Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/18/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 1 3 2 7 4 3 4 2 1 5 6 3 4 3 5 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Gaußklammer einer reellen Zahl .
  2. Eine streng fallende Funktion .
  3. Eine Reihe von reellen Zahlen .
  4. Die höheren Ableitungen zu einer Funktion

    (rekursive Definition).

  5. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

    auf einem kompakten Intervall .

  6. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


Lösung

  1. Die Gaußklammer ist durch

    definiert.

  2. Die Funktion

    heißt streng fallend, wenn

  3. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen
  4. Die Funktion heißt -mal differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung, also , differenzierbar ist. Die Ableitung

    nennt man dann die -te Ableitung von .

  5. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar auf , wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.
  6. Eine Abbildung

    heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

    1. für alle .
    2. für alle und .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Summenregel für reelle Folgen.
  2. Die Produktregel für differenzierbare Funktionen
  3. Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).


Lösung

  1. Es seien und konvergente Folgen in . Dann ist die Folge ebenfalls konvergent und es gilt
  2. Das Produkt ist ebenfalls differenzierbar und es gilt
  3. Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation. Damit ist folgendes gemeint: es seien Vektorräume über einem Körper mit Basen

    Es seien

    lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von und der Hintereinanderschaltung die Beziehung


Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Lösung

Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Die Zahlen

werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen?


Lösung

Zwei in einer solchen Reihe aufeinanderfolgende Zahlen ergeben

Ein solches Paar trägt also mit zur Gesamtsumme bei. Wenn gerade ist, so gibt es solche Paare und die Gesamtsumme ist . Wenn ungerade ist, so gibt es solche Paare sowie die letzte alleinstehende Zahl , die positiv eingeht. Also ist die Gesamtsumme in diesem Fall gleich


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

  1. Zeige, dass für positve reelle Zahlen die Abschätzung

    gilt.

  2. Zeige, dass es reelle Zahlen mit und mit

    gibt.


Lösung

  1. Im positiven Fall ist auch und somit kann man überall die Betragsstriche weglassen. Es ist und somit ist .
  2. Es sei und . Dann ist

    und somit steht links und rechts das Maximum aus und , also .


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Lösung

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von . Wenn der Grad von größer als der Grad von ist, so ist und eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ist nach der Vorbemerkung auch , also ist ein konstantes Polynom, und damit ist (da und ein Körper ist) und eine Lösung. Sei nun und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben und mit . Dann gilt mit die Beziehung

Dieses Polynom hat einen Grad kleiner als und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt und mit

Daraus ergibt sich insgesamt

so dass also und eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist . Da die Differenz einen Grad kleiner als besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei und lösbar.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

wachsend ist.


Lösung

Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt

Dies schreiben wir als

Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit (es sei ) die Abschätzung


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.


Lösung

Wir wollen

zeigen. Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu

bzw. zu

Wegen

ist dies in der Tat wahr.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine reelle konvergente Folge mit für alle und . Zeige, dass ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Da der Limes der Folge nicht ist, gilt für die Bedingung und damit . Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gibt es ein mit

Dann gilt für alle die Abschätzung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit dem Kreis , der den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Lösung

Der Einheitskreis ist die Lösungsmenge der Gleichung

und ist die Lösungsmenge der Gleichung

Wenn man von der zweiten Gleichung die erste abzieht, so erhält man

also

Aus der Einheitskreisgleichung folgt daraus, dass

sein muss. Der einzige Schnittpunkt ist also (der in der Tat ein Schnittpunkt ist).


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten eine Funktion der Form

wobei und lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen () die Beziehung

gilt.


Lösung

Zum Induktionsanfang betrachten wir , es geht also um die Funktion selbst. Wegen

ist die Formel für gerade richtig.

Wir beweisen nun nun die Formel für unter der Induktionsvoraussetzung, dass sie für alle kleinere Zahlen richtig ist. Sei zunächst ungerade, also gerade. Dann ist (unter Verwendung der Tatsache, dass die zweiten Ableitungen von und gleich sind)

so dass der Ausdruck für ungerade vorliegt.

Bei gerade, also ungerade, ist

so dass der Ausdruck für gerade vorliegt.


Aufgabe (6 (4+1+1) Punkte)

  1. Zeige die Gleichheit
  2. Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?


Lösung

  1. Es ist
    und somit

    Da der Logarithmus die Multiplikation in die Addition überführt, ist

    und somit

    Durch Übergang zu den Beträgen erhält man Gleichheit.

  2. Nach Teil (1) gilt

    Da die Logarithmen nicht sind, gilt diese Gleichung nicht, wenn man das vordere Minuszeichen weglässt.

  3. Es ist , somit ist negativ. Davon ist der Logarithmus gar nicht definiert, man kann also die inneren Beträge nicht weglassen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von


Lösung

Die Funktion hat die Gestalt

deshalb ist nach der Kettenregel (für drei Funktionen) eine Stammfunktion dieser Funktion, wobei eine Stammfunktion von bezeichnet. Also ist

eine Stammfunktion.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter den Lösungsraum der linearen Gleichungssystems


Lösung

Bei wird das Gleichungssystem zu

Also ist

und beliebig, somit ist

Sei also . Wir rechnen und erhalten

bzw.

Die erste Gleichung liefert

Somit ist


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

a) Zeige

b) Bestimme die inverse Matrix zu .

c) Löse die Gleichung


Lösung

a) Es ist

b) Nach Teil a) ist

also ist invertierbar und stimmt mit seinem Inversen überein, also

c) Wir wenden auf die Gleichung beidseitig die Matrix an und erhalten


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Körper . Es seien und Vektoren in , die jeweils paarweise linear unabhängig seien. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung derart gibt, dass

für gilt.


Lösung

Da und Basen sind, gibt es nach dem Festlegungsatz eine bijektive lineare Abbildung mit und . Unter bleiben die Voraussetzungen über die paarweise lineare Unabhängigkeit erhalten. Daher müssen wir nur noch die Situation von zwei Vektorfamilien der Form und betrachten. Es sei

und

Dabei sind , da andernfalls bzw. zu einem der linear abhängig wäre. Wir betrachten nun die lineare Abbildung , die durch und gegeben ist. Dann ist

Somit erfüllt die geforderte Bedingung.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Lösung

Das charakteristische Polynom ist

Dies ergibt zunächst den Eigenwert . Durch quadratisches Ergänzen (oder direkt) sieht man für den quadratischen Term die Nullstellen und , die die weiteren Eigenwerte sind. Da es drei verschiedene Eigenwerte gibt ist klar, dass zu jedem Eigenwert der Eigenraum eindimensional ist.

Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , so dass der Eigenraum zu gleich ist.

Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , so dass der Eigenraum zu gleich ist.

Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , so dass der Eigenraum zu gleich ist.