Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein angeordneter Körper.
  2. Eine Cauchy-Folge in .
  3. Die komplexe Konjugation.
  4. Die Stetigkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

  5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .
  6. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  7. Die geometrische Reihe für .
  8. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    im Entwicklungspunkt .

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein angeordneter Körper.
  2. Eine Cauchy-Folge in .
  3. Die komplexe Konjugation.
  4. Die Stetigkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

  5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .
  6. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  7. Die geometrische Reihe für .
  8. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    im Entwicklungspunkt .


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.

Lösung

Multiplikation liefert

Daher ist

und damit ist


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes die Zahl

ein Vielfaches von ist.

Lösung

Induktionsanfang. Für ist

ein Vielfaches von . Induktionsschritt. Sei nun die Aussage für bewiesen und betrachten wir den Ausdruck für . Dieser ist

wobei im vorletzten Schritt die Induktionsvoraussetzung verwendet wurde (nämlich die Eigenschaft, dass ein Vielfaches von ist). Daher ist diese Zahl ein Vielfaches von .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass gilt.

Lösung

Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten

Aufgrund der Körperaxiome ist . Wir müssen also nur noch die Möglichkeit zum Widerspruch führen. Nehmen wir an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig addieren und erhält
Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

also ist zugleich , ein Widerspruch.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge

Lösung

Für reelles ist immer . Somit ist

für alle . Da die Folge gegen konvergiert und dies auch für die negative Folge gilt, muss aufgrund des Quetschkriteriums auch die Folge gegen konvergieren.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, für welche die Matrix

invertierbar ist.

Lösung

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ist. Die Determinante der Matrix ist

Dies ist gleich bei oder bei . Diese quadratische Gleichung ist äquivalent zu bzw. zu

Also ist

und damit

Die einzigen komplexen Zahlen, bei denen die Matrix nicht invertierbar ist, sind also


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung

Lösung

Das charakteristische Polynom ist

Dies ergibt zunächst den Eigenwert . Durch quadratisches Ergänzen (oder direkt) sieht man für den quadratischen Term die Nullstellen und , die die weiteren Eigenwerte sind. Da es drei verschiedene Eigenwerte gibt ist klar, dass zu jedem Eigenwert der Eigenraum eindimensional ist.

Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , so dass der Eigenraum zu gleich ist.

Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , so dass der Eigenraum zu gleich ist.

Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , so dass der Eigenraum zu gleich ist.


 

Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine -Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige -Matrix.

Lösung

a) Der Satz von Cayley-Hamilton besagt Folgendes. Es sei eine -Matrix mit dem charakteristischen Polynom . Wenn man dann in einsetzt, so ergibt sich

b) Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Um darin einzusetzen berechnen wir zuerst

Daher ist

c) Wir setzen die -Matrix als

an. Das charakteristische Polynom davon ist

Das Quadrat von ist

Durch Einsetzen ergibt sich


 

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Vektorraum und

eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).

Lösung

Die Familie sei zunächst eine Basis. Dann ist sie insbesondere ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte

Dann ist aber

eine nichttriviale Darstellung der , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie.

Sei nun die Familie ein minimales Erzeugendensystem. Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, muss also lediglich gezeigt werden, dass die Familie linear unabhängig ist. Nehmen wir an, sie sei nicht linear unabhängig. Dann gibt es eine Darstellung

wobei mindestens ein Koeffizient ist. Wir behaupten, dass dann auch die um reduzierte Familie noch ein Erzeugendensystem ist im Widerspruch zur Minimalität. Dazu sei ein beliebiger Vektor, den man als

schreiben kann. Wir können schreiben als

Damit ist

woraus ablesbar ist, dass man auch als Linearkombination der darstellen kann.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Sei der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad mit der Basis

Erstelle für die Ableitungsabbildung

die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.

Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.

Lösung

Die Ableitung schickt die Basiselemente auf

Daraus sind direkt die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis abzulesen. In der beschreibenden Matrix stehen in den Spalten die Koeffizienten der Bildvektoren. Daher lautet die Matrix

Das Bild dieser Abbildung besteht aus allen Polynomen vom Grad . Dieser Untervektorraum besitzt die Basis und hat demnach die Dimension .

Der Kern besteht aus den konstanten Polynomen mit der Basis , dieser Unterraum ist also eindimensional.


 

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.

b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.

Lösung

a) Die Funktion ist differenzierbar und die Ableitung ist

Für sind diese beiden Summanden positiv, so dass die Ableitung stets positiv ist und daher streng wachsend ist. Daher ist die Abbildung injektiv. Die Funktion ist stetig, da sie differenzierbar ist. Daher genügt es für die Surjektivität, aufgrund des Zwischenwertsatzes, nachzuweisen, dass beliebig große und beliebig kleine Werte angenommen werden.

Für ist und daher

Da der Logarithmus für beliebig kleine Werte annimmt, gilt das auch für .

Für ist und daher

Da der Logarithmus für beliebig große Werte annimmt, gilt das auch für .

b) Durch Einsetzen ergibt sich , also ist das Urbild von . Aufgrund der Berechnung der Ableitung oben ist

Aufgrund der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt daher


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei . Es gelte

Zeige, dass

Lösung

Wir betrachten die Hilfsfunktion

Nach den Voraussetzungen ist differenzierbar, es ist und es ist für alle . Wir müssen zeigen, dass für alle ist. Nehmen wir also an, dass es ein gibt mit . Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es ein mit

Da diese Zahl negativ ist, ergibt sich ein Widerspruch.


 

Aufgabe * (6 (1+2+1+2) Punkte)

Es sei die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Definiere auf eine Relation durch

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.

c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.

d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.

Lösung

a) Wir betrachten die Abbildung

Zwei Funktionen und stehen genau dann in dieser Relation zueinander, wenn ihre Bilder unter übereinstimmen. Daher liegt eine Äquivalenzrelation vor (und beschreibt die Äquivalenzklassenbildung).

b) Das Polynom

wird unter auf abgebildet, so dass dieses Polynom diese Klasse repräsentiert.

c) Es sei und . Es ist zu zeigen. Dies folgt aber sofort aufgrund der Additivität der Ableitung.

d) Wir betrachten und und . Offenbar ist . Die relevanten Werte für sind wegen einfach

Für ergibt sich . Daher ist

so dass ist. Wir behaupten, dass und nicht äquivalent sind. Es ist mit den Ableitungen und daher ist

Für hat man die Ableitungen und daher ist


 

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Es sei die Menge aller Häufungspunkte der Folge und

Zeige, dass eine abgeschlossene Teilmenge von ist.

Lösung

Wir zeigen, dass das Komplement offen ist. Sei dazu ein Punkt , , gegeben. D.h. dass weder ein Folgenglied noch ein Häufungspunkt der Folge ist. Da kein Häufungpunkt ist bedeutet, dass es ein derart gibt, dass es in nur endlich viele Folgenglieder gibt. Diese Folgenglieder seien

Da selbst kein Folgenglied ist, ist für alle . Daher ist für alle und somit

Damit ist eine offene Umgebung von , die keine Folgenglieder enthält. Dies gilt dann erst recht für . Diese Menge enthält aber auch keinen Häufungspunkt der Folge. Wäre nämlich , so würde es in unendlich viele Folgenglieder geben, was wegen

ein Widerspruch ist. Daher haben wir eine offene Umgebung von gefunden, die zu disjunkt ist.


 


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