Kurs:Lineare Algebra/Teil II/18/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 3 3 1 0 2 0 0 4 3 5 5 0 0 2 3 40




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum über mit einem Skalarprodukt .
  2. Eine lineare Isometrie zwischen -Vektorräumen und mit Skalarprodukt.
  3. Der adjungierte Endomorphismus zu einem Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt.

  4. Eine Untergruppe in einer Gruppe .
  5. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  6. Das Tensorprodukt zu einer Familie von -Vektorräumen .


Lösung

  1. Zu zwei Vektoren nennt man

    den Abstand zwischen und .

  2. Eine lineare Abbildung

    heißt Isometrie, wenn für alle gilt:

  3. Man nennt einen Endomorphismus

    adjungiert zu , wenn

    für alle gilt.

  4. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.
    1. .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit ist auch .
  5. Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass

    gilt.

  6. Es sei der von sämtlichen Symbolen (mit ) erzeugte -Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als ). Es sei der von allen Elementen der Form
    1. ,
    2. ,

    erzeugte -Untervektorraum von . Dann nennt man den Restklassenraum das Tensorprodukt der , . Es wird mit

    bezeichnet.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
  2. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.
  3. Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.


Lösung

  1. Es sei ein euklidischer Vektorraum und eine Orthonormalbasis von . Es sei

    eine lineare Abbildung und die beschreibende Matrix zu bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist genau dann eine Isometrie, wenn

    ist.
  2. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

    ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

    1. ist stabil.
    2. Zu jedem ist die Folge , , beschränkt.
    3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , beschränkt ist.
    4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner oder gleich und die Eigenwerte mit Betrag sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
    5. Für eine beschreibende Matrix von , aufgefasst über , sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

      mit oder gleich mit .

  3. Es sei ein Körper und seien endlichdimensionale Vektorräume über . Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein normierter -Vektorraum durch

zu einem metrischen Raum wird.


Lösung

  1. Es ist genau dann, wenn , also ist.
  2. Es ist
  3. Für beliebiges ist nach der Definition einer Norm


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei der Kreis in mit Mittelpunkt und dem Radius . Es sei ein Punkt außerhalb des Kreises. Bestimme den Abstand zwischen und , und in welchem Kreispunkt er angenommen wird.


Lösung

Wir behaupten, dass der Abstand im Punkt angenommen wird. Aufgrund der Normierung handelt es sich um einen Punkt von . Es sei ein weiterer Punkt des Einheitskreises. Die Punkte liegen auf einer Geraden, und da außerhalb des Kreises liegt, ist

Aufgrund der Dreiecksungleichung ist

und hierbei gilt sogar , wenn die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen (siehe Aufgabe *****). Somit ist für

(wenn der gegenüberliegende Punkt ist, so ist der Abstand erst recht größer).


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Kosinussatz.


Lösung

Es sei

und

Dann ist

Die Längen dieser Vektoren sind . Somit gilt


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.


Lösung

Altura.jpg


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form und es seien gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige


Lösung

Wir können annehmen, dass und

mit

ist. Wegen der Gleichgerichtetheit ist . Somit ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass es sich dabei um einen inneren Automorphismus handelt.


Lösung

Die inverse Matrix zu ist . Mit dieser Matrix ist

somit handelt es sich um eine Konjugation mit einer invertierbaren Matrix.


Aufgabe (3 Punkte)

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um Grad, von der Drehung um Grad und von der Zwölfteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ?


Lösung

Wir schreiben die Drehungen als Teildrehungen einer Volldrehung, also

Mit dem Hauptnenner sind dies die Drehungen

Jede dieser Drehungen ist ein Vielfaches der -Drehung. Andererseits sind die Zahlen und teilerfremd, so dass es eine Darstellung der gibt. Daher ist die von den drei Drehungen erzeugte Untergruppe genau die von der -Drehung erzeugte Untergruppe und enthält daher Elemente.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Diedergruppen , , nicht kommutativ sind.


Lösung

Wir realisieren die Diedergruppe als Symmetriegruppe einer Doppelpyramide über einem regelmäßigen -Eck in der -Ebene, wobei ein Eckpunkt sei. Die Drehungen des -Ecks sind.

mit

für

und die Halbdrehung um die -Achse, die durch

beschrieben wird, gehört auch zur Gruppe. Es ist

und

Die Produkte stimmen genau dann überein, wenn

ist, was

also

bedeutet. Bei ist aber nicht jeder Drehwinkel von dieser Form.


Aufgabe (5 (2+1+1+1) Punkte)

Es sei ein Körper, der Polynomring in der einen Variablen über und der Quotientenkörper davon, also der Körper der rationalen Funktionen. Auf definieren wir die Relation

wenn es Polynome und vom gleichen Grad mit

gibt.

  1. Zeige, dass durch eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
  2. Bestimme die Äquivalenzklasse zu .
  3. Es seien Polynome . Zeige, dass

    genau dann gilt, wenn

  4. Zeige, dass jedes , , einen eindeutig bestimmten Repräsentanten der Form mit besitzt.


Lösung Polynomring/Quotientenkörper/Multiplikation mit Zähler durch Nenner von gleichem Grad/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Tred-G.svg

Erstelle die Adjazenzmatrix und die stochastische Matrix zum angegebenen gerichteten Graphen, wobei es für jeden Punkt auch einen Pfeil auf sich selbst gebe.


Lösung

Die Adjazenzmatrix zum Graphen ist

und die spaltenstochastisch gemachte Adjazenzmatrix


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen von und von durch die Matrix beschrieben werde. Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass die -lineare Abbildung

bezüglich der -Basen von und von ebenfalls durch die Matrix beschrieben wird.


Lösung

Wegen Fakt ***** liegen in der Tat Basen vor. Das Basiselement von wird unter auf

abgebildet. Somit wird das Basiselement von unter auf

Die Koeffizienten konstituieren also die beschreibende Matrix von .