Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/57/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 3 2 2 4 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 3 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
  3. Eine Cauchy-Folge in .
  4. Die eulersche Zahl .
  5. Das untere Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  6. Der Rang einer linearen Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen und .


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    die Produktmenge der Mengen und .

  2. Zu einer komplexen Zahl nennt man den Realteil und den Imaginärteil von .
  3. Eine reelle Folge heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  4. Die eulersche Zahl ist durch

    definiert.

  5. Zur unteren Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt

    ein unteres Treppenintegral von auf .

  6. Unter dem Rang einer linearen Abbildung versteht man


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
  2. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit.
  3. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper .


Lösung

  1. Es seien und reelle Folgen. Es gelte

    und und

    konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert .
  2. Sei eine Teilmenge, ein Punkt und

    eine Funktion. Dann ist in genau dann differenzierbar, wenn es ein und eine Funktion

    gibt mit stetig in und und mit

  3. Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper in Dreiecksgestalt
    gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich seien. Dann stehen die Lösungen in Bijektion zu den Tupeln .


Aufgabe (3 Punkte)

Karl trinkt eine Flasche Bier ( Liter) mit einem Alkoholgehalt von Prozent. Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?


Lösung

In der Flasche befindet sich

Alkohol. Somit gehen

in sein Blut. Der Anteil ist daher

Das sind Prozent bzw. Promille.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.


Lösung

Es ist

darstellbar mit vier Quadraten. Die einzigen Quadrate unterhalb von sind . Die trägt nicht zu einer minimalen Darstellung bei. Zweimal die ist schon zu groß, daher gibt es keine Darstellung als Summe von drei Quadraten.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Gaußklammer von .


Lösung

Es ist

und

daher ist

also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für positive natürliche Zahlen die Beziehung

gilt.


Lösung

Wir führen Induktion nach (für beliebiges ). Bei

steht links

und rechts steht die einfache Potenzierung , das stimmt also überein. Zum Induktionsschluss nehmen wir an, dass die Aussage für ein bestimmtes schon bewiesen sei und wir müssen die entsprechende Aussage für zeigen. Unter Verwendung von Fakt ***** und der Induktionsvorausetzung ist

was den Induktionsschritt beweist. Nach dem Induktionsprinzip ist die Aussage allgemein bewiesen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

und


Lösung

Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen vor, die eine Nullstelle von sind. Es ist

Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung

Die Lösungen dafür sind

Dies sind die -Koordinaten der beiden Schnittpunkte.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

ein reelles Polynom mit . Man gebe in Abhängigkeit von den Koeffizienten eine Schranke derart an, dass

für alle gilt.


Lösung

Wir setzen

Dann gelten für die Abschätzungen


Aufgabe (3 Punkte)

Zu jeder natürlichen Zahl sei eine Nullfolge gegeben, das -te Folgenglied der -ten Folge sei mit bezeichnet. Ist die Folge , deren -tes Folgenglied durch

gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?


Lösung

Die Folge muss keine Nullfolge sein. Jede Folge sei die Folge der Stammbrüche, also

für alle und . Dann ist

Es handelt sich also um die konstante Folge mit dem Wert , die gegen konvergiert, und keine Nullfolge ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen reeller Zahlen.


Lösung

Wir setzen . Die Konvergenz der Reihe bedeutet die Konvergenz dieser Folge der Partialsummen. Eine reelle Folge konvergiert genau dann, wenn es sich um eine Cauchyfolge handelt. Eine solche liegt vor, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass zu jedem

die Abschätzung

gilt. Im Reihenfall bedeutet dies einfach

(die Verschiebung um in der Indexmenge macht keinen Unterschied).


Aufgabe (4 Punkte)

Das Heron-Verfahren berechnet zu jedem mit dem fest gewählten Startwert eine von abhängige Folge . Beschreibe explizit die Funktionen

für .


Lösung

Die Iteration im Heron-Verfahren zur Berechnung von ist durch

gegeben. Deshalb ist


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
  2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?


Lösung

  1. Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit multiplizieren und setzen. Es ist

    zu lösen, also ist

    Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist

    Somit ist

    die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.

  2. Da die Kosinusreihe gleich ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.


Lösung

Die Kreisgleichung ist

Wir lösen die Geradengleichung nach auf und erhalten

Dies setzen wir in die Kreisgleichung ein und erhalten

also

bzw.

Somit ist

Bei

ist

der erste Schnittpunkt ist also

Bei

ist

der zweite Schnittpunkt ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.


Lösung

Wir gehen von

und

aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

Aufgrund von Lemma 10.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert für .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die oberhalb des Intervalls von der -Achse und dem Graphen der Funktion

eingeschlossen wird.


Lösung

Es ist

Somit steht im Zähler die Ableitung des Nenners und daher ist

eine Stammfunktion von für . Die Funktion ist überall positiv, somit ist der Flächeninhalt gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir die zweite Gleichung mit der dritten Gleichung addieren. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

erzeugten Untervektorraumes des .


Lösung

Die Summe der vier Vektoren ist

Daher gehört zu dem von den Vektoren erzeugten Untervektorraum. Daher gehören auch die Differenzen

und

also die Standardvektoren, zu dem erzeugten Untervektorraum. Daher wird der ganze erzeugt und die Dimension ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Determinante von

über dem Körper .


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu gibt.


Lösung

Es sei

Wir nehmen an, dass es unendlich viele Eigenwerte gibt. Dann gibt es insbesondere Eigenwerte

und zugehörige Eigenvektoren

Nach Lemma 27.14 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) sind diese linear unabhängig, das widerspricht aber dem Basisaustauschsatz.