Kurs:Mathematik für Anwender I/3/Klausur mit Lösungen

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.
2. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.
3. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

4. Eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {R}$.
5. Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl ${}x$.
6. Die Zahl ${}\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
7. Eine Treppenfunktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

8. Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.
2. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.
3. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

4. Eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {R}$.
5. Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl ${}x$.
6. Die Zahl ${}\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
7. Eine Treppenfunktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

8. Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Multiplikationssatz für Determinanten.
2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.
3. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

   Dann gilt für Matrizen ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung

   ${}\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$

2. Die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ${}a$ konvergiert, die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(a)$ konvergiert.

3. Für reelle Zahlen ${}x,y\in \mathbb {R}$ gilt

   ${}\exp \left(x+y\right)=\exp x\cdot \exp y\,.$

4. Für einen beliebigen Punkt ${}a\in I$ ist die Integralfunktion

   $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

   differenzierbar

   und es gilt

   $F'(x)=f(x)$

   für alle ${}x\in I$.

 

Aufgabe * (2 (0.5+1+0.5) Punkte)

a) Berechne

$(4-7{\mathrm {i} })(5+3{\mathrm {i} }).$

b) Bestimme das inverse Element ${}z^{-1}$ zu

${}z=3+4{\mathrm {i} }\,.$

c) Welchen Abstand hat ${}z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

Lösung

a) Es ist

${}(4-7{\mathrm {i} })(5+3{\mathrm {i} })=20+21-35{\mathrm {i} }+12{\mathrm {i} }=41-23{\mathrm {i} }\,.$

b) Das inverse Element zu ${}z$ ist ${}{\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}$, also ist

${}z^{-1}={\frac {a-b{\mathrm {i} }}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {3-4{\mathrm {i} }}{3^{2}+4^{2}}}={\frac {3}{25}}-{\frac {4}{25}}{\mathrm {i} }\,.$

c) Der Abstand von ${}z$ zum Nullpunkt ist ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {25}}=5$, daher ist der Abstand von ${}z^{-1}$ zum Nullpunkt gleich ${}{\frac {1}{5}}$.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien die beiden Untervektorräume

${}U={\left\{s{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

und

${}V={\left\{p{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}5\\2\\-4\end{pmatrix}}\mid p,q\in \mathbb {R} \right\}}\,$

gegeben. Bestimme eine Basis für ${}U\cap V$.

Lösung

Jeder Vektor aus dem Durchschnitt ${}U\cap V$ besitzt eine Darstellung

$s{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}=p{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}5\\2\\-4\end{pmatrix}}.$

Die Koeffiziententupel ${}(s,t,p,q)$ bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

${\begin{pmatrix}2&4&-3&-5\\1&-2&-1&-2\\7&9&0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s\\t\\p\\q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},$

das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch

$I'=I-3II:\,\,-s+10t+q=0$

und die dritte Gleichung durch

$III'=III-4I':\,\,11s-31t=0.$

Wir wählen ${}s=31$, sodass ${}t=11$ sein muss. Dies legt eindeutig ${}q$ und dann auch ${}p$ fest. Daher ist der Durchschnitt ${}U\cap V$ eindimensional und

${}31{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+11{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}62+44\\31-22\\217+99\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}106\\9\\316\end{pmatrix}}\,$

ist ein Basisvektor von ${}U\cap V$.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

$\varphi {\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}}$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}3\\-5\\4\end{pmatrix}}.$

Lösung

Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem

$a{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-5\\4\end{pmatrix}}.$

Die Zeilenoperation ${}IV=2II-III$ führt auf

$(IV)\,\,\,7b-c=-14$

und ${}V=I+2IV$ führt auf

$(V)\,\,\,15b=-25.$

Damit ist

${}b={\frac {-25}{15}}=-{\frac {5}{3}}\,$

und

${}2c=3-b=3+{\frac {5}{3}}={\frac {14}{3}}\,,$

also

${}c={\frac {7}{3}}\,,$

und

${}a=-5-4b-c=-5-4{\left({\frac {-5}{3}}\right)}-{\frac {7}{3}}={\frac {-15}{3}}+{\frac {20}{3}}-{\frac {7}{3}}=-{\frac {2}{3}}\,.$

Also ist

${}{\begin{aligned}\varphi {\begin{pmatrix}3\\-5\\4\end{pmatrix}}&=\varphi {\left(-{\frac {2}{3}}{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}-{\frac {5}{3}}{\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}+{\frac {7}{3}}{\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}\right)}\\&=-{\frac {2}{3}}\cdot \varphi {\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}-{\frac {5}{3}}\cdot \varphi {\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}+{\frac {7}{3}}\cdot \varphi {\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}\\&=-{\frac {2}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}-{\frac {5}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {7}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-2-{\frac {5}{3}}+{\frac {49}{3}}\\{\frac {4}{3}}+{\frac {14}{3}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {38}{3}}\\{\frac {18}{3}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {38}{3}}\\6\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&3&0\\5&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}1&3&0\\5&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&0\\0&-13&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-5&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&-{\frac {1}{13}}\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\{\frac {5}{13}}&-{\frac {1}{13}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\{\frac {5}{13}}&-{\frac {1}{13}}&{\frac {1}{26}}\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}-{\frac {2}{13}}&{\frac {3}{13}}&-{\frac {3}{26}}\\{\frac {5}{13}}&-{\frac {1}{13}}&{\frac {1}{26}}\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}1&4&0\\2&0&5\\0&2&-1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}1&2&7\\0&3&6\\0&-2&-3\end{pmatrix}}.$

Lösung

Die Determinante von ${}A$ ist

${}\det {\begin{pmatrix}1&4&0\\2&0&5\\0&2&-1\end{pmatrix}}=-10-2(-4)=-2\,$

und die Determinante von ${}B$ ist

${}\det {\begin{pmatrix}1&2&7\\0&3&6\\0&-2&-3\end{pmatrix}}=-9+12=3\,.$

Das Produkt der beiden Matrizen ist

${}AB={\begin{pmatrix}1&4&0\\2&0&5\\0&2&-1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&7\\0&3&6\\0&-2&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&14&31\\2&-6&-1\\0&8&15\end{pmatrix}}\,.$

Die Determinante davon ist

${}{\begin{aligned}\det AB&=\det {\begin{pmatrix}1&14&31\\2&-6&-1\\0&8&15\end{pmatrix}}\\&=-90+8-2(14\cdot 15-8\cdot 31)\\&=-82-2(210-248)\\&=-82-2(-38)\\&=-82+76\\&=-6.\end{aligned}}$

Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge

${\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.$

Lösung

Für reelles ${}x$ ist immer

${}-1\leq \sin x\leq 1\,.$

Somit ist

${}-{\frac {1}{n}}\leq {\frac {\sin n}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Da die Folge ${}{\left({\frac {1}{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ gegen ${}0$ konvergiert und dies auch für die negative Folge ${}{\left(-{\frac {1}{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ gilt, muss aufgrund des Quetschkriteriums auch die Folge ${}{\left({\frac {\sin n}{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ gegen ${}0$ konvergieren.

 

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}x$ und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen ${}x$ konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(x)$ konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

Es sei (1) erfüllt und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R}$, die gegen ${}x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

${}\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)\,$

ist. Dazu sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein ${}\delta >0$ mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}d(x_{n},x)\leq \delta \,$

gilt. Nach der Wahl von ${}\delta$ ist dann

$d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$

sodass die Bildfolge gegen ${}f(x)$ konvergiert.
Es sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für alle ${}\delta >0$ Elemente ${}z\in \mathbb {R}$ gibt, deren Abstand zu ${}x$ maximal gleich ${}\delta$ ist, deren Wert ${}f(z)$ unter der Abbildung aber zu ${}f(x)$ einen Abstand besitzt, der größer als ${}\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche ${}\delta =1/n$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. D.h. für jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}x_{n}\in \mathbb {R}$ mit

$d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$

Diese so konstruierte Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen ${}x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen ${}f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu ${}f(x)$ zumindest ${}\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).

 

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\ln \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right).$

a) Bestimme die Ableitung ${}f'$.

b) Bestimme die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }$.

Lösung

a) Es ist

${}f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\cdot 2x={\frac {x}{1+x^{2}}}\,.$

b) Es ist

${}f^{\prime \prime }(x)={\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)}^{\prime }={\frac {(1+x^{2})-x(2x)}{(1+x^{2})^{2}}}={\frac {1-x^{2}}{1+2x^{2}+x^{4}}}\,.$

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\sqrt[{3}]{x^{2}}}.$

Bestimme die Punkte ${}x\in \mathbb {R}$, in denen ${}f$ differenzierbar ist.

Lösung

Die Funktion ${}x\mapsto x^{3}$ ist überall differenzierbar und die Ableitung ist nur an der Stelle ${}x=0$ gleich ${}0$. Daher ist die Umkehrfunktion ${}y\mapsto {\sqrt[{3}]{y}}$ für ${}y\neq 0$ differenzierbar. Daher ist auch ${}f$ als Hintereinanderschaltung von ${}x\mapsto x^{2}$ und dieser Funktion für ${}x\neq 0$ differenzierbar.

Für ${}x=0$ betrachten wir direkt den Differenzenquotient, also für ${}h\neq 0$ den Ausdruck

${\frac {\sqrt[{3}]{h^{2}}}{h}}.$

Wir betrachten positive ${}h$ und können den Nenner als

${}h={\sqrt[{3}]{h^{3}}}={\sqrt[{3}]{h^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{h}}\,$

schreiben. Daher ist der Differenzenquotient gleich

${}{\frac {\sqrt[{3}]{h^{2}}}{h}}={\frac {\sqrt[{3}]{h^{2}}}{{\sqrt[{3}]{h^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{h}}}}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{h}}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{h}}}\,.$

Für ${}h_{n}={\frac {1}{n}}$ steht hier ${}{\sqrt[{3}]{n}}$ und dies divergiert, also existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist ${}f$ in ${}0$ nicht differenzierbar.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}4$ zur Funktion

${}f(x)=\sin x\,$

im Entwicklungspunkt ${}\pi /2$.

Lösung

Wir müssen das Polynom

$\sum _{k=0}^{4}{\frac {f^{(k)}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}{k!}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{k}$

berechnen. Es ist

${}f{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,,$

${}f^{\prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0\,,$

${}f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-1\,,$

${}f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-\cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0\,$

und

${}f^{\prime \prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,.$

Daher ist das vierte Taylor-Polynom gleich

$1-{\frac {1}{2}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}+{\frac {1}{24}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{4}.$

 

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Unterteile das Intervall ${}[-4,5]$ in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf ${}[-4,5]$, die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte ${}2$ und ${}-1$ annimmt.

Lösung

a) Die Länge des Intervalls ist ${}9$, daher muss die Länge der Teilintervalle gleich

${}{\frac {9}{6}}={\frac {3}{2}}=1{,}5\,$

sein. Dies ergibt die Teilintervalle

$[-4,{\frac {-5}{2}}],\,[{\frac {-5}{2}},-1],\,[-1,{\frac {1}{2}}],\,[{\frac {1}{2}},2],\,[2,{\frac {7}{2}}],\,[{\frac {7}{2}},5].$

b) Die Treppenfunktion, die abwechselnd die Werte ${}2$ und ${}{-1}$ besitzt, hat das Treppenintegral

${}1{,}5\cdot (2-1+2-1+2-1)=1{,}5\cdot 3=4{,}5\,.$

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall ${}[6,22]$ (in Stunden) durch die Funktion

$f\colon [6,22]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=-t^{3}+27t^{2}-120t,$

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, sodass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

Lösung

Es sei ${}a\in [6,21]$ der Anfangszeitpunkt des Sonnenbades. Die Gesamteinstrahlung der Sonne in der Stunde ${}[a,a+1]$ ist das bestimmte Integral

${}{\begin{aligned}S(a)&=\int _{a}^{a+1}(-t^{3}+27t^{2}-120t)\,dt\\&={\left(-{\frac {1}{4}}t^{4}+9t^{3}-60t^{2}\right)}|_{a}^{a+1}\\&={\left(-{\frac {1}{4}}(a+1)^{4}+9(a+1)^{3}-60(a+1)^{2}\right)}-{\left(-{\frac {1}{4}}a^{4}+9a^{3}-60a^{2}\right)}\\&=-{\frac {1}{4}}(4a^{3}+6a^{2}+4a+1)+9(3a^{2}+3a+1)-60(2a+1)\\&=-a^{3}+{\frac {51}{2}}a^{2}-94a-{\frac {205}{4}}.\,\end{aligned}}$

Für diese Funktion muss das Maximum im Intervall ${}[6,21]$ bestimmt werden. Dafür berechnen wir die Ableitung, diese ist

${}S'(a)={\left(-a^{3}+{\frac {51}{2}}a^{2}-94a-{\frac {205}{4}}\right)}^{\prime }=-3a^{2}+51a-94\,.$

Die Nullstellenberechnung dieser Ableitung führt auf ${}a^{2}-17a+{\frac {94}{3}}=0$ bzw. auf

${}{\left(a-{\frac {17}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {94}{3}}+{\left({\frac {17}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {94}{3}}+{\frac {289}{4}}={\frac {-376+867}{12}}={\frac {491}{12}}\,.$

Also ist

${}a_{0}={\sqrt {\frac {491}{12}}}+{\frac {17}{2}}\cong 14,8966\cong 14{\text{ Uhr }}54\,$

(die negative Wurzel muss nicht berücksichtigt werden, da diese zu einem ${}a$ außerhalb des Definitionsbereiches führt). Die zweite Ableitung

$S^{\prime \prime }(a)=-6a+51$

ist an der Stelle ${}a_{0}$ negativ, sodass dort das Maximum vorliegt. Da die Ableitung keine weiteren Nullstellen im Intervall besitzt, müssen die Randpunkte nicht gesondert betrachtet werden.

 

Aufgabe * (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}.$

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von ${}f$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von ${}f$ für ${}x>1$.

Lösung

a) Zunächst ist

${}(x-1)^{2}(x^{2}+1)=(x^{2}-2x+1)(x^{2}+1)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1\,.$

Polynomdivision des Zählers durch den Nenner ergibt

${}x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1=(x+2)(x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1)+5x^{3}-4x^{2}+4x-3\,.$

Daher ist

${}{\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}=x+2+{\frac {5x^{3}-4x^{2}+4x-3}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}\,.$

Für den rechten Bruch bestimmen wir die Partialbruchzerlegung über den Ansatz

${}{\frac {5x^{3}-4x^{2}+4x-3}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}={\frac {a}{x-1}}+{\frac {b}{(x-1)^{2}}}+{\frac {cx+d}{(x^{2}+1)}}\,,$

der wiederum auf

${}5x^{3}-4x^{2}+4x-3=a(x-1)(x^{2}+1)+b(x^{2}+1)+(cx+d)(x-1)^{2}\,$

führt.

Für ${}x=1$ ergibt sich

${}2=2b\,,$

also ${}b=1$.

Für ${}x=0$ ergibt sich

${}-3=-a+1+d\,,$

also

${}4=a-d\,.$

Für ${}x=-1$ ergibt sich

${}-5-4-4-3=-16=-4a+2+4(-c+d)\,,$

also ${}{\frac {18}{4}}=a+c-d$.

Der Koeffizient zu ${}x^{3}$ führt schließlich auf

${}5=a+c\,.$

Die Subtraktion der dritten Gleichung von der zweiten führt auf

${}c={\frac {18}{4}}-4={\frac {1}{2}}\,.$

Aus der vierten Gleichung folgt daraus

${}a={\frac {9}{2}}\,$

und aus der zweiten Gleichung ergibt sich

${}d={\frac {1}{2}}\,.$

Somit ergibt sich insgesamt die Partialbruchzerlegung

${}{\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}=x+2+{\frac {\frac {9}{2}}{x-1}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)}}\,.$

b) Eine Stammfunktion von ${}f$ ist

${\frac {1}{2}}x^{2}+2x+{\frac {9}{2}}\ln(x-1)-(x-1)^{-1}+{\frac {1}{4}}\ln(x^{2}+1)+{\frac {1}{2}}\arctan x.$

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung (${}y>0$)

$y'=t^{2}y^{3}$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

Lösung

Wir schreiben ${}g(t)=t^{2}$ und ${}h(y)=y^{3}$. Eine Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{h(y)}}={\frac {1}{y^{3}}}$ ist ${}H(y)=-{\frac {1}{2}}y^{-2}=z$ (${}z$ ist also negativ) mit der Umkehrfunktion

${}y=H^{-1}(z)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}\,.$

Die Stammfunktionen zu

${}g(t)=t^{2}\,$

sind ${}{\frac {1}{3}}t^{3}+c$ mit ${}c\in \mathbb {R}$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

${}y(t)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{3}}t^{3}+c\right)}^{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{2{\left({\frac {1}{3}}t^{3}+c\right)}}}}={\sqrt {\frac {-1}{{\frac {2}{3}}t^{3}+2c}}}\,.$

Bei gegebenem ${}c$ ist diese Wurzel genau dann definiert, wenn

${}{\frac {2}{3}}t^{3}+2c<0\,$

ist. Dies bedeutet

${}t<{\sqrt[{3}]{-3c}}\,.$

Die Definitionsbereiche sind also

$]-\infty ,{\sqrt[{3}]{-3c}}[.$

 

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