Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 13

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Invertierbare Matrizen

Definition  

Die -Matrix

nennt man die Einheitsmatrix.


Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann heißt invertierbar, wenn es eine weitere Matrix mit

gibt.


Definition  

Es sei ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix heißt die Matrix mit

die inverse Matrix von . Man schreibt dafür

Die Menge der invertierbaren -Matrizen wird mit

bezeichnet. Diese Menge ist mit der Multiplikation von Matrizen, der -ten Einheitsmatrix als neutralem Element und der inversen Matrix, die eindeutig bestimmt ist, eine Gruppe. Sie heißt die allgemeine lineare Gruppe.



Lineare Abbildungen und Matrizen

Definition  

Es sei ein Körper und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis .

Zu einer linearen Abbildung

heißt die -Matrix

wobei die -te Koordinate von bezüglich der Basis ist, die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basen.

Zu einer Matrix heißt die durch

gemäß Satz 12.3 definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.



Satz  

Es sei ein Körper und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis .

Dann sind die in Definition 13.4 festgelegten Abbildungen

invers zueinander.

Beweis  

Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix und betrachten die Matrix

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar die Einträge übereinstimmen. Es ist

Sei nun eine lineare Abbildung, und betrachten wir

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Satz 12.3 überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis übereinstimmen. Es ist

Dabei ist nach Definition der Koeffizient die -te Koordinate von bezüglich der Basis . Damit ist diese Summe gleich .



Beispiel  

Eine lineare Abbildung

wird zumeist durch die Matrix bezüglich der Standardbasen links und rechts beschrieben. Das Ergebnis der Matrixmultiplikation

ist dann direkt als Punkt in interpretierbar. Die -te Spalte von ist das Bild des -ten Standardvektors .




Lemma  

Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.

Damit ist folgendes gemeint: es seien Vektorräume über einem Körper mit Basen

Es seien

lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von und der Hintereinanderschaltung die Beziehung

Beweis  

Wir betrachten die Abbildungskette

Bezüglich der Basen werde durch die -Matrix und durch die -Matrix beschrieben. Die Hintereinanderschaltung wirkt auf einen Basisvektor folgendermaßen.

Dabei sind diese Koeffizienten gerade die Einträge in der Produktmatrix .




Lemma  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
  2. ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.
  3. Bei ist genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn invertierbar ist.

Beweis  

Es seien und Basen von bzw. und es seien die Spaltenvektoren von . (1). Die Abbildung hat die Eigenschaft

wobei der -te Eintrag des -ten Spaltenvektors ist. Daher ist

Dies ist genau dann , wenn für alle ist, und dies ist äquivalent zu

Dafür gibt es ein nichttrivales (Lösungs-)Tupel genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn nicht injektiv ist.
(2). Siehe Aufgabe 13.7.
(3). Sei . Die erste Äquivalenz folgt aus (1) und (2). Wenn bijektiv ist, so gibt es die (lineare) Umkehrabbildung mit

Es sei die Matrix zu und die Matrix zu . Die Matrix zur Identität ist die Einheitsmatrix. Nach Lemma 13.7 ist daher

und somit ist invertierbar. Die Umkehrung wird ähnlich bewiesen.




Basiswechsel



Lemma  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und zwei Basen von . Es sei

mit den Koeffizienten , die wir zur -Matrix

zusammenfassen.

Dann hat ein Vektor , der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt, bezüglich der Basis die Koordinaten

Beweis  

Dies folgt direkt aus

und der Definition der Matrizenmultiplikation.


Man kann diese Aussage auch so auffassen: Zu den beiden Basen gehören die bijektiven linearen Abbildungen

(die jeweils die Standardvektoren auf die Basisvektoren schicken). Dann ist

ebenfalls eine bijektive lineare Abbildung, und diese wird bezüglich der Standardbasis durch beschrieben. Die Matrix, die den Basiswechsel beschreibt, nennt man auch die Übergangsmatrix.



Lemma  

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen und durch die Matrix beschrieben werde.

Dann wird bezüglich der Basen und durch die Matrix

beschrieben, wobei und die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von nach und von nach beschreiben.

Beweis  

Die linearen Standardabbildungen bzw. zu den Basen seien mit bezeichnet. Wir betrachten das kommutative Diagramm

wobei die Kommutativität auf Fakt ***** und Fakt ***** beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt




Korollar  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Es seien und Basen von .

Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich bzw. (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

Beweis  

Dies folgt direkt aus Lemma 13.10.


Es ist ein wichtiger Aspekt, zu einer gegebenen linearen Abbildung eines Vektorraumes in sich selbst eine Basis zu finden, bezüglich der die beschreibende Matrix „möglichst einfach“ wird. Dieses Problem ist äquivalent damit, zu einer quadratischen Matrix eine invertierbare Matrix zu finden derart, dass möglichst einfach ist.



Elementarmatrizen

Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an elementare Zeilenumformungen.

  1. Vertauschung von zwei Zeilen.
  2. Multiplikation einer Zeile mit .
  3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Lösungsraum von homogenen linearen Gleichungssystemen, wie in Lemma 10.22 gezeigt wurde.



Satz  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann gibt es elementare Zeilenumformungen und eine (Neu-)Nummerierung der Spalten

und ein derart, dass in der entstandenen Matrix die Spalten die Gestalt

und

besitzen. Durch elementare Zeilenumformungen und zusätzliche Spaltenvertauschungen kann man also eine Matrix auf die Gestalt

mit bringen.

Beweis  

Dies beruht auf den entsprechenden Manipulationen wie beim Eliminationsverfahren, siehe 10.23.



Definition  

Es sei ein Körper. Mit bezeichnen wir diejenige -Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

  1. .
  2. .
  3. .

Ausgeschrieben sehen diese Elementarmatrizen folgendermaßen aus.



Lemma

Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Dann hat die Multiplikation mit den -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung.

  1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
  2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
  3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().

Beweis

Siehe Aufgabe 13.8.



Verfahren  

Es sei eine quadratische Matrix. Wie kann man entscheiden, ob die Matrix invertierbar ist, und wie kann man die inverse Matrix finden?

Dazu legt man eine Tabelle an, wo in der linken Seite zunächst die Matrix steht und in der rechten Seite die Einheitsmatrix. Jetzt wendet man auf beide Matrizen schrittweise die gleichen elementaren Zeilenumformungen an. Dabei soll in der linken Seite die Ausgangsmatrix in die Einheitsmatrix umgewandelt werden. Dies ist genau dann möglich, wenn diese Matrix invertierbar ist. Wir behaupten, dass bei dieser Vorgehensweise in der rechten Seite die Matrix als Endmatrix entsteht. Dies beruht auf folgendem Invarianzprinzip. Jede elementare Zeilenumformung kann als eine Matrizenmultiplikation mit einer Elementarmatrix von links realisiert werden. Wenn in der Tabelle

steht, so steht im nächsten Schritt

Wenn man das Inverse (das man noch nicht kennt, das es aber gibt unter der Voraussetzung, dass die Matrix invertierbar ist) der linken Seite mit der rechten Seite multipliziert, so ergibt sich

D.h., dass sich dieser Ausdruck bei den Einzelschritten nicht ändert. Zu Beginn ist dieser Ausdruck gleich , daher muss zum Schluss für gelten


Beispiel  

Wir wollen zur Matrix gemäß dem in 13.16 beschriebenen Verfahren die inverse Matrix bestimmen.



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