Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 15/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 15.1 ändern

Es sei ${}M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik versehen sei. Zeige, dass ${}M$ ein topologischer Raum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik ${}d$ versehen sei. Zeige, dass ${}d$ genau dann eine Metrik ist, wenn der topologische Raum ${}M$ ein Hausdorffraum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Wir nennen Punkte ${}x,y\in X$ umgebungsäquivalent, wenn für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ die Zugehörigkeit ${}x\in U$ genau dann gilt, wenn ${}y\in U$ gilt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Aufgabe Aufgabe 15.4 ändern

Es seien ${}X$ und ${}Y$ Mengen, auf denen jeweils eine Halbmetrik definiert sei und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann stetig ist, wenn es zu jedem ${}x\in X$ und jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ die Abschätzung ${}d(\varphi (x),\varphi (x'))\leq \epsilon$ folgt.

Aufgabe Aufgabe 15.5 ändern

Es seien ${}X$ und ${}Y$ Mengen, auf denen jeweils eine Halbmetrik definiert sei und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ eine stetige Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon X/\sim \longrightarrow Y/\sim$

induziert, die mit den Quotientenabbildungen verträglich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ der ${}\mathbb {R}$- Vektorraum aller konvergenten Folgen. Zeige, dass durch

${}\Vert {v}\Vert :=\vert {\lim _{n\rightarrow \infty }v_{n}}\vert \,$

eine Halbnorm auf ${}V$ gegeben ist. Bestimme ${}Z$ aus Lemma 15.11 und ${}V/Z$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einer Halbnorm ${}\Vert {-}\Vert$, zugehöriger Halbmetrik ${}d$ und sei

${}Z={\left\{v\in V\mid \Vert {v}\Vert =0\right\}}\,.$

Zeige, dass der Restklassenraum ${}V/Z$ in kanonischer Weise mit der Quotientenmenge ${}V/\sim$ übereinstimmt, wobei ${}\sim$ die zu ${}d$ gehörige Äquivalenzrelation ist, und dass die induzierte Metrik auf ${}V/\sim$ von der induzierten Norm herrührt.

Aufgabe Aufgabe 15.8 ändern

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei ${}C^{b}(X,{\mathbb {K} })$ der ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum der stetigen beschränkten ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen auf ${}X$, versehen mit der Supremumsnorm. Es sei ${}x\in X$. Zeige, dass die Auswertung an ${}x$, also die Abbildung

$C^{b}(X,{\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),$

${}{\mathbb {K} }$- linear und stetig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen ${}\sigma$- endlicher Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ derart, dass

$V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \int _{M}fd\mu ,$

nicht stetig ist, wobei ${}V$ den ${}\mathbb {R}$- Vektorraum der beschränkten integrierbaren Funktionen auf ${}M$, versehen mit der Supremumsnorm, bezeichnet.

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe ${}G$, die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

und die Inversenbildung

$G\longrightarrow G,\,g\longmapsto g^{-1},$

stetige Abbildungen sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein topologischer Vektorraum eine (additive) topologische Gruppe ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Gruppen ${}(\mathbb {R} ,+)$, ${}(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$, ${}({\mathbb {C} },+)$, ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot )$, ${}(\mathbb {R} ^{n},+)$, ${}(S^{1},{\text{ mit der Winkeladdition}})$, die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ topologische Gruppen sind.

Es sei ${}V$ ein topologischer Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$. Dann heißt

${}V'=\{f\in {\text{Hom}}_{\mathbb {K} }(V,{\mathbb {K} })\,\colon \,f{\text{ stetig }}\}\,$

der topologische Dualraum zu ${}V$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und sei ${}V'$ der stetige Dualraum zu ${}V$. Zeige, dass ${}V'$ über

${}\Vert {f}\Vert :={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert ,\Vert {x}\Vert =1)}\,$

zu einem normierten Vektorraum wird.

Aufgabe * Aufgabe 15.13 ändern

Zeige, dass ein metrischer Raum genau dann eine abzählbare Basis der Topologie besitzt, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und sei ${}V$ der ${}\mathbb {R}$- Vektorraum der beschränkten integrierbaren Funktionen auf ${}M$, den wir mit der Supremumsnorm versehen. Zeige, dass

$V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \int _{M}fd\mu ,$

stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein unendlichdimensionaler normierter ${}\mathbb {R}$- Vektorraum. Zeige, dass es eine lineare Abbildung

$V\longrightarrow \mathbb {R}$

gibt, die nicht stetig ist.