Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 44/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe * Aufgabe 44.1 ändern

Sei eine Gruppe und ein Element, und seien ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

  1. Es ist .
  2. Es ist .


Aufgabe * Aufgabe 44.2 ändern

Zeige, dass die Untergruppen von genau die Teilmengen der Form

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die Ordnung der Matrix

über dem Körper .


Aufgabe Aufgabe 44.4 ändern

Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Es sei eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass zyklisch ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise Lemma 44.6.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine kommutative Gruppe und

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring und . Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.


Aufgabe Referenznummer erstellen

a) Für welche reellen Polynome ist die zugehörige polynomiale Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus?

b) Für welche reellen Polynome ist allenfalls eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung

ein Gruppenisomorphismus ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und sei

die Menge aller invertierbaren -Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Gruppe und . Zeige, dass die Abbildung

eine Gruppenautomorphismus ist.


Mit dem Konzept der Restklassenbildung werden die folgenden Aufgaben bald deutlich einfacher.

Aufgabe Aufgabe 44.14 ändern

Sei und betrachte auf

die Verknüpfung

Zeige, dass dadurch eine assoziative Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine Gruppe vorliegt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei . Wir betrachten

mit der in Aufgabe 44.14 beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung

kein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe Aufgabe 44.16 ändern

Wir betrachten die Menge

Zeige, dass auf durch

eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.


Aufgabe Aufgabe 44.17 ändern

Zeige, dass die Menge

mit der in Aufgabe 44.16 definierten Verknüpfung eine kommutative Gruppe ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine endliche Menge und eine Teilmenge, und es seien und die zugehörigen Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf , siehe .). Zeige, dass durch

mit

ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine Gruppe und sei ein Element und sei

die Multiplikation mit . Zeige, dass bijektiv ist, und dass genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Gibt es Gruppenhomomorphismen

die nicht -linear sind?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

b) Es sei eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten Gruppenhomomorphismen sind.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .


Die folgende Aufgabe knüpft an Aufgabe 44.17 an. Zu einer reellen Zahl bezeichnet die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten

mit der in Aufgabe 44.16 definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe 44.17 eine Gruppe ist. Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens


Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

in eine Gruppe mit der Eigenschaft gibt, dass genau dann irrational ist, wenn ist.



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