Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/42/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 1 2 2 4 4 5 4 6 7 2 6 3 4 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  2. Ein archimedisch angeordneter Körper .
  3. Eine stetig differenzierbare Funktion .
  4. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
  5. Eine -Matrix über einem Körper .
  6. Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).


Lösung

  1. Die Abbildung

    heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .

  2. Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
    gibt.
  3. Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist.
  4. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.
  5. Eine -Matrix über ist ein Schema der Form

    wobei die aus sind.

  6. Unter der Dimension eines Vektorraums versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .
  2. Der Satz über die Ableitung in einem Extremum.
  3. Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.


Lösung

  1. Ein Element ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
  2. Es sei

    eine Funktion, die in ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist

    .
  3. Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

    eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Dann gilt


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Aussage(nform), in die man eine natürliche Zahl einsetzen kann. Diskutiere den Unterschied zwischen den beiden Aussagen

Was ist die mathematische Relevanz der beiden Aussagen?


Lösung Vollständige Induktion/Allquantor/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht und Old Shatterhand sieht Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?


Lösung

Es gibt

Sternschnuppen, die beide sehen. Daher sieht Winnetou von den von Old Shatterhand gesehenen Sternschnuppen

nicht.


Aufgabe (2 Punkte)

Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.


Lösung

7Geraden8Schnittpunkte.png


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige für die Gleichung


Lösung

Bei steht links und rechts das leere Produkt, dessen Wert gleich ist. Bei steht links allein und rechts einfach . Wir führen Induktion nach , sei die Aussage also für schon bewiesen. Dann ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig), Dann ist nach Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und hat den Grad , so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, so dass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme, für welche reellen Zahlen die Reihe

konvergiert.


Lösung

Es handelt sich um eine Potenzreihe mit den Koeffizienten . Sie konvergiert für , da dann nur ein Glied von verschieden ist. Wir behaupten, dass die Reihe für keine weitere reelle Zahl konvergiert. Da es sich um eine Potenzreihe handelt, genügt es, für jede reelle positive Zahl nachzuweisen, dass die Reihe divergiert. Zu gibt es ein mit . Es gilt dann auch für alle . Wegen

erfüllt die Reihe nicht das Cauchy-Kriterium und kann daher nicht konvergieren.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Lösung

ungefähr


Aufgabe (6 (4+2) Punkte)

a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei jeweils tangential schneidet.

b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.


Lösung

a) Das gesuchte Polynom sei

Dann ist

Die Bedingung, dass der Graph zu die Diagonale und die Gegendiagonale bei schneidet, bedeutet

Die Steigung der Diagonale ist . Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies

Die Steigung der Gegendiagonale ist . Dies bedeutet somit

Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt

und somit

Daraus ergibt sich mit der ersten (oder der zweiten) Gleichung

Das gesuchte Polynom ist also

b) Für ist zu zeigen, dass und für ist zu zeigen, dass ist. Im ersten Fall ist

und im zweiten Fall ist


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.


Lösung

Unter den Voraussetzungen wird die Taylor-Formel zu

mit (abhängig von ) zwischen und . Je nachdem, ob oder ist, gilt auch (wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der -ten Ableitung) bzw. für für ein geeignetes . Für diese ist auch , so dass das Vorzeichen von vom Vorzeichen von abhängt.
Bei gerade ist ungerade und daher wechselt das Vorzeichen bei (bei ist das Vorzeichen negativ und bei ist es positiv). Da das Vorzeichen von sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von . Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.
Sei nun ungerade. Dann ist gerade, so dass für alle in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei , dass ist und in ein isoliertes Minimum vorliegt, und bei , dass ist und in ein isoliertes Maximum vorliegt.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen der -Achse und dem Graphen des Kosinus hyperbolicus oberhalb des Intervalls eingeschlossen wird.


Lösung

Eine Stammfunktion des Kosinus hyperbolicus

ist

Somit ist der Flächeninhalt gleich


Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Lösung

Wir betrachten den Körper und die additive Gruppe . Als „Skalarmultiplikation“

betrachten wir die durch

gegebene Abbildung, wobei die komplexe Konjugation von bezeichnet (wir schreiben um zu betonen, dass es sich um eine untypische Operation handelt).

Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation sei und . Bei

ist

wobei die mittlere Gleichung sowohl bei als auch bei gilt. Bei

ist

Zum Nachweis der Distributivität in den Skalaren ist bei

und bei

ist


Sei nun

und

Dann ist

und somit ist einerseits

und andererseits

Somit ist diese Multiplikation nicht distributiv in den Vektoren.

Ferner ist wegen

stets


Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Lösung

Es geht um das lineare Gleichungssystem

Wir ersetzen die zweite Zeile durch und die dritte durch und erhalten

Wir ersetzen durch und erhalten

Somit ist

und


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Lösung

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen weiteren Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass ein Diagonalelement von ein Eigenwert zu sein muss.


Lösung

Es sei ein Diagonalelement und es sei der kleinste Index mit

Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor

mit

gibt. Wir zeigen die Existenz eines solchen Vektors mit

und

für . Damit sind die -ten Zeilen zu für erfüllt. Die unteren Zeilen werden (wir schreiben

und ) zum Gleichungssystem

bzw. zum linearen Gleichungssystem

Die letzte Gleichung ist stets, also insbesondere mit erfüllt. Da

ist für , ist in diesem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt der Anfangsterm

für von verschieden. Nach [[Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Strenge Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Strenge Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))]] kann man also zu einer Lösung ergänzen.