Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 34/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien von verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel zu und mit dem Winkel zu und übereinstimmt, wobei positive reelle Zahlen sind.

Die vorstehende Aussage besagt insbesondere, dass der Winkel eine Eigenschaft der durch zwei Vektoren definierten Strahlen (Halbgeraden) ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel

nur von der Einschränkung des Skalarproduktes auf den durch und erzeugten Untervektorraum abhängt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien von verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt. Zeige


Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche Winkel gibt es auf einer Geraden?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

der Einheitskreis. Zeige, dass man auf eine Metrik definieren kann, indem man () als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt ansetzt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor und dem Vektor im . Bestimme den Grenzwert


Die beiden folgenden Aufgaben wurden schon auf dem Arbeitsblatt 10 gestellt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme elementargeometrisch, auf welche Vektoren die Standardvektoren und bei einer Drehung um den Nullpunkt um den Winkel gegen den Uhrzeigersinn abgebildet werden.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

die Drehung des Raumes um die -Achse um Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die beschreibende Matrix bezüglich der Basis

aus?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

eine Isometrie und ein -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass

ebenfalls eine Isometrie ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

  1. Zeige, dass eine Isometrie auf dem und dem definiert.
  2. Bestimme die komplexen Eigenwerte zu .
  3. Bestimme eine Orthonormalbasis von , die aus Eigenvektoren zu besteht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien normierte Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Vektor die beiden Vektoren in gleich große Winkel unterteilt.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass sich jede eigentliche lineare Isometrie des als Verknüpfung von Drehungen um die drei Koordinatenachsen realisieren lässt.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass zu mit die Matrix

eine Isometrie des definiert.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine komplexe -Matrix derart, dass die Spalten eine Orthonormalbasis des bilden und die Determinante gleich ist. Zeige, dass die Gestalt

mit und besitzt.


Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

  1. Zeige, dass eine Isometrie auf dem und dem definiert.
  2. Bestimme die komplexen Eigenwerte zu .
  3. Bestimme eine Orthonormalbasis von , die aus Eigenvektoren zu besteht.



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