Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 29/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Legen Sie den Verbindungsvektor von ihrem linken Ohr zum rechten kleinen Finger ihres Vordermanns parallel an die Nasenspitze Ihres linken Nachbars an. Was ist das Ergebnis?

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Zeit ist eine affine Gerade über ${}\mathbb {R}$. Legen Sie den Verbindungsvektor vom Zeitpunkt Ihres ersten Milchzahns bis zum Zeitpunkt Ihrer Einschulung an den jetzigen Moment an. Was ist das Ergebnis?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}4x+7y=3\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein Vektorraum, ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum und ${}E=P+U$ ein affiner Unterraum. Zeige, dass man für jeden Punkt ${}Q\in E$ auch ${}E=Q+U$ schreiben kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein Vektorraum und ${}E\subseteq V$ ein affiner Unterraum. Zeige, dass ${}E$ genau dann ein Untervektorraum von ${}V$ ist, wenn ${}E$ die ${}0$ enthält.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto 4x-6y+9z.$

Bestimme für die Menge

${}E={\left\{Q\in \mathbb {R} ^{3}\mid \varphi (Q)=5\right\}}\,$

eine Beschreibung mit Hilfe eines Aufpunktes und eines Verschiebungsraumes.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}7x+y-3z\\4x+5y\end{pmatrix}}.$

Bestimme für die Menge

${}E={\left\{Q\in \mathbb {R} ^{3}\mid \varphi (Q)={\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}\right\}}\,$

eine Beschreibung mit Hilfe eines Aufpunktes und eines Verschiebungsraumes.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die drei Ebenen ${}E,F,G$ im ${}\mathbb {Q} ^{3}$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

1. ${}E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-4y+3z=2\right\}}\,,$

2. ${}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 7x-5y+6z=3\right\}}\,,$

3. ${}G={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 2x-y+4z=5\right\}}\,.$

Bestimme sämtliche Punkte ${}E\cap F\setminus E\cap F\cap G$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ und ein Körper ${}K$ fixiert. Es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass die Menge ${}E$ der Polynome ${}P$ vom Grad maximal ${}d$ mit

${}P(a_{i})=b_{i}\,$

für ${}i=1,\ldots ,n$ einen affinen Unterraum von ${}K[X]_{\leq d}$ bilden. Was ist der zugehörige Untervektorraum? Was kann man über die Dimension von ${}E$ sagen, wann ist ${}E$ leer?

Aufgabe * Aufgabe 29.10 ändern

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige die folgenden Identitäten in ${}V$.

1. ${}{\overrightarrow {PP}}=0$ für ${}P\in E$.
2. ${}{\overrightarrow {PQ}}=-{\overrightarrow {QP}}$ für ${}P,Q\in E$.
3. ${}{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}$ für ${}P,Q,R\in E$,

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die leere Menge ein affiner Raum im Sinne der Definition 29.4 ist, und zwar über jedem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}E$ ein nichtleerer affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Es sei ${}P\in E$ ein fixierter Punkt und

$\theta \colon V\longrightarrow E,\,v\longmapsto P+v,$

die zugehörige Bijektion. Mit Hilfe dieser Bijektion identifizieren wir ${}E$ mit

${}E'={\left\{(v,1)\in V\times K\mid v\in V\right\}}\,$

durch die Abbildung

$\varphi \colon E\longrightarrow E',\,P\longmapsto (\theta ^{-1}(P),1).$

a) Zeige, dass ${}E'$ ein affiner Unterraum von ${}V\times K$ ist mit dem Translationsraum ${}V\times 0$.

b) Zeige

${}\varphi (Q+v)=\varphi (Q)+v\,$

für alle ${}Q\in E$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme zeichnerisch den Punkt, der durch die baryzentrische Kombination

$0,2P_{1}+0,4P_{2}-0,3P_{3}+0,7P_{4}$

im Bild rechts gegeben ist. Starte dabei mit verschiedenen Aufpunkten.

Aufgabe * Aufgabe 29.14 ändern

Es sei ${}P_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Punkten in einem affinen Raum ${}E$. Zeige, dass durch eine baryzentrische Kombination ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ ein eindeutiger Punkt in ${}E$ definiert wird.

Aufgabe * Aufgabe 29.15 ändern

Es sei ${}P$ ein Punkt in einem affinen Raum ${}E$ über ${}V$. Zeige, dass die folgenden Ausdrücke baryzentrische Kombinationen für ${}P$ sind (es sei ${}Q\in E$ und ${}v\in V$).

1. ${}P$.
2. ${}P+Q-Q$.
3. ${}(P+v)-(Q+v)+Q$.

Statt ${}{\overrightarrow {QP}}$ schreibt man häufig auch ${}P-Q$. Die folgenden Aufgaben zeigen, dass dies bei einem Vektorraum und bei baryzentrischen Kombinationen nicht zu Verwechslungen führen kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, den wir als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien ${}P,Q\in V$ Punkte. Zeige ${}{\overrightarrow {PQ}}=Q-P$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Es seien ${}P_{i}$, ${}i\in I$, und ${}P,Q$ Punkte in ${}E$ und ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass

${}P-Q+\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}={\overrightarrow {QP}}+{\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}\,,$

wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}K$, den wir als einen affinen Raum auffassen. Es sei ${}\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}$ mit ${}v_{i}\in V$, ${}a_{i}\in K$ und ${}\sum _{i\in I}a_{i}=1$ eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass der dadurch definierte Punkt im affinen Raum gleich der Vektorsumme ${}\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Geben Sie die baryzentrischen Koordinaten Ihrer Lieblingsfarbe bei additiver Farbmischung an.

Aufgabe Aufgabe 29.20 ändern

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$. Für ${}j=1,\ldots ,k$ sei durch

${}Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}P_{i}\,$

mit ${}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1$ eine Familie von baryzentrischen Kombinationen der ${}P_{i}$ gegeben. Es seien ${}b_{1},\ldots ,b_{k}\in K$ mit ${}\sum _{j=1}^{k}b_{j}=1$. Zeige, dass man

$\sum _{j=1}^{k}b_{j}Q_{j}$

als baryzentrische Kombination der ${}P_{i}$ schreiben kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die eine affine Basis bilden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die keine affine Basis des Raumes bilden, wo aber je drei der Punkte eine affine Basis einer affinen Ebene bilden.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}6x-5y-3z+8w\\x+5y+4z-2w\end{pmatrix}}.$

Bestimme für die Menge

${}E={\left\{Q\in \mathbb {R} ^{4}\mid \varphi (Q)={\begin{pmatrix}-3\\-7\end{pmatrix}}\right\}}\,$

eine Beschreibung mit Hilfe eines Aufpunktes und eines Verschiebungsraumes.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum Wir betrachten die Menge

${}E={\left\{(v,1)\mid v\in V\right\}}\subset V\times K\,,$

die ein affiner Raum über ${}V$ ist.

a) Zeige, dass die Punkte

$P_{i}=(v_{i},1),\,i=1,\ldots ,n,$

genau dann eine affine Basis von ${}E$ bilden, wenn die ${}P_{i}$ (aufgefasst als Vektoren in ${}V\times K$) eine Vektorraumbasis von ${}V\times K$ bilden.

b) Zeige, dass in diesem Fall zu einem Punkt ${}P\in E$ die baryzentrischen Koordinaten von ${}P$ bezüglich ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ gleich den Koordinaten von ${}P$ bezüglich der Vektorraumbasis ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über dem Körper ${}K$. Zeige, dass der Produktraum ${}E\times F$ ebenfalls ein affiner Raum ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über dem Körper ${}K$ mit einer affinen Basis ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ von ${}E$ und einer affinen Basis ${}Q_{1},\ldots ,Q_{m}$ von ${}F$. Zeige, dass

$(P_{1},Q_{1}),\,(P_{1},Q_{2}),\ldots ,(P_{1},Q_{m}),\,(P_{2},Q_{1}),\,(P_{3},Q_{1}),\ldots ,(P_{n},Q_{1})$

eine affine Basis des Produktraumes ${}E\times F$ ist.