Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 5

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.


Aufgabe *

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?


Aufgabe *

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Aufgabe *

Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.

Wer fährt schneller?


Aufgabe

Zeige, dass in einem angeordneten Körper die folgenden Eigenschaften gelten.

  1. .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist genau dann, wenn ist.
  4. Es ist genau dann, wenn ist.
  5. Aus und folgt .
  6. Aus und folgt .
  7. Aus und folgt .
  8. Aus und folgt .
  9. Aus und folgt .
  10. Aus und folgt .


Aufgabe *

Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit „unserer“ Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art „Ordnung“ auf den rationalen Zahlen, die sie mit bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen sind. Dagegen gilt bei ihnen

für jede rationale Zahl . Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die als heilig verehren.

Zeige, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt.

  1. Für je zwei Elemente gilt entweder oder oder .
  2. Aus und folgt (für beliebige ).
  3. Aus und folgt .
  4. Aus und folgt .

Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt nicht?


Aufgabe

Zeige, dass in einem angeordneten Körper die folgenden Eigenschaften gelten.

  1. Es ist .
  2. Aus folgt für alle .
  3. Aus folgt für ganze Zahlen .


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für das inverse Element gilt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für die inversen Elemente gilt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und seien positive Elemente. Zeige, dass zu äquivalent ist.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen. Zeige, dass für das arithmetische Mittel die Beziehung

gilt.


Aufgabe *

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das das arithmetische Mittel aus zwei vorgegebenen nichtnegativen rationalen Zahlen berechnet.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
    • Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
    • Es gibt einen Haltebefehl.

    Die Anfangskonfiguration sei

    mit . Dabei sind und die rationalen Zahlen, von denen das arithmetische Mittel berechnet werden soll. Das Ergebnis soll ausgedruckt werden (in der Form Zähler Nenner) und anschließend soll das Programm anhalten.


    Aufgabe

    Man untersuche die Verknüpfung

    auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.


    Aufgabe

    Ein Bakterium möchte entlang des Äquators die Erde umrunden. Es ist ziemlich klein und schafft am Tag genau Millimeter. Wie viele Tage braucht es für eine Erdumrundung?


    Aufgabe

    Wie viele Billionstel braucht man, um ein Milliardstel zu erreichen?


    Aufgabe *

    Im Wald lebt ein Riese, der Meter und cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von cm haben und mit dem Kopf insgesamt cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander (auf den Schultern) stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?


    Aufgabe *

    Zeige, dass in einem archimedisch angeordneten Körper die folgenden Eigenschaften gelten.

    1. Zu jedem gibt es eine natürliche Zahl mit .
    2. Zu zwei Elementen gibt es eine rationale Zahl (mit ) mit


    Aufgabe

    Berechne die Gaußklammer


    Aufgabe

    Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

    (dabei seien beliebige reelle Zahlen).
    1. .
    2. genau dann, wenn ist.
    3. genau dann, wenn oder ist.
    4. .
    5. .
    6. Für ist .
    7. Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).
    8. Es ist .


    Aufgabe

    Es seien reelle Zahlen. Zeige durch Induktion die Abschätzung


    Die Idee zu den folgenden Aufgaben stammt von http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Challenge/Challenge.html, siehe auch http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .

    Aufgabe

    Wir betrachten die Abbildung

    die einem Vierertupel das Vierertupel

    zuordnet. Es bezeichne die -fache Hintereinanderschaltung von .

    1. Berechne

      bis das Ergebnis das Nulltupel ist.

    2. Berechne

      bis das Ergebnis das Nulltupel ist.

    3. Zeige für jedes .


    Aufgabe

    Wir betrachten die Abbildung

    die einem Vierertupel das Vierertupel

    zuordnet. Bestimme, ob injektiv und ob surjektiv ist.


    Aufgabe *

    Wir betrachten die Abbildung

    die einem Vierertupel das Vierertupel

    zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.


    Aufgabe

    Wir betrachten die Abbildung

    die einem Vierertupel das Vierertupel

    zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen für nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .


    Wir werden später auch die Frage behandeln, wie es mit reellen Vierertupeln aussieht, siehe insbesondere Aufgabe 28.10.

    Aufgabe

    Es seien

    Funktionen, die wachsend oder fallend seien, und sei ihre Hintereinanderschaltung. Es sei die Anzahl der fallenden Funktionen unter den . Zeige, dass bei gerade wachsend und bei ungerade fallend ist.


    Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form mit reellen Zahlen angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.

    Aufgabe

    Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.

    1. .
    2. .
    3. .
    4. .
    5. .
    6. .


    Aufgabe *

    Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.


    Aufgabe

    Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein Körper ist.


    Aufgabe *

    Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

    1. .
    2. .
    3. .
    4. Für ist
    5. genau dann, wenn ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist.


    Aufgabe

    Zeige, dass innerhalb der komplexen Zahlen folgende Rechenregeln gelten.

    1. .
    2. .
    3. .
    4. .
    5. Für ist .


    Aufgabe

    Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.

    1. Für reelles stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
    2. Es ist genau dann, wenn ist.
    3. .
    4. .
    5. Für ist .
    6. .




    Aufgaben zum Abgeben

    Aufgabe (2 Punkte)

    Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element negativ ist.


    Aufgabe (2 Punkte)

    Zeige, dass eine streng wachsende Funktion

    injektiv ist.


    Aufgabe (3 Punkte)

    Wir betrachten die Abbildung

    die einem Vierertupel aus nichtnegativen rationalen Zahlen das Vierertupel

    zuordnet. Zeige, dass sich nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

    Tipp: Verwende Aufgabe 5.26.

    Aufgabe (3 Punkte)

    Berechne die komplexen Zahlen

    für .


    Aufgabe (3 Punkte)

    Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.

    1. .
    2. .
    3. .
    4. Für ist .
    5. .
    6. genau dann, wenn ist.


    Aufgabe (5 Punkte)

    Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von .


    Aufgabe (3 Punkte)

    Man finde alle drei komplexen Zahlen , die die Bedingung

    erfüllen.



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