Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 44/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Aufgabe 44.1 ändern
Es sei eine Gruppe und ein Element, und seien ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.
- Es ist .
- Es ist .
Aufgabe * Aufgabe 44.2 ändern
Zeige, dass die Untergruppen von genau die Teilmengen der Form
mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Aufgabe 44.4 ändern
Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Es sei eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass zyklisch ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Beweise Lemma 44.6.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine kommutative Gruppe und
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und . Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.
Aufgabe Referenznummer erstellen
a) Für welche reellen Polynome ist die zugehörige polynomiale Abbildung
b) Für welche reellen Polynome ist allenfalls eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung
ein Gruppenisomorphismus ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei
die Menge aller invertierbaren - Matrizen.
a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.
b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Mit dem Konzept der Restklassenbildung werden die folgenden Aufgaben bald deutlich einfacher.
Aufgabe Aufgabe 44.14 ändern
Es sei und betrachte auf
die Verknüpfung
Zeige, dass dadurch eine assoziative Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine Gruppe vorliegt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei . Wir betrachten
mit der in Aufgabe 44.14 beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung
kein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe Aufgabe 44.16 ändern
Aufgabe Aufgabe 44.17 ändern
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche Menge und eine Teilmenge, und es seien und die zugehörigen Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf , siehe Aufgabe 3.4). Zeige, dass durch
mit
ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Sei eine Gruppe und sei ein Element und sei
die Multiplikation mit . Zeige, dass bijektiv ist, und dass genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien Gruppen.
a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt
b) Es sei eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung
genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten Gruppenhomomorphismen sind.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .
Die folgende Aufgabe knüpft an
Aufgabe 44.17
an. Zu einer reellen Zahl bezeichnet die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten
mit der in Aufgabe 44.16 definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe 44.17 eine Gruppe ist. Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens
Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus
in eine Gruppe mit der Eigenschaft gibt, dass genau dann irrational ist, wenn ist.
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