Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 21

Die beiden nächsten Vorlesungen kann man unter dem Aspekt sehen, welche topologischen Eigenschaften die reellen Zahlen gegenüber den rationalen Zahlen auszeichnen und wie sich diese Unterschiede auf stetige Abbildungen auswirken. Bereits in der achten Vorlesung wurde die intuitive Vorstellung, dass die reellen Zahlen ein „Kontinuum“ bilden, durch den Begriff der Vollständigkeit präzisiert, also durch die Eigenschaft, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Weitere mathematische Präzisierungnen dieser Vorstellung liefern die beiden Begriffe zusammenhängend und kompakt.

Zusammenhängende Räume

Die rote Menge ist zusammenhängend, die grüne Menge nicht.

Definition

Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von ${}X$ gibt (nämlich ${}\emptyset$ und ${}X$ selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Den leeren metrischen Raum bezeichnet man gemäß dieser Definition als nicht zusammenhängend (oder unzusammenhängend). Ein nichtleerer nicht zusammenhängender Raum ${}X$ ist dadurch ausgezeichnet, dass man ${}X=A\cup B$ als disjunkte Vereinigung schreiben kann, wobei ${}A$ und ${}B$ beide nichtleer und in ${}X$ abgeschlossen (und damit auch beide offen) sind.

Das Tierchen Trichoplax adhaerens hat merkwürdige Zusammenhangseigenschaften. Es ist ein zusammenhängender Vielzeller. Wenn man es durch ein Sieb drückt, so dass die einzelnen Zellen voneinander getrennt werden, entstehen unzusammenhängende Zellen. Diese finden dann aber wieder zueinander und es entsteht erneut ein zusammenhängendes lebendiges Tierchen.

In der folgenden Aussage verstehen wir unter Intervalle auch die (einseitig oder beidseitig) unbeschränkten Intervalle, wie z.B. ${}[a,+\infty ]$.

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen.

Dann ist ${}T$ genau dann zusammenhängend, wenn ${}T$ ein (nichtleeres) Intervall ist.

Beweis

Es sei zuerst ${}T$ kein Intervall. Wenn ${}T$ leer ist, so ist ${}T$ nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also ${}T\neq \emptyset$, aber kein Intervall. Dann gibt es nach Aufgabe ***** ${}x,z\in T$ und ${}y\notin T$ mit

${}x<y<z\,.$

Dann ist die Menge

${}A=T\cap {]{-\infty },y[}=T\cap {]{-\infty },y]}\,$

sowohl offen als auch abgeschlossen in ${}T$, da man ${}A$ sowohl als Durchschnitt von ${}T$ mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen ${}x\in A$ und ${}z\notin A$ ist sie weder ${}\emptyset$ noch ${}T$, also ist ${}T$ nicht zusammenhängend.
Es sei nun ${}T$ ein nichtleeres Intervall und  sei angenommen, dass es eine Teilmenge ${}A\subseteq T$ mit ${}A\neq \emptyset ,T$ gibt, die in ${}T$ sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei ${}x\in A$ und ${}y\in T$ , ${}y\not \in A$. Wir betrachten das (abgeschlossene und beschränkte) Intervall ${}I=[x,y]\subseteq T$ (ohne Einschränkung sei ${}x<y$) und setzen ${}A'=A\cap [x,y]$. Dies ist eine in ${}I$ offene und abgeschlossene Teilmenge von ${}I$, die wegen ${}x\in A'$ nicht leer ist und wegen ${}y\notin A'$ nicht ganz ${}I$ ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall ${}I=[x,y]$ zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge ${}A$ mit ${}x\in A$ und ${}y\notin A$ gibt. Wir betrachten die reelle Zahl ${}s={\operatorname {sup} \,(A)}$, die wegen Satz 8.9 existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört ${}s$ zu ${}I$ und aufgrund von Korollar 19.17 ist ${}s\in A$. Da ${}A$ aber auch offen in ${}T$ ist, gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}[s-\delta ,s+\delta ]\cap I\subseteq A$. Da ${}s$ das Supremum von ${}A$ ist, folgt ${}s=y$. Dies ist ein Widerspruch zu ${}y\notin A$.

$\Box$

Insbesondere sind also die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ zusammenhängend. Dies gilt auch für die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ und für ${}\mathbb {R} ^{n}$. Für die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ gilt die vorstehende Aussage nicht, dort sind nämlich nur die einpunktigen Intervalle zusammenhängend, alle anderen Intervalle sind in ${}\mathbb {Q}$ unzusammenhängend, da es zwischen zwei rationalen Zahlen stets irrationale Zahlen gibt, mit deren Hilfe man Teilmenge definieren kann, die zugleich offen als auch abgeschlossen sind.

Zusammenhängende Räume und stetige Abbildungen

Wir interessieren uns dafür, was unter einer stetigen Abbildung ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit einem Intervall passiert. Der Zwischenwertsatz besagt, dass das Bild wieder ein Intervall ist. Wir werden allgemeiner studieren, was mit einer zusammenhängenden Teilmenge unter einer stetigen Abbildung passiert.

Satz

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und sei

$f\colon L\longrightarrow M$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}S\subseteq L$ eine zusammenhängende Teilmenge.

Dann ist auch das Bild

$f(S)$

zusammenhängend.

Beweis

 Es sei ${}f(S)=T$ und ${}A\subseteq T$ eine offene und abgeschlossene Teilmenge, die weder leer noch ganz ${}T$ sei. Die eingeschränkte Abbildung

$f\colon S\longrightarrow T$

ist ebenfalls stetig, und sie ist auch surjektiv. Daher ist ${}f^{-1}(A)$ eine offene und abgeschlossene Teilmenge in ${}S$, die ebenfalls weder leer noch ganz ${}S$ ist, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ${}S$ zusammenhängend ist.

$\Box$

Satz (Zwischenwertsatz)

Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$.

Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=u$.

Beweis

Wir beschränken uns auf die Situation ${}f(a)\leq u\leq f(b)$ und zeigen die Existenz von einem solchen ${}x$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man ${}a_{0}:=a$ und ${}b_{0}:=b$, betrachtet die Intervallmitte ${}x_{0}:={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und berechnet

$f(x_{0}).$

Bei ${}f{\left(x_{0}\right)}\leq u$ setzt man

$a_{1}:=x_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$

und bei ${}f{\left(x_{0}\right)}>u$ setzt man

$a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=x_{0}.$

In jedem Fall hat das neue Intervall ${}[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung ${}f{\left(a_{1}\right)}\leq u\leq f{\left(b_{1}\right)}$ erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei ${}x$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Satz 8.12 definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(a_{n}\right)}\leq u$ und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert ${}x$, also ${}f{\left(x\right)}\leq u$. Für die oberen Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(b_{n}\right)}\geq u$ und das überträgt sich ebenfalls auf ${}x$, also ${}f(x)\geq u$.  Also ist ${}f(x)=u$.

$\Box$

Korollar

Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit ${}f(a)\leq 0$ und ${}f(b)\geq 0$.

Dann gibt es ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}a\leq x\leq b$ und mit ${}f(x)=0$,

d.h. ${}f$ besitzt eine Nullstelle zwischen ${}a$ und ${}b$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 21.4.

$\Box$

Beispiel

Die Abbildung

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto x^{2}-2,$

ist stetig, sie genügt aber nicht dem Zwischenwertsatz. Für ${}x=0$ ist ${}f(0)=-2<0$ und für ${}x=2$ ist ${}f(2)=2>0$, es gibt aber kein ${}x\in \mathbb {Q}$ mit ${}f(x)=0$, da dafür ${}x^{2}=2$ sein muss, wofür es in ${}\mathbb {Q}$ keine Lösung gibt. Der Zwischenwertsatz funktioniert also nur für reelle Zahlen.

Beispiel

Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit ${}f(a)\leq 0$ und ${}f(b)\geq 0$. Dann besitzt die Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Nullstelle in diesem Intervall. Diese kann man durch eine Intervallhalbierung finden. Dazu setzt man ${}a_{0}=a$ und ${}b_{0}=b$ und betrachtet die Intervallmitte ${}x_{0}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$. Man berechnet

$f(x_{0}).$

Bei ${}f{\left(x_{0}\right)}\leq 0$ setzt man

$a_{1}:=x_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$

und bei ${}f{\left(x_{0}\right)}>0$ setzt man

$a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=x_{0}.$

In jedem Fall hat das neue Intervall ${}[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Die durch die Intervallschachtelung definierte reelle Zahl ${}x$ ist eine Nullstelle der Funktion: Für die unteren Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(a_{0}\right)}\leq 0$ und das überträgt sich auf den Grenzwert ${}x$, und für die oberen Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(b_{0}\right)}\geq 0$ und das überträgt sich ebenfalls auf ${}x$.

Stetige bijektive Funktionen und ihre Umkehrfunktion

Es ist keineswegs so, dass die Umkehrabbildung einer bijektiven stetigen Abbildung zwischen metrischen Räumen wieder stetig ist. Für stetige Funktionen auf reellen Intervallen gilt dies aber.

Satz

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige, streng wachsende Funktion.

Dann ist das Bild

${}J:=f(I)\,$

ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

ist ebenfalls stetig.

Beweis

Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus Satz 21.3 und aus Satz 21.2.
Die Funktion ${}f$ ist injektiv, da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung

$f\colon I\longrightarrow J$

auf das Bild bijektiv.
Die Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

ist ebenfalls streng wachsend.
Sei ${}g:=f^{-1}$ und ${}y:=f(x)$ vorgegeben. Es sei zunächst ${}y$ kein Randpunkt von ${}J$. Dann ist auch ${}x$ kein Randpunkt von ${}I$. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben und ohne Einschränkung ${}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]\subseteq I$ angenommen. Dann ist

${}\delta :={\min {\left(y-f(x-\epsilon ),f(x+\epsilon )-y\right)}}>0\,$

und für ${}y'\in [y-\delta ,y+\delta ]$ gilt wegen der Monotonie

${}g(y')\in [g(y-\delta ),g(y+\delta )]\subseteq [x-\epsilon ,x+\epsilon ]\,.$

Also ist ${}g$ stetig in ${}y$. Wenn ${}y$ ein Randpunkt von ${}J$ ist, so ist auch ${}x$ ein Randpunkt von ${}I$, sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem ${}\epsilon >0$ wieder ${}[x-\epsilon ,x]\subseteq I$ und ${}\delta :=y-f(x-\epsilon )$ erfüllt die geforderte Eigenschaft.

$\Box$

Wurzeln

Satz

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Für ${}n$ ungerade ist

die Potenzfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{1/n},$

ist streng wachsend und stetig.

Für ${}n$ gerade ist die Potenzfunktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{n},$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{1/n},$

ist streng wachsend und stetig.

Beweis

Die Stetigkeit ergibt sich aus Fakt *****. Das strenge Wachstum für ${}x\geq 0$ folgt aus der allgemeinen binomischen Formel. Für ungerades ${}n$ folgt das strenge Wachstum für ${}x<0$ aus der Beziehung ${}x^{n}=-(-x)^{n}$ und dem Verhalten im positiven Bereich. Daraus ergibt sich die Injektivität. Für ${}x\geq 1$ ist ${}x^{n}\geq x$, woraus die Unbeschränktheit des Bildes nach oben folgt. Bei ${}n$ ungerade folgt ebenso die Unbeschränktheit des Bildes nach unten. Aufgrund des Zwischenwertsatzes ist das Bild daher ${}\mathbb {R}$ bzw. ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$. Somit sind die angegebenen Potenzfunktionen surjektiv und die Umkehrfunktionen existieren. Die Stetigkeit der Umkehrfunktionen folgt aus Satz 21.8.

$\Box$

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