen von und von ebenfalls durch die Matrix beschrieben wird.
Lösung