Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 15/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Aufgabe 15.1 ändern
Es sei eine Menge, die mit einer Halbmetrik versehen sei. Zeige, dass ein topologischer Raum ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge, die mit einer Halbmetrik versehen sei. Zeige, dass genau dann eine Metrik ist, wenn der topologische Raum ein Hausdorffraum ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein topologischer Raum. Wir nennen Punkte umgebungsäquivalent, wenn für jede offene Menge die Zugehörigkeit genau dann gilt, wenn gilt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.
Aufgabe Aufgabe 15.4 ändern
Es seien und Mengen, auf denen jeweils eine Halbmetrik definiert sei und es sei
eine Abbildung. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn es zu jedem und jedem ein derart existiert, dass aus die Abschätzung folgt.
Aufgabe Aufgabe 15.5 ändern
Es seien und Mengen, auf denen jeweils eine Halbmetrik definiert sei und es sei
eine stetige Abbildung. Zeige, dass eine stetige Abbildung
induziert, die mit den Quotientenabbildungen verträglich ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei der - Vektorraum aller konvergenten Folgen. Zeige, dass durch
eine Halbnorm auf gegeben ist. Bestimme aus Lemma 15.11 und .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein - Vektorraum mit einer Halbnorm , zugehöriger Halbmetrik und sei
Zeige, dass der Restklassenraum in kanonischer Weise mit der Quotientenmenge übereinstimmt, wobei die zu gehörige Äquivalenzrelation ist, und dass die induzierte Metrik auf von der induzierten Norm herrührt.
Aufgabe Aufgabe 15.8 ändern
Es sei ein topologischer Raum und sei der - Vektorraum der stetigen beschränkten -wertigen Funktionen auf , versehen mit der Supremumsnorm. Es sei . Zeige, dass die Auswertung an , also die Abbildung
- linear und stetig ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für einen - endlicher Maßraum derart, dass
nicht stetig ist, wobei den - Vektorraum der beschränkten integrierbaren Funktionen auf , versehen mit der Supremumsnorm, bezeichnet.
Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe , die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung
und die Inversenbildung
stetige Abbildungen sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass ein topologischer Vektorraum eine (additive) topologische Gruppe ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Gruppen , , , , , , die allgemeine lineare Gruppe bzw. topologische Gruppen sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein normierter - Vektorraum und sei der stetige Dualraum zu . Zeige, dass über
zu einem normierten Vektorraum wird.
Aufgabe * Aufgabe 15.13 ändern
Zeige, dass ein metrischer Raum genau dann eine abzählbare Basis der Topologie besitzt, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Maßraum und sei der - Vektorraum der beschränkten integrierbaren Funktionen auf , den wir mit der Supremumsnorm versehen. Zeige, dass
stetig ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein unendlichdimensionaler normierter - Vektorraum. Zeige, dass es eine lineare Abbildung
gibt, die nicht stetig ist.