Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/13/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 5 4 4 4 3 2 2 3 11 7 4 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung
  2. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld längs eines stetig differenzierbaren Weges .
  3. Ein zeitartiger Vektor in einem Minkowski-Raum.
  4. Das Taylor-Polynom im Punkt vom Grad einer -fach differenzierbaren Abbildung
  5. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  6. Die Rotationsmenge (um die -Achse) zu einer Teilmenge .


Lösung

  1. Die gewöhnliche Differentialgleichung

    heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also gilt mit einer Funktion in der einen Variablen .

  2. Das Wegintegral ist
  3. Ein Vektor mit

    heißt zeitartig.

  4. Das Taylor-Polynom vom Grad zu in ist
  5. Es seien die Richtungsableitungen in Richtung des -ten Einheitsvektors. Zu heißt die Matrix

    die Hesse-Matrix zu im Punkt .

  6. Die Rotationsmenge zu ist


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eigenschaften des Abstandes auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt.
  2. Der Satz von Schwarz.
  3. Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus .


Lösung

  1. Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ).
    1. Es ist .
    2. Es ist genau dann, wenn .
    3. Es ist .
    4. Es ist
  2. Sei offen und eine Abbildung, so dass für die zweiten Richtungsableitungen und existieren und stetig sind. Dann gilt
  3. Für eine kompakte Teilmenge ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

für .


Lösung

Wir müssen für

mittels Partialbruchzerlegung eine Stammfunktion bestimmen. Es ist

Multiplikation mit dem Nenner führt auf

Einsetzen von führt auf die linearen Gleichungen

und

Also ist

Eine Stammfunktion ist also

Somit ist

eine Lösung der Differentialgleichung.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.


Lösung

Bei ist die Aussage richtig. Sei also und damit auch . Damit hat man die Abschätzungen

Multiplikation mit und Wurzelziehen ergibt das Resultat.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge abgeschlossen ist.


Lösung

Die endliche Punktmenge bestehe aus . Wir müssen zeigen, dass das Komplement dieser Punktmenge offen ist. D.h. wir müssen zeigen, dass es zu jedem Punkt , , eine offene Ballumgebung gibt, die ganz in liegt. Wegen ist . Wir setzen . Dann enthält keinen der Punkte.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

  1. Beschreibe eine Parametrisierung des einfach mit dem Uhrzeigersinn durchlaufenen Einheitskreises mit konstanter Geschwindigkeit .
  2. Beschreibe eine Parametrisierung des einfach mit dem Uhrzeigersinn durchlaufenen Einheitskreises mit konstanter Geschwindigkeit, die insgesamt eine Zeiteinheit braucht.
  3. Berechne mit der Paramterisierung aus die Länge des Kreisbogens.


Lösung

  1. Eine solche Parametrisierung ist durch

    gegeben.

  2. Eine solche Parametrisierung ist durch

    gegeben.

  3. Nach Satz 38.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist die Länge gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.


Lösung

Dies folgt direkt aus


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es eine Bilinearform auf einem Vektorraum geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber

für alle ist.


Lösung

Wir betrachten auf die Abbildung

Nach grundlegenden Eigenschaften der Determinante ist dies eine Bilinearform, und zwar nicht die Nullform. Wenn aber vorne und hinten der gleiche Vektor steht, so ist das Ergebnis .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung von

im Punkt in Richtung über das totale Differential von .


Lösung

Das totale Differential von ist

Im Punkt ist dies

Angewendet auf die Richtung ergibt sich die Richtungsableitung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

Zeige, dass die Wärmeleitungsgleichung

erfüllt.


Lösung

Es ist

und

wie behauptet.


Aufgabe (3 Punkte)

Begründe ohne Differentialrechnung, dass die Funktion

kein lokales Extremum besitzt.


Lösung

Die Funktion ist für streng wachsend und für streng fallend, für ist es umgekehrt. Daher kann man für jeden Punkt in einer beliebig kleinen Ballumgebung den Funktionswert von erhöhen, indem man beibehält und größer (bei ) bzw. kleiner (bei ) macht. Ebenso kann man den Funktionswert kleiner machen, indem man beibehält und größer (bei ) bzw. kleiner (bei ) macht.


Aufgabe (11 (2+2+4+3) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem beliebigen Punkt
  2. Bestimme die Punkte , für die regulär ist.
  3. Ist injektiv?
  4. Ist surjektiv? Tipp: Die Funktion ist nach unten beschränkt.


Lösung

  1. Es ist

    und

    Somit ist die Jacobi-Matrix gleich

  2. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

    Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist die Determinante genau dann gleich , wenn

    ist. Dies ist genau bei

    und

    bzw.

    der Fall. Dies charakterisiert die kritischen Punkte, die Punkte mit oder

    sind regulär.

  3. Wir betrachten die Einschränkung von auf die durch

    gegebene Gerade. Die beiden Komponentenfunktionen haben darauf die Form

    Die Ableitung davon ist

    mit einer Nullstelle an

    Wegen

    liegt dort ein isoliertes Minimum von vor. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher

    mit

    Daher haben und unter den gleichen Wert und die Abbildung ist nicht injektiv.

  4. Die Abbildung ist nicht surjektiv. Wir zeigen, dass Elemente der Form

    mit hinreichend klein nicht zum Bild gehören. Die Bedingung (der zweiten Komponente)

    führt auf

    und damit auf

    und somit ergibt sich (aus der ersten Komponente) die Bedingung

    Da nach Aufgabe 15.18 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) nach unten beschränkt ist, ist auch nach unten beschränkt, und für

    unterhalb dieser Schranke gibt es kein Urbild.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung

Für welche Punkte sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?


Lösung

Es ist und sei ein beliebiger Punkt. Bei einer linearen Abbildung stimmt das totale Differential mit der linearen Abbildung überein. Da diese nach Voraussetzung surjektiv ist, sind die Voraussetzungen des Satzes für jeden Punkt erfüllt. Ferner folgt aus der Surjektivität. Es sei der Kern der linearen Abbildung, der nach dem Dimensionssatz die Dimension besitzt. Daher gibt es eine lineare Isomorphie , die eine lineare injektive Abbildung definiert.

Die Faser durch , also das Urbild von , ist die Teilmenge
und ergibt sich daher aus dem Kern durch verschieben um . Insgesamt erhalten wir

wobei vorne eine lineare injektive Abbildung (deren Bild gleich ist) und hinten eine Verschiebung steht. Daher ist die Abbildung stetig differenzierbar und injektiv. Das Bild von ist nach der Vorüberlegung genau , so dass eine Bijektion vorliegt.

Als Verknüpfung einer linearen Einbettung und einer Verschiebung ist in jedem Punkt regulär. Das totale Differential von ist , da das totale Differential einer Verschiebung die Identität ist. Wegen gilt auch der Zusatz.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.


Lösung

Wir wollen das Volumen einer dreidimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius berechnen, also von

Wegen Satz 58.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) gilt dabei , d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.

Für jedes fixierte , , kann man den Querschnitt als

schreiben, d.h. als eine Kreisfläche vom Radius . Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten den Kreissektor aus dem Einheitskreis zum Winkel Grad, der an der -Achse anliegt. Bestimme mit der Hilfe von Polarkoordinaten den Schwerpunkt von .


Lösung

Der Flächeninhalt von ist . In Polarkoordinaten wird durch den Radius

und den Winkel

parametrisiert. Somit ist nach Korollar 60.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Korollar 59.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))

und

Somit sind die Koordinaten des Schwerpunktes von gleich