Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 31/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und sei  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.

Aufgabe * Aufgabe 31.2 ändern

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und der zugehörigen Norm $\Vert -\Vert$. Zeige, dass die Beziehung

$⟨v,w⟩=\frac{1}{2}(\Vert v+w{\Vert }^2-\Vert v{\Vert }^2-\Vert w{\Vert }^2)$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und der zugehörigen Norm $\Vert -\Vert$. Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

$\Vert v+w{\Vert }^2+\Vert v-w{\Vert }^2=2\Vert v{\Vert }^2+2\Vert w{\Vert }^2$

gilt.

Aufgabe Aufgabe 31.4 ändern

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind $u,v,w\in V$).

1. Es ist $d(v,w)\ge 0$.
2. Es ist $d(v,w)=0$ genau dann, wenn $v=w$.
3. Es ist $d(v,w)=d(w,v)$.
4. Es ist

   $d(u,w)\le d(u,v)+d(v,w).$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und sei  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von $V$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von $\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 9\end{array}\right)$ erzeugten Untervektorraum im ${ℝ}^3$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Der ${ℝ}^3$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei  $U\subseteq {ℝ}^3$  der Kern der linearen Abbildung

${ℝ}^3⟶ℝ,(x,y,z)⟼3x+y+7z,$

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für $U$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension $n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie  $u_1,\dots ,u_n\in V$  genau dann eine Orthonormalbasis von $V$ ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

${ℝ}^n⟶V,e_i⟼u_i,$

eine Isometrie zwischen ${ℝ}^n$ und $V$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$

an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle  $u,v\in V$  die Beziehung

$⟨u,v⟩=0\text{ genau dann, wenn }⟨\phi (u),\phi (v)⟩=0$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren $v,w\in V$, die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung

$\Vert v+w{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2+\Vert w{\Vert }^2.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von $\left(\begin{array}{c}5\\ 8\\ -3\\ 9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ erzeugten Untervektorraum im ${ℝ}^4$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei  $u_1,\dots ,u_n\in V$  eine Orthonormalbasis von $V$. Zeige, dass für jeden Vektor  $v\in V$  die Beziehung

$v=\sum _{i=1}^n⟨v,u_i⟩u_i$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}7\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

des ${ℝ}^3$, versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Der ${ℝ}^4$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei  $U\subseteq {ℝ}^4$  der Kern der linearen Abbildung

${ℝ}^4⟶ℝ,(x,y,z,w)⟼4x-3y+2z-5w,$

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für $U$.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $\phi$ ist eine Isometrie.
2. Für jeden Vektor $v$ mit  $\Vert v\Vert =1$  ist auch  $\Vert \phi (v)\Vert =1$. 
3. Für jede Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, ist auch $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, eine Orthonormalbasis.
4. Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, derart, dass auch $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, eine Orthonormalbasis ist.