Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 12

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Lineare Abbildungen

Definition  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine Abbildung

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

  1. für alle .
  2. für alle und .

Die erste Eigenschaft nennt man dabei die Additivität und die zweite Eigenschaft die Verträglichkeit mit Skalierung. Wenn man den Grundkörper betonen möchte spricht man von -Linearität. Lineare Abbildung heißen auch Homomorphismen von Vektorräumen. Die Identität , die Nullabbildung und die Inklusionen von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen.


Beispiel  

Es sei ein Körper und sei der -dimensionale Standardraum. Dann ist die -te Projektion, also die Abbildung

eine -lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die -te Projektion heißt auch die -te Koordinatenfunktion.


Die folgende Aussage bestätigt erneut das Prinzip, dass in der linearen Algebra (von endlichdimensionalen Vektorräumen) die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind.



Satz  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei , , eine Basis von und es seien , , Elemente in .

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

mit

Beweis  

Da sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

erfüllt, und jeder Vektor sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

indem wir jeden Vektor mit der gegebenen Basis als

schreiben und

ansetzen. Da die Darstellung von als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren und gilt


Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe *****.



Lemma

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

lineare Abbildungen.

Dann ist auch die Verknüpfung

eine lineare Abbildung.

Beweis

Siehe Aufgabe 12.6.



Lemma

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Für einen Untervektorraum ist auch das Bild ein Untervektorraum von .
  2. Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von .
  3. Für einen Untervektorraum ist das Urbild ein Untervektorraum von .
  4. Insbesondere ist ein Untervektorraum von .

Beweis

Siehe Aufgabe 12.7.



Definition  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Dann nennt man

den Kern von .

Der Kern ist also nach der obigen Aussage ein Untervektorraum.

Wichtig ist das folgende Injektivitätskriterium.



Lemma  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung.

Dann ist injektiv genau dann, wenn ist.

Beweis  

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen anderen Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .




Satz  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung und sei endlichdimensional.

Dann gilt

Beweis  

Sei . Es sei der Kern der Abbildung und seine Dimension ().

Es sei
eine

Basis von . Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren

derart, dass

eine Basis von ist. Wir behaupten, dass

eine Basis des Bildes ist. Es sei ein Element des Bildes . Dann gibt es ein mit . Dieses lässt sich mit der Basis als

schreiben. Dann ist

so dass sich als Linearkombination der schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der , , sei eine Darstellung der Null gegeben,

Dann ist

Also gehört zum Kern der Abbildung und daher kann man

schreiben. Da insgesamt eine Basis von vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten sein müssen, also sind insbesondere .



Definition  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung und sei endlichdimensional. Dann nennt man

den Rang von .

Die Dimensionsformel kann man auch als

ausdrücken.



Korollar  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension . Es sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist genau dann injektiv, wenn surjektiv ist.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 12.8 und Lemma 12.7.




Isomorphe Vektorräume

Definition  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine bijektive, lineare Abbildung

heißt Isomorphismus.


Definition  

Es sei ein Körper. Zwei -Vektorräume und heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von nach gibt.



Lemma

Es sei ein Körper und es seien und zwei -Vektorräume. Es sei

eine bijektive lineare Abbildung.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

linear.

Beweis

Siehe Aufgabe 12.12.



Satz

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume.

Dann sind und genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Insbesondere ist ein -dimensionaler -Vektorraum isomorph zum .

Beweis

Siehe Aufgabe *****.


Bemerkung  

Eine Isomorphie zwischen einem -dimensionalen Vektorraum und dem Standardraum ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer Basis in . Zu einer Basis

gehört die lineare Abbildung

die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem -ten Standardvektor den -ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach  Satz 12.3 eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von Aufgabe ***** bijektiv ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung

Die Umkehrabbildung

ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende Koordinatenabbildung. Die -te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung

heißt -te Koordinatenfunktion. Sie wird mit bezeichnet, und gibt zu einem Vektor in der eindeutigen Darstellung

die Koordinate aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor .

Wenn umgekehrt ein Isomorphismus

gegeben ist, so sind die Bilder

eine Basis von .



Definition  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Dann nennt man

den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch

definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

definiert wird.

Mit diesen Operationen liegt ein Vektorraum vor, siehe Aufgabe 12.14.



Matrizenkalkül

Eine lineare Abbildung

ist durch die Bilder , , der Standardvektoren eindeutig festgelegt, und jedes ist eine Linearkombination

und damit durch die Elemente eindeutig festgelegt. Insgesamt ist also eine solche lineare Abbildung durch Elemente

, , , festgelegt. Eine solche Datenmenge fasst man als eine Matrix zusammen.


Definition  

Es sei ein Körper und und zwei Indexmengen. Eine -Matrix ist eine Abbildung

Bei und spricht man von einer -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als

Wir beschränken uns weitgehend auf den durchnummerierten Fall. Zu jeden heißt  , , die -te Zeile der Matrix, was man zumeist als einen Zeilenvektor

schreibt. Zu jedem heißt  , , die -te Spalte der Matrix, was man zumeist als einen Spaltenvektor

schreibt. Die Elemente heißen die Einträge der Matrix. Zu heißt der Zeilenindex und der Spaltenindex des Eintrags. Man findet den Eintrag , indem man die -te Zeile mit der -ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit nennt man eine quadratische Matrix. Eine -Matrix ist einfach ein Spaltenvektor der Länge , und eine -Matrix ist einfach ein Zeilenvektor der Länge .


Definition  

Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

diejenige -Matrix, deren Einträge durch

gegeben sind.

Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt.

Als Merkregel kann man das Schema

verwenden.

Insbesondere kann man eine -Matrix mit einem Spaltenvektor der Länge (von rechts) multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge .

Bemerkung  

Wenn man eine -Matrix mit einem Spaltenvektor multipliziert, so erhält man

Damit lässt sich ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit dem Störvektor kurz als

schreiben. Die erlaubten Gleichungsumformungen durch Manipulationen an den Gleichungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, können dann durch die entsprechenden Zeilenumformungen in der Matrix ersetzt werden. Man muss dann die Variablen nicht mitschleppen.



<< | Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)