Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/52/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 2 2 4 2 5 2 3 2 5 4 5 7 1 5 1 3 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine streng wachsende Funktion .
  2. Eine Reihe von reellen Zahlen .
  3. Der natürliche Logarithmus
  4. Eine stetig differenzierbare Funktion .
  5. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  6. Die Determinante eines Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .


Lösung

  1. Die Funktion

    heißt streng wachsend, wenn

  2. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen
  3. Der natürliche Logarithmus

    ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

  4. Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist.
  5. Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Obersummen von oberen Treppenfunktionen von .
  6. Die Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben. Dann nennt man

    die Determinante der linearen Abbildung .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
  2. Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen .
  3. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.


Lösung

  1. Die komplexen Zahlen bilden einen Körper.
  2. Seien

    Teilmengen und seien

    und

    Funktionen mit . Es sei in differenzierbar und sei in differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

    in differenzierbar mit der Ableitung

  3. Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems

    über einem Körper ist ein Untervektorraum des

    (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).


Aufgabe (2 Punkte)

Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?


Lösung Flugzeug/Osnabrück/Südhalbkugel/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Lösung

  1. Es ist
  2. Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge. Zeige durch Induktion über , dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten

ist.


Lösung

Es sei fixiert. Bei gibt es nur die leere Menge, was mit dem Binomialkoeffizienten

übereinstimmt. Sei die Aussage also für ein zwischen und schon bewiesen. Jeder -elementigen Teilmenge von und jedem der Elemente aus kann man die -elementige Menge

zuordnen. Dabei wird jede -elementige Menge erreicht, und zwar -fach, da man ja aus jedes der Elemente herausnehmen kann. Zwischen der Anzahl der -elementigen Teilmengen von und der Anzahl der -elementigen Teilmengen von besteht also der Zusammenhang

Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung ist daher


Aufgabe (2 Punkte)

Schreibe die Menge

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.


Lösung

Der rechte Klammerausdruck ist leer und der linke Klammerausdruck ist

Somit ist die Gesamtmenge gleich


Aufgabe (5 Punkte)

Vergleiche


Lösung

Wir fragen uns, ob

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu

Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu

Dies ist äquivalent zu

Quadrieren liefert

was stimmt. Also ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass

eine Quadratwurzel von ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

  1. Berechne das Produkt

    im Polynomring .

  2. Berechne das Produkt

    in auf zwei verschiedene Arten.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist einerseits direkt
    Andererseits kann man im Ergebnis von Teil 1 die Variable durch ersetzen und erhält


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion


Lösung

Wir schreiben

Daher ist die durch gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und drei reelle Folgen. Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen konvergiert.


Lösung

Es ist

Bei ist somit

und bei ist

Daher ist stets

Für ein vorgegebenes gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen natürliche Zahlen  und derart, dass

für und

für gilt. Für gilt daher

Dies bedeutet die Konvergenz von gegen .


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei jeweils tangential schneidet.


Lösung

Das gesuchte Polynom sei

Dann ist

Die Bedingung, dass der Graph zu die Diagonale und die Gegendiagonale bei schneidet, bedeutet

Die Steigung der Diagonale ist . Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies

Die Steigung der Gegendiagonale ist . Dies bedeutet somit

Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt

und somit

Daraus ergibt sich mit der ersten (oder der zweiten) Gleichung

Das gesuchte Polynom ist also


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.


Lösung

Wir können annehmen, dass ein lokales Maximum in besitzt. Es gibt also ein mit für alle . Es sei eine Folge mit , die gegen („von unten“) konvergiere. Dann ist und und somit ist der Differenzenquotient

was sich dann nach Lemma 7.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist . Für eine Folge mit gilt andererseits

Daher ist auch und somit ist insgesamt .


Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

Die sogenannten Bernoulli-Polynome für sind Polynome vom Grad , die rekursiv definiert werden: ist das konstante Polynom mit dem Wert . Das Polynom berechnet sich aus dem Polynom über die beiden Bedingungen: ist eine Stammfunktion von und es ist

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne .


Lösung

  1. Die Stammfunktionen von sind mit einer Konstanten . Die Bedingung

    führt auf

    und daher

  2. Die Stammfunktionen von sind mit einer Konstanten . Die Bedingung
    führt auf

    und daher

  3. Die Stammfunktionen von sind mit einer Konstanten . Die Bedingung
    führt auf

    und daher


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).


  1. AY 3 8910 obwiednia 1100.svg










  2. Primka.png











  3. Point and line.png











  4. Disk 1.svg












  5. Zero-dimension.GIF







Lösung

2 (Gerade) und 5 (Punkt) können als Lösungsmenge eines Gleichungssystems auftreten, die anderen nicht.


Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei eine Basis eines dreidimensionalen -Vektorraumes .

a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix .

c) Bestimme die Übergangsmatrix .

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.


Lösung

a) Es ist

und

Daher ist ebenfalls ein Erzeugendensystem von und somit eine Basis, da die Dimension ist.

b) In den Spalten von müssen die Koordinaten der Vektoren bezüglich der Basis stehen, also ist

c) Nach a) ist

d) Die Koordinaten ergeben sich aus

e) Die Koordinaten ergeben sich aus


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme den Rang der Matrix

zu .


Lösung

Die zweite Zeile ergibt sich aus der ersten Zeile durch Multiplikation mit , die dritte Zeile ergibt sich aus der ersten Zeile durch Multiplikation mit . Somit ist der Rang maximal . Wegen der links oben ist der Rang genau .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (5 (4+1) Punkte)

Es seien quadratische Matrizen über einem Körper , die zueinander in der Beziehung

mit einer invertierbaren Matrix stehen. Zeige, dass die Eigenwerte von mit den Eigenwerten zu übereinstimmen, und zwar

  1. direkt,
  2. mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.


Lösung

  1. Es sei ein Eigenwert zu . Dann gibt es ein von verschiedenes Koordinatentupel mit

    Es sei

    was ebenfalls nicht ist. Dann ist

    d.h. ist auch ein Eigenwert von . Wegen

    ist die Situation symmetrisch, daher sind Eigenwerte von auch Eigenwerte von .

  2. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes besitzen und das gleiche charakteristische Polynom. Da die Eigenwerte genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, stimmen die Eigenwerte überein.