Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 32/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass für die Gleichheit genau dann gilt, wenn ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere den Satz des Pythagoras im Sinne von Satz 32.3 im Vergleich zu der elementargeometrischen Version.


Aufgabe Aufgabe 32.3 ändern

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte eine Ecke in einem (rechtwinkligen) Zimmer. Bilden die drei Diagonalvektoren in den beiden anliegenden Wänden und dem Boden der Länge eine Orthonormalbasis?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des , versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Erstelle eine Orthonormalbasis des , die ein Vielfaches von enthält.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise den „orthonormalen Basisergänzungssatz“.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass

eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums bezüglich des zugehörigen reellen Skalarprodukts ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und seien Untervektorräume. Zeige, dass für die orthogonalen Komplemente die Gleichheit

gilt.


Aufgabe Aufgabe 32.17 ändern

Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zu Untervektorräumen ist
  2. Es ist und .
  3. Sei endlichdimensional. Dann ist
  4. Sei endlichdimensional. Dann ist


Aufgabe Aufgabe 32.18 ändern

Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass durch

eine Isomorphie zwischen und seinem Dualraum gestiftet wird.


Aufgabe Aufgabe 32.19 ändern

Beweise Korollar 32.13 mit Hilfe von Aufgabe 32.18 und Lemma 15.5.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf die von erzeugte Gerade.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf den von und erzeugten Untervektorraum.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und es seien

Untervektorräume. Es bezeichne die orthogonale Projektion von auf . Zeige




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Die komplexen Zahlen seien mit dem Standardskalarprodukt versehen.

  1. Bestimme zu dem von erzeugten komplexen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich .
  2. Bestimme zu dem von erzeugten komplexen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu (also dem zugehörigen reellen Skalarprodukt).
  3. Bestimme zu dem von erzeugten reellen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu .


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die linear unabhängigen polynomialen Funktionen

mit dem in Beispiel 31.6 beschriebenen Skalarprodukt an.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf den von und erzeugten Untervektorraum.



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